抽樣和抽樣分布.doc

此文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除天馬行空官方博客：/tmxk_docin ；QQ:1318241189；QQ群：1755696325. 抽樣和抽樣分布5.1 抽樣及抽樣中的幾個(gè)基本概念1抽樣的基本概念抽樣就是從所研究的對(duì)象中隨機(jī)地抽取出其中的一部分來觀察，由此而獲得有關(guān)總體的信息。在對(duì)總體進(jìn)行研究時(shí)，進(jìn)行抽樣研究是非常重要的。尤其是對(duì)于許多實(shí)際工作來說，要研究的總體很大，我們不可能對(duì)總體逐一進(jìn)行研究，或者既便我們能這樣做，但由于試驗(yàn)是具有破壞性的，我們也就沒有可能這樣做了。再者，在許多情況下我們也沒有必要對(duì)所有對(duì)象都進(jìn)行研究、試驗(yàn)、或考察。比如，對(duì)燈泡這類產(chǎn)品質(zhì)量的研究。因此，我們只有進(jìn)行抽樣研究。抽樣的特點(diǎn)：1) 遵守隨機(jī)原則。2) 推斷被調(diào)查對(duì)象的總體的特征。3) 計(jì)算推斷的準(zhǔn)確性和可靠性。由于抽樣具有這樣的特點(diǎn)，因此它可以用在這樣一些場(chǎng)合：1) 不可能進(jìn)行全面調(diào)查；2) 沒有必要全面調(diào)查；3) 進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)；4) 產(chǎn)品質(zhì)量控制；5) 作為全面調(diào)查的補(bǔ)充。2樣本統(tǒng)計(jì)量與總體統(tǒng)計(jì)量3隨機(jī)抽樣和判斷抽樣這兩種方法雖然都是從總體中抽取出樣本的方法，但是它們兩者之間存在本質(zhì)上的區(qū)別。隨機(jī)抽樣是按概率規(guī)律抽取樣本，在總體中所有單位被抽中的概率是相等的。而判斷抽樣不是一種隨機(jī)抽樣，它是根據(jù)個(gè)人或集體的設(shè)想或經(jīng)驗(yàn)從總體中有目的地抽取樣本，采用這種方法主要是由于人力、物力、財(cái)力、時(shí)間或其他因素有所限制而采取的。當(dāng)然，要想使判斷抽樣也獲得比較好的效果，條件是抽樣人具有豐富的關(guān)于特定總體的專業(yè)知識(shí)。由于判斷抽樣是憑主觀設(shè)想和判斷而抽取樣本的，因此抽樣的結(jié)果就不能用概率的方法來加以分析。這是隨機(jī)抽樣和判斷抽樣的根本區(qū)別。我們這里只討論隨機(jī)抽樣問題。4抽樣誤差和非抽樣誤差抽樣調(diào)查中的誤差是指樣本統(tǒng)計(jì)量和總體統(tǒng)計(jì)量的相應(yīng)參數(shù)之間的差距。這種誤差有兩種，即抽樣誤差和非抽樣誤差。非抽樣誤差是指在調(diào)查過程中發(fā)生的誤差和由于主觀因素破壞了隨機(jī)原則而產(chǎn)生的系統(tǒng)性偏差。如，登記性誤差。也就是說，這主要是人為的因素造成的誤差，是可以通過努力而減小的。抽樣誤差是指僅僅由于抽樣的隨機(jī)性而帶來的偶然的代表性誤差。它是具有隨機(jī)性質(zhì)的誤差，這種誤差是不可避免地，但可以通過統(tǒng)計(jì)的理論和方法把誤差控制到最小的程度。5.2 隨機(jī)抽樣設(shè)計(jì)在進(jìn)行抽樣時(shí)，可以根據(jù)所研究對(duì)象的特點(diǎn)和工作條件的不同，設(shè)計(jì)不同的抽樣方式。不同的抽樣方式對(duì)結(jié)果有很大地影響。因此需要根據(jù)具體情況選擇合適的抽樣方式。一般常用的抽樣方式有下列幾種。1純粹隨機(jī)抽樣。采用抽簽法或隨機(jī)數(shù)字法。2等距抽樣3類型抽樣4整群抽樣5多階段抽樣5.3 樣本平均數(shù)的抽樣分布5.3.1. 抽樣分布的概念在抽樣中，由于樣本是隨機(jī)抽取的，對(duì)每一個(gè)特定的樣本，統(tǒng)計(jì)量都有一個(gè)相應(yīng)的數(shù)值?？梢姌颖窘y(tǒng)計(jì)量本身也是一個(gè)隨機(jī)變量，其取值隨樣本的不同而不同。假如從一個(gè)總體中隨機(jī)抽出容量相同的各種樣本，則從這些樣本計(jì)算出的某統(tǒng)計(jì)量所有可能值的分布就稱為這個(gè)統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布。或者說，統(tǒng)計(jì)量的分布就是抽樣分布。構(gòu)造抽樣分布包括以下幾個(gè)步驟：1) 從容量為N的有限總體中隨機(jī)抽出容量為n的所有可能樣本；2) 計(jì)算出每個(gè)樣本的統(tǒng)計(jì)量數(shù)值；3) 將這些來自不同樣本的不同統(tǒng)計(jì)觀察值加以分組排列，把對(duì)應(yīng)于每個(gè)觀察值的相對(duì)出現(xiàn)的頻數(shù)排成另一列。這時(shí)不難發(fā)現(xiàn)這些全部可能的樣本統(tǒng)計(jì)量形成了一個(gè)概率分布，即抽樣分布。例：PP137此例主要用于概括出抽樣分布的一般規(guī)律。5.3.2. 正態(tài)分布總體設(shè)，X1，X2，X3，。Xn，是它的一個(gè)樣本。則樣本平均數(shù)的抽樣分布具有如下性質(zhì)：1) 樣本的平均數(shù)的分布仍然是正態(tài)分布；2) 樣本的平均數(shù)分布的平均值等于總體的平均值；3) 樣本平均數(shù)分布的方差等于總體的方差除以樣本的容量，即。這些結(jié)論會(huì)經(jīng)常用到。5.3.3. 中心極限定理如果總體的分布不服從正態(tài)分布，那么樣本平均數(shù)的抽樣分布的性質(zhì)只有通過中心極限定理來研究。中心極限定理是一個(gè)十分重要的定理，是抽樣理論的基礎(chǔ)。中心極限定理：給出一個(gè)任意形式的總體，其平均值和方差為有限值，在對(duì)總體進(jìn)行抽樣時(shí)，隨著樣本容量n的增大，由這些樣本算出的平均數(shù)的抽樣分布將近似服從平均值和方差為的正態(tài)分布?；蛘哒f，若統(tǒng)計(jì)量，則Z近似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。在現(xiàn)實(shí)世界中，只要一個(gè)隨機(jī)變量的變化是由大量的相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合影響所形成的，而其中每一個(gè)別因素在總的影響中所起的作用都是很微小時(shí)，這個(gè)變量往往服從正態(tài)分布。一般情況下，樣本的數(shù)量大于30就可以認(rèn)為足夠大了。5.3.4. 有限總體修正系數(shù)前面提到的，只適用于無限總體，以及從一個(gè)有限總體中中進(jìn)行重復(fù)抽樣的情形。但在實(shí)際工作中往往是采用不重復(fù)抽樣或不放回抽樣的方法。在這種情況下，總體的數(shù)量會(huì)不斷減少，總體中各元素被抽中的概率也將發(fā)生變化。因此在這樣的情況下就需要進(jìn)行修正。若抽樣的總體是不重復(fù)抽樣，樣本平均數(shù)的抽樣分布的平均值就等于總體的平均值，而標(biāo)準(zhǔn)差則為：當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，即大到可以應(yīng)用中心極限定理時(shí)，樣本平均數(shù)的抽樣分布將逼近正態(tài)分布。與相比，多了一個(gè)。這里N為總體容量，n為樣本容量，稱為修正系數(shù)。當(dāng)N很大時(shí)，根號(hào)里分母的N可以不用減1，直接寫成或5.4 樣本比例及樣本比例之差的抽樣分布5.4.1. 樣本比例的抽樣分布在我們的工作中，常常需要考慮在一個(gè)總體中，具有某種性質(zhì)或特征的對(duì)象所占總體的比例是多少的問題。例如，在數(shù)量為N的總體中，合格品數(shù)量為N1，不合格品數(shù)量為N2，顯然，。我們可以用表示總體中合格品所占的比例。顯然，總體的參數(shù)p是未知的，它是需要我們通過樣本來估計(jì)的。因此，假設(shè)從總體中抽取容量為n的一個(gè)樣本，從中得到的合格品數(shù)量為n1，則n1/n為合格品的樣本比例，用表示。由于每次從抽取容量為n的樣本的不同，其中合格品的數(shù)量也不相同，因此也就是一個(gè)隨機(jī)變量，從而它也構(gòu)成一個(gè)樣本分布。樣本比例的抽樣分布與二項(xiàng)分布有著非常密切地關(guān)系?？梢詫⒍?xiàng)分布總體中具有某種屬性的的單位稱為“成功”，不具有的稱為“失敗”；將總體中成功的單位占全體的比例記為p。與之類似，將樣本中成功的單位占全體樣休的比例記為。可以證明，樣本比例的均值就是總體的均值p，其方差為：由于，當(dāng)樣本容量較大時(shí)，二項(xiàng)分布就接近于正態(tài)分布，因此在大樣本的情況下，樣本比例的抽樣分布將近似服從正態(tài)分布。除要求n比較大外，還要求p不要接近0或1，并且要滿足np或n(1-p)大于5。上述情況適合于從無限總體中抽樣或從有限總體中進(jìn)行重復(fù)抽樣的場(chǎng)合。如果從有限總體中進(jìn)行不重復(fù)的抽樣時(shí)，而且抽樣的比重較大時(shí)，即n/N0.5時(shí)，樣本比例抽樣的方差就要進(jìn)行修正，其公式為：例：PP151，例. 兩個(gè)樣本比例之差的抽樣分布如果需要對(duì)來自兩個(gè)不同總體的比例進(jìn)行比較，就需要研究考慮兩個(gè)樣本比例之差的問題。設(shè)有兩個(gè)總體，它們中具有某種特征的單位數(shù)所占的比重分別為p1和p2，現(xiàn)在從這兩個(gè)總體中分別抽取容量為n1和n2的丙個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)樣本，其樣本比例為和。當(dāng)n1和n2很大時(shí)，這兩個(gè)樣本比例之差的抽樣分布就近似服從正態(tài)分布，并且其平均值和方差分別為：注意，這里可以利用下列公式將兩個(gè)樣本比例之差的抽樣分布變換為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：例：PP152，例6.95.5 2分布、t分布和F分布在進(jìn)行抽樣分布研究時(shí)常常會(huì)遇到一些特殊分布，這就是2分布、t分布和F分布。5.5.1. 2分布設(shè)，X1，X2，X3，。Xn，是它的一個(gè)樣本。它們的平方和記為2，即，我們稱2為服從參數(shù)為n的2分布，記為2分布的密度函數(shù)為：其圖形如書中所示。2分布具有以下特點(diǎn)：1) 2分布是一個(gè)以自由度為n的參數(shù)的分布族，自由度n決定了分布的形狀，對(duì)于不同的n有不同的2分布。2) 2分布是一個(gè)非對(duì)稱分布。一般為右偏斜分布。當(dāng)n相當(dāng)大時(shí)，2分布就近似于正態(tài)分布。3) 2分布的變量始終為正值?？梢宰C明2分布的平均值為n，方差為2n。0xx2x(n)P5.5.2. t分布設(shè)，并且X與Y相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量服從自由度為n的t（student）分布，記為。t分布是小樣本分布，小樣本一般是指n30。t分布適用于當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時(shí)用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差代替總體標(biāo)準(zhǔn)差，由樣本平均數(shù)推斷總體平均數(shù)以及兩個(gè)小樣本之間差異的顯著性檢驗(yàn)等。t分布具有以下性質(zhì)：t分布是對(duì)稱分布，其均值為0。當(dāng)容量n較小時(shí)，t分布的方差就大于1；當(dāng)n增大到大于或等于30時(shí)，t分布的方差就趨近于1，t分布也就漸近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，這時(shí)可用正態(tài)分布來代替t分布。t分布是一個(gè)分布族，n不同，分布的形狀也不同。與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相比，t分布的中心部分較低，兩個(gè)尾部較高。變量t的取值范圍在正負(fù)無