公因數(shù)與公倍數(shù)基本概念及應(yīng)用匯總.doc

公因數(shù)與公倍數(shù)基本概念及應(yīng)用匯總1、公因數(shù)：幾個數(shù)共有的因數(shù)，叫這幾個數(shù)的公因數(shù)。最大公因數(shù)：公因數(shù)中最大的一個叫這幾個數(shù)的最大公因數(shù)。2、公倍數(shù)：幾個數(shù)共有的倍數(shù)，叫這幾個數(shù)的公倍數(shù)。最小公倍數(shù)：公倍數(shù)中最小的一個叫這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。3、三種關(guān)系的數(shù)如何求最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)：當兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)時，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍是它們的積；當兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時，較小的數(shù)是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)，較大的數(shù)是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)；當兩個數(shù)是一般關(guān)系時，用短除法求這兩個數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)。由此可知，最大公因數(shù)是公有質(zhì)因數(shù)連乘的積，最小公倍數(shù)是公有和獨有因數(shù)連成的積?？梢姡钚」稊?shù)是最大公因數(shù)的倍數(shù)，最大公因數(shù)是最小公倍數(shù)的因數(shù)。掌握這一點是解決此類問題的關(guān)鍵。4、最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)實際應(yīng)用例題。例1、A=2357，則A因數(shù)有（）個。分析：一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，其因數(shù)是一個或幾個質(zhì)因數(shù)連成的積。因此，數(shù)A的因數(shù)為;一個質(zhì)因數(shù)構(gòu)成的，2、3、5、7；兩個質(zhì)因數(shù)構(gòu)成的6、10、14、15、21、35；三個質(zhì)因數(shù)構(gòu)成的30、42、105、70；四個質(zhì)因數(shù)構(gòu)成的210；除此之外還有1.共16個。例2、A=223B=235則A、B的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)分別是（）（）分析：因為“最大公因數(shù)是公有質(zhì)因數(shù)連乘的積”，所以A、B的最大公因數(shù)為23=6；“最小公倍數(shù)是公有和獨有因數(shù)連成的積”A、B的最小公倍數(shù)為2325=60練習已知甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)是36，求甲、乙兩數(shù)。分析：“最小公倍數(shù)是公有和獨有因數(shù)連成的積，因此最小公倍數(shù)是最大公因數(shù)的倍數(shù)，”解析366=66即為獨有因數(shù)的積，6=16或6=23因此甲乙兩個數(shù)分別為（16=666=36）或（26=1236=18）兩個數(shù)最大公因數(shù)是12，最小公倍數(shù)是180，且大數(shù)不是小數(shù)的倍數(shù)，求這兩個數(shù)。解析：18012=1515=35（312=36512=60）例3、兩個數(shù)的最大公因數(shù)是42，最小公倍數(shù)是2940，且兩個數(shù)的和是714，這兩個數(shù)各是多少？解析：294042=7070為獨有因數(shù)連成的積。“兩個數(shù)的和是714”，則兩數(shù)和是最大公因數(shù)的倍數(shù)，它是最大公因數(shù)與獨有因數(shù)和的積，因此71442=17，17是獨有因數(shù)的和。因此70只能分解成10和7的積，70=710（742=2941042=420）練習已知兩個自然數(shù)的和為72，它們的最大公因數(shù)是12，求這兩個數(shù)。解析：7212=66=15（112=12512=60）例4、把長20厘米，寬42厘米的長方形鐵片剪成邊長是整厘米數(shù)，面積相等的正方形鐵片，并且沒有剩余，至少可剪多少塊？分析：因為要剪成“面積相等的正方形鐵片，并且沒有剩余”，因此，正方的邊長既是20的因數(shù)，也是42的因數(shù)，并且是最大的公因數(shù)；42和20的最大公因數(shù)是2，故正方形邊長為2厘米。剪得塊數(shù)即為：（202）（422）=210（塊）求54、36、72的最大公因數(shù)。練習把長120厘米，寬80厘米的鐵板裁成面積相等，最大的正方形而且沒有剩余，可以裁成多少塊？提示：求120、18的最大公因數(shù)。例5、用長5厘米，寬3厘米的長方形鐵片，擺成一個正方形（中間沒有空隙），至少要有多少塊這種長方形鐵片？分析：用這樣的長方形擺成正方形，則正方形的邊長既是5的倍數(shù)，也是3的倍數(shù)。因是至少需幾塊，所以應(yīng)該是5和3的最小公倍數(shù)。5和3的最小公倍數(shù)是15。所以需塊數(shù)為：（155）（153）=15（塊）練習排練團體操時，要求隊伍變成10行、15行、18行、24行時，隊形都能成為長方形，最少需要多少人參加團體操的排練？提示：求10，15，18，24的最小公倍數(shù)，10，15，18，24=3601例6、某幼兒園借閱圖書，如借35本，平均分給每個小朋友差1本；如借56本，平均分給每個小朋友后還剩2本；如借69本，平均分給每個小朋友則差3本。這個班的小朋友最多有多少人？分析：小朋友數(shù)即為36、54、72的最大公因數(shù)。例7現(xiàn)在有香蕉42千克，蘋果112千克，桔子70千克，平均分給幼兒園的幾個班，每班分到的這三種水果的數(shù)量分別相等，那么最多分給了多少個班？每個班至少分到了三種水果各多少千克？分析：班數(shù)即為42、112、70的最大公因數(shù)。每種水果數(shù)除以班數(shù)即為分得的水果。練習有三根鐵絲，一根長54米，一根長72米，一根長36米，要把它們截成同樣長的小段，不許剩余，每段最長是多少米？例8、練習、有一個自然數(shù)，被6除余1，被5除余1，被4除