人教版高三數(shù)學課件2.ppt

第七單元平面向量 第一節(jié)平面向量的概念及其線性運算 基礎(chǔ)梳理 1 向量的有關(guān)概念及表示法 2 向量的線性運算 3 共線向量定理非零向量a與向量b共線的充要條件 存在唯一一個實數(shù) 使b a 題型一平面向量的有關(guān)概念 典例分析 例1 給出下列五個命題 兩個向量相等 則它們的起點相同 終點相同 若 a b 則a b 在 ABCD中 一定有 若m n n p 則m p 若a b b c 則a c 其中不正確的個數(shù)是 A 2B 3C 4D 5 分析在正確理解有關(guān)概念的基礎(chǔ)上 注意特殊情況是解決本題的關(guān)鍵 解選B 兩個向量起點相同 終點相同 則兩個向量相等 但兩個向量相等 不一定有相同的起點和終點 故 不正確 a b 但a b方向不確定 所以a b不一定相等 故 不正確 正確 零向量與任一非零向量都平行 當b 0時 a與c不一定平行 故 不正確 學后反思 1 著重理解向量以下幾個方面 向量的模 向量的方向 向量的幾何表示 向量的起點和終點 2 判定兩個向量的關(guān)系時 特別注意以下兩種特殊的情況 零向量與任何向量共線 單位向量的長度為1 方向不固定 舉一反三 1 已知下列命題 如果非零向量a與b的方向相同或相反 那么a b的方向必與a b中的一個方向相同 在 ABC中 必有 若 則A B C為一個三角形的三個頂點 若a與b均為非零向量 則 a b 與 a b 一定相等 其中真命題的個數(shù)為 A 0B 1C 2D 3 解析 錯誤 a b 0時 就不滿足結(jié)論 正確 錯誤 A B C三點還可以共線 錯誤 只有a與b同向時才相等 答案 B 題型二平面向量的線性運算 例2 如圖 D E F分別為 ABC的三邊BC AC AB的中點 求證 分析在三角形中其他向量最好向三條邊上的向量靠攏 即用來分別表示待求的向量 證明因為所以 即 同理所以 故 學后反思平面向量的線性運算常與平面幾何圖形相結(jié)合 求解此類問題應(yīng)注意 1 結(jié)合圖形 選擇關(guān)系明確的一組不共線向量來表示其他向量 選擇恰當?shù)倪\算關(guān)系 2 注意特殊點的應(yīng)用 如線段AB的中點為P 則有 其中O為任一點 舉一反三 2 如圖 在 OAB中 延長BA到C 使AC BA 在OB上取點D 使 DC與OA交于E 設(shè)試用a b表示向量和向量 解析 A是BC的中點 OA OB OC 即OC 2OA OB 2a b DC OC OD OC OB 2a b b 2a b 例3 設(shè)兩非零向量a和b不共線 如果AB a b CD 3 a b BC 2a 8b 求證 A B D三點共線 題型三向量的共線問題 分析用向量法證明A B D三點共線 可以利用共線向量定理 得到BD AB 或AD AB等 BD AB說明直線BD和AB平行或重合 因為有公共點B 所以只能重合 從而由向量共線推出三點共線 證明 BC 2a 8b BD BC CD 2a 8b 3a 3b 5 a b BD 5AB 由向量共線定理得BD AB 又直線AB和BD有公共點B 因此A B D三點共線 學后反思 1 向量共線的充要條件中要注意當兩向量共線時 通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量 要注意待定系數(shù)法的運用和方程思想 2 證明三點共線問題 可用向量共線來解決 但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系 當兩向量共線且有公共點時 才能得出三點共線 解題中應(yīng)強調(diào) 直線AB和BD有公共點B 這一步驟 舉一反三 3 設(shè)兩個非零向量不共線 已知若A B D三點共線 試求k的值 解析 若A B D三點共線 則AB BD 從而存在唯一實數(shù) 使AB BD 即整理得 不共線 解得 2 k 8 即k的值為 8時 A B D三點共線 題型四向量知識的綜合應(yīng)用 例4 12分 已知向量其中為兩個非零不共線向量 問 是否存在這樣的實數(shù) 使向量d a b與c共線 分析運用向量共線的條件 確定是否存在實數(shù)k 使得 解要使 則應(yīng)存在實數(shù)k 使 6 即 8 不共線 2 10 故存在這樣的實數(shù) 滿足 2 就能使與共線 12 學后反思設(shè)不共線 若則有本題正是利用這一結(jié)論構(gòu)造方程組來求解的 舉一反三 4 已知 ABC的三個頂點A B C及平面內(nèi)一點P滿足PA PB PC 0 若實數(shù) 滿足AB AC AP 求 的值 解析 AB AC AP PB PA PC PA AP 即PB PC 2PA AP 又 PA PB PC 0 PB PC PA 3PA AP PA 3 即 3 10 如圖 在 ABC中 點O是BC的中點 過點O的直線交直線AB AC于不同的兩點M N 若AB mAM AC nAN 則m n 解析 如圖 過點O作OD AB交于AC于點D 點O是BC的中點 D是AC的中點 由圖知 NDO NAM 即 即 答案 2 考點演練 11 創(chuàng)新題 如圖所示 點E F分別為四邊形ABCD的對角線AC BD的中點 設(shè)BC a DA b 試用a b表示 解析 如圖所示 取AB中點P 連接EP FP 在 ABC中 EP是與BC平行的中位線 在 ABD中 FP是與AD平行的中位線 在 EFP中 12 創(chuàng)新題 如圖所示 在 ABO中 OC OA OD OB AD與BC交于點M 設(shè)OA a OB b 1 用a b表示OM 2 在線段AC上取一點E 在線段BD上取一點F 使EF過點M 設(shè)OE pOA OF qOB 求證 解析 1 設(shè) 則 AD OD OA 由三點A M D共線 則AM AD共線 故有 而由三點C M B共線 則CM CB共線 故有聯(lián)立 故OM 2 又EF EM共線 故 即得成立 qb pa pa qb 第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標表示 基礎(chǔ)梳理 1 兩個向量的夾角 1 定義已知兩個非零向量a和b 作OA a OB b 則 AOB 叫做向量a與b的夾角 2 范圍向量夾角 的范圍是0 180 a與b同向時 夾角 0 a與b反向時 夾角 180 3 向量垂直如果向量a與b的夾角是90 則a與b垂直 記作a b 2 平面向量基本定理及坐標表示 1 平面向量基本定理定理 如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量 那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a 有且只有一對實數(shù) 使 其中 不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底 2 平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量 叫做把向量正交分解 3 平面向量的坐標表示 在平面直角坐標系中 分別取與x軸 y軸方向相同的兩個單位向量i j作為基底 對于平面內(nèi)的一個向量a 有且只有一對實數(shù)x y 使a xi yj 把有序數(shù)對 x y 叫做向量a的坐標 記作a x y 其中x叫a在x軸上的坐標 y叫a在y軸上的坐標 設(shè)OA xi yj 則向量OA的坐標 x y 就是終點A的坐標 即若OA x y 則A點坐標為 x y 反之亦成立 O是坐標原點 3 平面向量的坐標運算 1 加法 減法 數(shù)乘運算 2 向量坐標的求法已知A B 則AB 即一個向量的坐標等于該向量終點的坐標減去始點的坐標 3 平面向量共線的坐標表示設(shè)a b 其中b 0 則a與b共線 題型一平面向量基本定理 例1 如圖 在 OAB中 OC 15OA OD 12OB AD與BC交于點M 設(shè)OA a OB b 以a b為基底表示OM 分析本題可用待定系數(shù)法 設(shè)OM ma nb m n R 再利用向量的運算及共線向量的條件列出方程組 確定m n的值 解設(shè)OM ma nb m n R 則AM OM OA m 1 a nb 因為A M D三點共線 所以 即m 2n 1 而CB OB OC 又因為C M B三點共線 所以 即5m n 1 由 解得 所以 學后反思 1 在平面向量基本定理的應(yīng)用中 當基底確定后 向量的表示是唯一的 合理地選取基底會給解題帶來方便 2 解決該類問題 用基底表示向量是基本方法 還應(yīng)注意三角形法則 中點坐標公式的熟練應(yīng)用 舉一反三 1 如圖 PQ過 ABO的重心G OA a OB b OP ma OQ nb 試求的值 解析 G是 ABO的重心 又GP GQ 即 3 題型二平面向量的坐標運算 例2 已知點A 1 2 B 2 8 以及 求點C D的坐標和CD的坐標 分析根據(jù)題意可設(shè)出點C D的坐標 然后利用已知的兩個關(guān)系式列方程組 求出坐標 解設(shè)點C D的坐標分別為由題意得因為所以有和解得和所以點C D的坐標分別是 0 4 2 0 從而CD 2 4 學后反思向量的坐標是向量的另一種表示形式 它只與起點 終點 相對位置有關(guān) 三者中給出任意兩個 可求第三個 在求解時 應(yīng)將向量坐標看作一個 整體 運用方程的思想求解 向量的坐標運算是向量中最常用也是最基本的運算 必須熟練掌握 2 已知A 2 4 B 3 1 C 3 4 且CM 3CA CN 2CB 求M N及MN的坐標 舉一反三 解析 A 2 4 B 3 1 C 3 4 CA 1 8 CB 6 3 CM 3CA 3 24 CN 2CB 12 6 設(shè)M x y 則CM x 3 y 4 3 24 M 0 20 同理可求N 9 2 因此MN 9 18 M 0 20 N 9 2 MN 9 18 題型三平面向量的坐標表示 例3 平面內(nèi)給定三個向量a 3 2 b 1 2 c 4 1 1 若 a kc 2b a 求實數(shù)k 2 設(shè)d x y 滿足 d c a b 且 d c 1 求d 分析 1 由兩向量平行的條件得出關(guān)于k的方程 從而求出實數(shù)k的值 2 由兩向量平行及 d c 1得出關(guān)于x y的兩個方程 解方程組即可得出x y的值 從而求出d 解 1 a kc 2b a 又a kc 3 4k 2 k 2b a 5 2 2 3 4k 5 2 k 0 k 2 d c x 4 y 1 a b 2 4 又 d c a b 且 d c 1 解得或 d 或 學后反思 1 與平行有關(guān)的問題 一般地 可考慮運用向量平行的充要條件 用待定系數(shù)法求解 2 向量共線定理的坐標表示提供了通過代數(shù)運算來解決向量共線的方法 也為點共線 線平行問題的處理提供了簡單易行的方法 解題時要注意向量共線定理的坐標表示本身具有公式特征 應(yīng)學會利用這一點來構(gòu)造函數(shù)和方程 以便用函數(shù)與方程的思想解題 3 2009 徐州模擬 設(shè)坐標平面上有三點A B C i j分別是坐標平面上x軸 y軸正方向的單位向量 若向量AB i 2j BC i mj 那么是否存在實數(shù)m 使A B C三點共線 即AB BC 舉一反三 解析 假設(shè)存在滿足條件的m 根據(jù)題意可知 i 1 0 j 0 1 AB 1 0 2 0 1 1 2 BC 1 0 m 0 1 1 m 由A B C三點共線 即AB BC 得1 m 1 2 0 解得m 2 當m 2時 A B C三點共線 題型四向量的綜合應(yīng)用問題 例4 12分 已知O 0 0 A 1 2 B 4 5 及OP OA tAB 試問 1 t為何值時 P在x軸上 在y軸上 P在第二象限 2 四邊形OABP能否成為平行四邊形 若能 求出相應(yīng)的t值 若不能 請說明理由 分析利用向量相等 建立點P x y 與已知向量之間的關(guān)系 表示出P點的坐標 然后根據(jù)實際問題確定P點坐標的符號特征 從而解決問題 解 1 O 0 0 A 1 2 B 4 5 OA 1 2 AB 3 3 OP OA tAB 1 3t 2 3t 2 若P在x軸上 則2 3t 0 解得t 若P在y軸上 則1 3t 0 解得 4 若P在第二象限 則解得 6 2 OA 1 2 PB PO OB 3 3t 3 3t 8 若四邊形OABP為平行四邊形 則OA PB 而無解 10 四邊形OABP不能成為平行四邊形 12 學后反思 1 向量的坐標表示 實際上是把向量的運算代數(shù)化 從而實現(xiàn)了數(shù)與形的有機結(jié)合 這樣 很多的幾何問題都可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)的運算 體現(xiàn)了向量的優(yōu)越性 2 利用設(shè)出參數(shù)求參數(shù)是解決向量坐標運算問題的常用方法 而利用方程 組 是求解的重要工具 這一方法需靈活應(yīng)用 舉一反三 4 如圖所示 已知點A 4 0 B 4 4 C 2 6 求AC和OB交點P的坐標 解析 方法一 設(shè)P x y 則OP x y OP OB共線 OB 4 4 4x 4y 0 又CP x 2 y 6 CA 2 6 且向量CP CA共線 6 x 2 2 6 y 0 解由 組成的方程組 得x 3 y 3 點P的坐標為 3 3 方法二 設(shè)OP tOB t 4 4 4t 4t 則AP OP OA 4t 4t 4 0 4t 4 4t AC 2 6 4 0 2 6 由AP AC共線的充要條件知 4t 4 6 4t 2 0 解得 OP 4t 4t 3 3 P點坐標為 3 3 易錯警示 例1 已知點A 1 2 點B 3 6 則與AB共線的單位向量為 錯解由A 1 2 B 3 6 知AB 2 4 錯解分析與AB共線有兩種情況 一是同向共線 一是反向共線 錯解 中忽略了反向共線這一情況 正解與AB同向時為與AB反向時為 例2 已知A 1 1 B 1 3 C 1 5 D 2 7 向量AB與CD平行嗎 直線AB平行于直線CD嗎 錯解 AB 1 1 3 1 2 4 CD 2 1 7 5 1 2 又 2 2 4 1 0 AB CD AB CD 錯解分析在證三點共線或直線平行時 直接由AB CD得AB CD 這是不正確的 因為向量平行與直線平行存在一定的差異 向量平行不等于對應(yīng)的直線平行 還可能出現(xiàn)直線的重合 而直線平行時 對應(yīng)的向量平行 所以解題時應(yīng)區(qū)分開這一點 正解 AB 1 1 3 1 2 4 CD 2 1 7 5 1 2 又 2 2 4 1 0 AB CD 又 AC 1 1 5 1 2 6 AB 2 4 A B C三點不共線 直線AB與直線CD不重合 AB CD 10 2009 湖南 如圖 兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起 若AD xAB yAC 則x y 考點演練 解析 以AB所在直線為x軸 以A為原點建立平面直角坐標系 如圖 令A(yù)B 2 則AB 2 0 AC 0 2 過D作DF AB交AB的延長線于F 由已知得DF BF 則AD AD xAB yAC 2x 2y 即有解得 答案 另解 所以 11 若對幾個向量存在n個不全為零的實數(shù)使得成立 則稱這幾個向量為 線性相關(guān) 依此規(guī)定 求 線性相關(guān) 的實數(shù) 寫出一組數(shù)值即可 不必考慮所有情況 解析 由 線性相關(guān) 定義可知即所以取 則 12 已知 ABC中 A 7 8 B 3 5 C 4 3 M N分別是AB AC的中點 D是BC的中點 MN與AD交于F 求DF 解析 如圖所示 A 7 8 B 3 5 C 4 3 AB 3 7 5 8 4 3 AC 4 7 3 8 3 5 D是BC的中點 AD AB AC 3 5 4 又 M N分別為AB AC的中點 F為AD的中點 DF AD 1 75 2 第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用舉例 基礎(chǔ)梳理 1 平面向量的數(shù)量積 1 平面向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量a和b 它們的夾角為 把數(shù)量 a b cos 叫做a和b的數(shù)量積 或內(nèi)積 記作a b 即a b a b cos 并規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0 2 一向量在另一向量方向上的投影 定義設(shè) 是a和b的夾角 則 a cos 叫做a在b的方向上的投影 b cos 叫做b在a方向上的投影 b在a的方向上的投影是一個實數(shù) 而不是向量 當0 90 時 它是正數(shù) 當90 180 時 它是負數(shù) 當 90 時 它是0 a b的幾何意義數(shù)量積a b等于a的長度 a 與b在a方向上的投影 b cos 的乘積 2 向量的數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a b都是非零向量 e是與b方向相同的單位向量 是a與e的夾角 則 1 e a a e a cos 2 a b a b 0 3 當a與b同向時 a b a b 當a與b反向時 a b a b 特別地 或 4 a b a b 5 cos 是a與b的夾角 3 向量數(shù)量積的運算律 1 a b b a 交換律 2 a b a b a b 數(shù)乘結(jié)合律 3 a b c a c b c 分配律 4 平面向量數(shù)量積的坐標表示 1 a b 2 a b 3 a b 4 若a與b夾角為 則cos 5 若c的起點坐標和終點坐標分別為則 5 平面向量在平面幾何中的應(yīng)用用向量方法解決幾何問題一般分四步 1 選好基向量 2 建立平面幾何與向量的聯(lián)系 用向量表示問題中涉及的幾何元素 將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題 3 通過向量運算研究幾何元素之間的關(guān)系 如距離 夾角等問題 4 把運算結(jié)果 翻譯 成幾何關(guān)系 典例分析 題型一數(shù)量積的運算 例1 已知向量且x 求a b及 a b 分析利用數(shù)量積的坐標運算及性質(zhì) 注意x的取值范圍 回憶三角函數(shù)的公式變換 解又 x a b 學后反思與三角函數(shù)相結(jié)合考查向量的數(shù)量積的坐標運算及其應(yīng)用是高考熱點題型 解答此類問題 除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標運算公式 向量模 夾角的坐標運算公式外 還應(yīng)掌握三角恒等變換的相關(guān)知識 分析求模類型 1 已知a sinx b cosx cosx 且b 0 1 若a b 求x的取值集合 2 求f x a b的最小正周期 舉一反三 解析 1 a b a b 0 即 sinx cosx cosx 0 x的集合為 2 f x a b sinx cosx cosx 周期 題型二模與垂直問題 例2 已知 a 4 b 8 a與b的夾角是120 1 計算 a b 4a 2b 2 當k為何值時 a 2b ka b 分析 1 利用公式求解 2 利用向量垂直的充要條件 通過坐標表示列方程求k 解由已知 a b 4 8 16 1 2 若 a 2b ka b 則 a 2b ka b 0 即16k 16 2k 1 2 64 0 k 7 學后反思 1 利用數(shù)量積求模問題是數(shù)量積的重要應(yīng)用 根據(jù)實際合理選擇以下公式 a a a b 若a x y 則 a 2 非零向量a b a b 0是非常重要的性質(zhì) 它對于解決平面幾何圖形中有關(guān)垂直問題十分有效 應(yīng)熟練掌握 若則a b 舉一反三 2 已知向量m 1 1 向量n與向量m的夾角為 且m n 1 1 求向量n 2 設(shè)向量a 1 0 向量 若n a 0 試求 n b 的取值范圍 解析 1 設(shè)n x y 由已知得即解得或 n 1 0 或 0 1 2 a 1 0 n a 0 n 0 1 故 題型三夾角問題 例3 12分 已知a b都是非零向量 且 a b a b 求a與a b的夾角 分析由公式可知 求兩個向量的夾角關(guān)鍵是求數(shù)量積及模的積 本題中 a b a b 的充分利用是求數(shù)量積的關(guān)鍵 考慮怎樣對條件進行轉(zhuǎn)化 解方法一 由 a b a b 得 所以 4 而 所以 a b a 8 設(shè)a與a b的夾角為 則 10 由于0 180 所以 30 12 方法二 設(shè)由 a b a b 得所以即所以 故設(shè)a與a b的夾角為 8 則 10 由于0 180 所以 30 12 學后反思 1 求兩個向量的夾角 需求得a b及 a b 或得出它們的關(guān)系 注意夾角的取值范圍是 0 180 正確理解公式是關(guān)鍵 2 向量有兩種表示形式 即坐標法和幾何法 解題時要靈活選擇 本題通過比較兩種方法發(fā)現(xiàn) 利用向量的幾何形式解答此類題目顯得更加簡捷和直觀 舉一反三 3 已知 a b 3 a和b的夾角為45 求當向量a b與 a b的夾角是銳角時 的取值范圍 解析 a b a b cos45 a b與 a b的夾角為銳角 a b a b 0 即把a b 3 代入上式得 解得 或 又a b與 a b的夾角為銳角 所以 即 1 所以 題型四綜合應(yīng)用問題 例4 已知向量若函數(shù)f x a b在區(qū)間 1 1 上是增函數(shù) 求t的取值范圍 分析先求出f x 的表達式 然后利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系及增函數(shù)的性質(zhì)求解 注意x的取值范圍 解因為f x a b 所以 若f x 在 1 1 上是增函數(shù) 則在 1 1 上 0 所以 而當t 5時 在 1 1 上滿足 0 即若f x 在 1 1 上是增函數(shù) 則t的取值范圍為 5 學后反思新課標強調(diào)向量的工具性 要求加強向量與三角函數(shù) 函數(shù) 解析幾何 立體幾何等知識的聯(lián)系 因