總結(jié)16種求極限.doc

總結(jié)16種求極限 首先說下我的感覺，假如高等數(shù)學(xué)是棵樹木得話，那么極限就是他的根，函數(shù)就是他的皮。 樹沒有跟，活不下去，沒有皮，只能枯萎，可見這一章的重要性。 為什么第一章如此重要？各個(gè)章節(jié)本質(zhì)上都是極限，是以函數(shù)的形式表現(xiàn)出來的，所以也具有函數(shù)的性質(zhì)。 函數(shù)的性質(zhì)表現(xiàn)在各個(gè)方面首先對(duì)極限的總結(jié)如下極限的保號(hào)性很重要就是說在一定區(qū)間內(nèi)函數(shù)的正負(fù)與極限一致1極限分為一般極限，還有個(gè)數(shù)列極限，（區(qū)別在于數(shù)列極限時(shí)發(fā)散的，是一般極限的一種）2解決極限的方法如下（我能列出來的全部列出來了！你還能有補(bǔ)充么？）1等價(jià)無窮小的轉(zhuǎn)化，（只能在乘除時(shí)候使用，但是不是說一定在加減時(shí)候不能用但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方1或者（1+x）的a次方1等價(jià)于Ax等等。 全部熟記（x趨近無窮的時(shí)候還原成無窮?。?落筆他法則（大題目有時(shí)候會(huì)有暗示要你使用這個(gè)方法）首先他的使用有嚴(yán)格的使用前提！必須是X趨近而不是N趨近?。ㄋ悦鎸?duì)數(shù)列極限時(shí)候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件（還有一點(diǎn)數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無窮的不可能是負(fù)無窮！）必須是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在?。偃绺嬖V你g（x）,沒告訴你是否可導(dǎo)，直接用無疑于找死?。┍仨毷?比0無窮大比無窮大！當(dāng)然還要注意分母不能為0落筆他法則分為3中情況10比0無窮比無窮時(shí)候直接用20乘以無窮無窮減去無窮（應(yīng)為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關(guān)系）所以無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。 通項(xiàng)之后這樣就能變成1中的形式了30的0次方1的無窮次方無窮的0次方對(duì)于（指數(shù)冪數(shù)）方程方法主要是取指數(shù)還取對(duì)數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時(shí)候他的冪移下來趨近于0當(dāng)他的冪移下來趨近于無窮的時(shí)候LNX趨近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的時(shí)候，尤其是含有正余旋的加減的時(shí)候要特變注意?。〦的x展開sina展開cos展開ln1+x展開對(duì)題目簡化有很好幫助4面對(duì)無窮大比上無窮大形式的解決辦法取大頭原則最大項(xiàng)除分子分母！看上去復(fù)雜處理很簡單！5無窮小于有界函數(shù)的處理辦法面對(duì)復(fù)雜函數(shù)時(shí)候，尤其是正余旋的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時(shí)候，一定要注意這個(gè)方法。 面對(duì)非常復(fù)雜的函數(shù)可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來了！6夾逼定理（主要對(duì)付的是數(shù)列極限！）這個(gè)主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴(kuò)大。 7等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對(duì)付數(shù)列極限）（q絕對(duì)值符號(hào)要小于1）8各項(xiàng)的拆分相加（來消掉中間的大多數(shù)）（對(duì)付的還是數(shù)列極限）可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)9求左右求極限的方式（對(duì)付數(shù)列極限）例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時(shí)一樣的，應(yīng)為極限去掉有限項(xiàng)目極限值不變化102個(gè)重要極限的應(yīng)用。 這兩個(gè)很重要！對(duì)第一個(gè)而言是X趨近0時(shí)候的sinx與x比值。 地2個(gè)就如果x趨近無窮大無窮小都有對(duì)有對(duì)應(yīng)的形式（地2個(gè)實(shí)際上是用于函數(shù)是1的無窮的形式）（當(dāng)?shù)讛?shù)是1的時(shí)候要特別注意可能是用地2個(gè)重要極限）11還有個(gè)方法，非常方便的方法就是當(dāng)趨近于無窮大時(shí)候不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的！x的x次方快于x！快于指數(shù)函數(shù)快于冪數(shù)函數(shù)快于對(duì)數(shù)函數(shù)（畫圖也能看出速率的快慢）!當(dāng)x趨近無窮的時(shí)候他們的比值的極限一眼就能看出來了12換元法是一種技巧，不會(huì)對(duì)模一道題目而言就只需要換元，但是換元會(huì)夾雜其中13假如要算的話四則運(yùn)算法則也算一種方法，當(dāng)然也是夾雜其中的14還有對(duì)付數(shù)列極限的一種方法，就是當(dāng)你面對(duì)題目實(shí)在是沒有辦法走投無路的時(shí)候可以考慮轉(zhuǎn)化為定積分。 一般是從0到1的形式。 15單調(diào)有界的性質(zhì)對(duì)付遞推數(shù)列時(shí)候使用證明單調(diào)性！16直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時(shí)候，在分子上f（x加減麼個(gè)值）加減f（x）的形式，看見了有特別注意）（當(dāng)題目中告訴你F (0)=0時(shí)候f （0）導(dǎo)數(shù)=0的時(shí)候就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義?。┖瘮?shù)是表皮函數(shù)的性質(zhì)也體現(xiàn)在積分微分中例如他的奇偶性質(zhì)他的周期性。 還有復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)1奇偶性，奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱偶函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱偶函數(shù)左右2邊的圖形一樣（奇函數(shù)相加為0）2周期性也可用在導(dǎo)數(shù)中在定積分中也有應(yīng)用定積分中的函數(shù)是周期函數(shù)積分的周期和他的一致3復(fù)合函數(shù)之間是自變量與應(yīng)變量互換的關(guān)系4還有個(gè)單調(diào)性。 (再求0點(diǎn)的時(shí)候可能用到這個(gè)性質(zhì)?。梢詫?dǎo)的函數(shù)的單調(diào)性和他的導(dǎo)數(shù)正負(fù)相關(guān)）:o再就是總結(jié)一下間斷點(diǎn)的問題（應(yīng)為一般函數(shù)都是連續(xù)的所以間斷點(diǎn)是對(duì)于間斷函數(shù)而言的）間斷點(diǎn)分為第一類和第二類剪斷點(diǎn)1第一類是左右極限都存在的（左右極限存在但是不等跳躍的的間斷點(diǎn)或者左右極限存在相等但是不等于函數(shù)在這點(diǎn)的值可取的間斷點(diǎn)地二類間斷點(diǎn)是震蕩間斷點(diǎn)或者是無窮極端點(diǎn)（這也說明極限即是不存在也有可能是有界的）:o下面總結(jié)一下求極限的一般題型1求分段函數(shù)的極限當(dāng)函數(shù)含有絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，就很有可能是有分情況討論的了！當(dāng)X趨近無窮時(shí)候存在e的x次方的時(shí)候，就要分情況討論應(yīng)為E的x次方的函數(shù)正負(fù)無窮的結(jié)果是不一樣的！2極限中含有變上下限的積分如何解決類？說白了就是說函數(shù)中現(xiàn)在含有積分符號(hào)，這么個(gè)符號(hào)在極限中太麻煩了你要想辦法把它搞掉！解決辦法1求導(dǎo)，邊上下限積分求導(dǎo)，當(dāng)然就能得到結(jié)果了這不是很容易么？但是！有2個(gè)問題要注意！問題1積分函數(shù)能否求導(dǎo)？題目沒說積分可以導(dǎo)的話，直接求導(dǎo)的話是錯(cuò)誤的！問題2被積分函數(shù)中既含有T又含有x的情況下如何解決？解決1的方法就是方法2微分中值定理！微分中值定理是函數(shù)與積分的聯(lián)系！更重要的是他能去掉積分符號(hào)！解決2的方法當(dāng)x與t的函數(shù)是相互乘的關(guān)系的話，把x看做常數(shù)提出來，再求導(dǎo)數(shù)！當(dāng)x與t是除的關(guān)系或者是加減的關(guān)系，就要換元了?。〒Q元的時(shí)候積分上下限也要變化！）3求的是數(shù)列極限的問題時(shí)候夾逼或者分項(xiàng)求和定積分都不可以的時(shí)候就考慮x趨近的時(shí)候函數(shù)值，數(shù)列極限也滿足這個(gè)極限的當(dāng)所求的極限是遞推數(shù)列的時(shí)候首先判斷數(shù)列極限存在極限的方法是用的單調(diào)有界的定理。 判斷單調(diào)性不能用導(dǎo)數(shù)定義！應(yīng)為是離散的只能用前后項(xiàng)的比較（前后項(xiàng)相除相減），數(shù)列極限是否有界可以使用歸納法最后對(duì)xn與xn+1兩邊同時(shí)求極限，就能出結(jié)果了！4涉及到極限已經(jīng)出來了讓你求數(shù)和位置函數(shù)的問題解決辦法主要還是運(yùn)用等價(jià)無窮小或者是同階無窮小。 應(yīng)為例如當(dāng)x趨近0時(shí)候f（x）比x=3的函數(shù)，分子必須是無窮小否則極限為無窮還有落筆他法則的應(yīng)用，主要是應(yīng)為當(dāng)數(shù)有幾個(gè)時(shí)候，使用落筆他法則可以消掉模些數(shù)，求其他的數(shù)5極限數(shù)列涉及到的證明題，只知道是要構(gòu)造新的函數(shù)但是不太會(huì)！:o最后總結(jié)一下間斷點(diǎn)的題型首先遇見間斷點(diǎn)的問題連續(xù)性的問題復(fù)合函數(shù)的問題，在莫個(gè)點(diǎn)是否可導(dǎo)的問題。 主要解決辦法是3個(gè)一個(gè)是畫圖，你能畫出反例來當(dāng)然不可以了你實(shí)在畫不出反例，就有可能是對(duì)的，尤其是那些考概念的題目，難度不小，對(duì)我而言證明很難的！我就畫圖！我要能畫出來當(dāng)然是對(duì)的，在這里就要很好的理解一階導(dǎo)的性質(zhì)2階導(dǎo)的性質(zhì)，函數(shù)圖形的凹凸性，函數(shù)單調(diào)性函數(shù)的奇偶性在圖形中的反應(yīng)?。ㄔ谶@里尤其要注意分段函數(shù)?。ɡ绶侄魏瘮?shù)導(dǎo)數(shù)存在還相等但是卻不連續(xù)這個(gè)性質(zhì)就比較特殊！應(yīng)為一般的函數(shù)都是連續(xù)的）方法2就是舉出反例?。ㄔ谶@里也是尤其要注意分段函數(shù)?。├缫粋€(gè)函數(shù)是個(gè)離散函數(shù)還有個(gè)也是離散函數(shù)他們的復(fù)合函數(shù)是否一定是離散的類？答案是NO舉個(gè)反例就可以了方法3上面的都不行那就只好用定義了主要是寫出公式，連續(xù)性的公式求在抹一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的公式:o最后了總結(jié)一下函數(shù)在抹一點(diǎn)是否可導(dǎo)的問題1首先函數(shù)連續(xù)不一定可導(dǎo)，分段函數(shù)x絕對(duì)值函數(shù)在（0，0）不可導(dǎo)，我的理解就是不可導(dǎo)=在這點(diǎn)上圖形不光滑。 可導(dǎo)一定連續(xù)，應(yīng)為他有個(gè)前提，在點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)有定義，假如沒有這個(gè)前提，分段函數(shù)左右的導(dǎo)數(shù)也能相等1主要考點(diǎn)1函數(shù)在抹一點(diǎn)可導(dǎo)，他的絕對(duì)值函數(shù)在這點(diǎn)是否可導(dǎo)？解決辦法記住函數(shù)絕對(duì)值的導(dǎo)數(shù)等于f（x）除以（絕對(duì)值（f（x）再乘以F（x）的導(dǎo)數(shù)。 所以判斷絕對(duì)值函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn)，首先判斷函數(shù)等于0的點(diǎn)，找出這些點(diǎn)之后，這個(gè)導(dǎo)數(shù)并不是百分百不存在，原因很簡單分母是無窮小，假如分子式無窮小的話，絕對(duì)值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)依然存在啊，所以還要找出f（a）導(dǎo)數(shù)的值，不為0的時(shí)候，絕對(duì)值函數(shù)在這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是無窮，所以絕對(duì)值函數(shù)在這些點(diǎn)上是不可導(dǎo)的啊考點(diǎn)2處處可導(dǎo)的函數(shù)與在抹一些點(diǎn)不可以導(dǎo)但是連續(xù)的函數(shù)相互乘的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)的判斷直接使用導(dǎo)數(shù)的定義就能證明，我的