傳染病模型數(shù)學(xué)建模論文.doc

甲型H1N1流感傳播模型研究摘要本文采用了SIR模型對的甲型h1n1流感病毒的傳播規(guī)律進(jìn)行了研究和預(yù)測，文章收集了美國地區(qū)的甲流實(shí)驗(yàn)室確認(rèn)病例數(shù)量的數(shù)據(jù)，對模型進(jìn)行了驗(yàn)證，并提出了如何降低流感在人群中發(fā)病率的倆種可靠方法。一、問題重述近年來由墨西哥發(fā)端的甲型h1n1型流感（又稱豬流感）正成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)，通過相關(guān)網(wǎng)站獲得數(shù)據(jù)，建立一個模型對甲型h1n1流感的走勢進(jìn)行預(yù)測。二、問題分析甲型h1n1流感的傳播是一道傳染病問題。在數(shù)學(xué)建模領(lǐng)域已經(jīng)有很多關(guān)于這方面的研究，其中SIR模型是比較完整的模型。SIR模型通過建立微分方程組，按照一般的傳播機(jī)理建立集中模型。本文選取美國地區(qū)的甲流實(shí)驗(yàn)室確認(rèn)病例數(shù)量，建立SIR模型，對甲型h1n1流感的傳播規(guī)律進(jìn)行預(yù)測。美國甲型H1N1流感實(shí)驗(yàn)室確認(rèn)病例數(shù)量：時間確診（包括死亡病例）死亡（累計(jì)）4月23日504月24日804月25日1104月26日2004月27日4004月28日6404月29日9104月30日10915月1日14115月2日16015月3日22615月4日27915月5日40315月6日64225月7日89625月8日163925月9日225425月10日253235月11日260035月12日300935月13日335245月14日429845月15日47144三、建立模型（一）、不考慮潛伏期的數(shù)學(xué)模型 1、模型假設(shè)（1）、在甲型H1N1流感傳播期內(nèi)，美國境內(nèi)的總?cè)藬?shù)為N億不變，既不考慮生死，也不考慮遷移，人群分為易感染者S，發(fā)病人群I和退出人群R(括死亡者和治愈者)四類，時刻t內(nèi)這三類人在總?cè)藬?shù)中所占比例分別為s(t)、i(t)、r(t)。（2）、i(t)關(guān)于時間的增長率與s(t)成正比，比例常數(shù)為。 病人的數(shù)量減少速度與當(dāng)時的病人總?cè)藬?shù)成正比，比例常數(shù)為。治愈的病人具有了免疫力，即治愈后不再會成為二次患者。（3）、s(t)、r(t)、i(t)之和是一個常數(shù)1。2、模型構(gòu)成易感者和發(fā)病者有效接觸后成為發(fā)病者者。設(shè)每個發(fā)病者平均每天有效接觸的易感者數(shù)為，個發(fā)病者平均每天能使個易感者成為病毒潛伏者。所以有： （1）單位時間內(nèi)退出者的變化等于發(fā)病人群的減少，即 （2）發(fā)病人群的變化等于易感人群轉(zhuǎn)入的數(shù)量，即 （3） 記初始時刻的健康者和病人的比例分別為、（不妨設(shè)=0）。3、模型求解方程組（1）、（2）、（3）無法求出解析解，我們定義一個新的變量 ，于是可以求出方程的解為： （4） 下面分析s(t)、i(t)、r(t)的變化情況：a、不論初始條件、如何，病人最終將消失，即。b、最終未被感染者的健康者的比例是，是方程在內(nèi)的根。C、若，則開始有：先增加。當(dāng)時，達(dá)到最大值，然后減小且趨于零，則單調(diào)減小至。d、若，則單調(diào)減小至5，則單調(diào)減小至。我們發(fā)現(xiàn)人們的衛(wèi)生水平越高，日接觸率越??；醫(yī)療水平越高，日治愈率越高，于是越小，所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有利于傳染病的蔓延。結(jié)合美國的具體情況和假設(shè)條件進(jìn)行分析：根據(jù)所得的數(shù)據(jù)畫出美國患病人數(shù)變化曲線和治愈人數(shù)變化曲線： 根據(jù)圖形來看，甲型h1n1流感在美國呈現(xiàn)出蔓延的形式，即現(xiàn)在屬于的情況，即 。由假設(shè)條件可知的取值范圍在之間?，F(xiàn)在我們?nèi)?1.6，則表示，即美國每天平均治愈的人數(shù)最多為1.6人，這與美國疾病預(yù)防與控制中心所發(fā)布的數(shù)據(jù)不同。如果美國平均每天治愈1.6個人的話，那么從4月23日期，治愈的總?cè)藬?shù)為人，這與實(shí)際的情況相差甚遠(yuǎn)。產(chǎn)生這個問題的原因有以下幾個方面：第一：對每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)估計(jì)值偏小。不是簡單的成正比關(guān)系，應(yīng)該是成多次方關(guān)系，甚至是指數(shù)關(guān)系。第二：美國疾病預(yù)防與控制中心所得到的數(shù)據(jù)具有滯后性。第三：在美國不一定成立?？梢园涯切┥眢w強(qiáng)壯的、注意自己個人衛(wèi)生的人排除在外。 （二）、考慮潛伏期的數(shù)學(xué)模型1、模型假設(shè)（1）、在甲型H1N1流感傳播期內(nèi)，美國境內(nèi)的總?cè)藬?shù)為N億不變，既不考慮生死，也不考慮遷移，人群分為易感染者S，病毒潛伏人群E,發(fā)病人群I和退出人群R(括死亡者和治愈者)四類，時刻t內(nèi)這三類人在總?cè)藬?shù)中所占比例分別為。（2）、每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)為，稱為日接觸率，當(dāng)已感染者與易感染者有效接觸時，使易感染者變?yōu)椴《緷摲巳?，病毒潛伏人群過一段時間再轉(zhuǎn)換成發(fā)病人群，發(fā)病人群被治愈。2、模型構(gòu)成易感者和發(fā)病者有效接觸后成為病毒潛伏者。設(shè)每個發(fā)病者平均每天有效接觸的易感者數(shù)為，個發(fā)病者平均每天能使個易感者成為病毒潛伏者。所以有 化簡得：病毒潛伏人群的變化等于易感人群轉(zhuǎn)入數(shù)量減去轉(zhuǎn)化為發(fā)病人群的數(shù)量，即其中表示潛伏期日發(fā)病率，即每個潛伏者平均有效發(fā)病的人數(shù)。單位時間內(nèi)退出者的變化等于發(fā)病人群的減少，即其中表示日退出率，即每個病人平均有效病情結(jié)束的人數(shù)。發(fā)病人群的變化等于潛伏人群轉(zhuǎn)入的數(shù)量，即初始時刻易感染者，已感染者與病愈免疫者的比例分別是3、模型求解由于潛伏期的人群數(shù)量不能確定，所以可視為是易感人群的一部分，因此求解過程跟忽略潛伏期的一樣。四、模型的改進(jìn)就如何確定日接觸率的值。就如何確定日接觸率可以進(jìn)行改進(jìn)，根據(jù)以前的流感疫情治愈率，加權(quán)平均得到