復(fù)積分計算總結(jié)范文.docVIP

復(fù)積分計算總結(jié)范文 復(fù)積分的計算方法孟小云xx2115025（數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)xx級3班）指導(dǎo)老師海泉摘要本文歸納了計算復(fù)積分的多種方法，并舉例說明了它們的應(yīng)用。 關(guān)鍵詞復(fù)變函數(shù)；復(fù)積分在復(fù)變函數(shù)的分析理論中，復(fù)積分是研究解析函數(shù)的重要工具，解析函數(shù)的許多重要性質(zhì)都要利用復(fù)積分來表述和證明的，因此，對復(fù)積分及其計算的研究顯得尤為重要。 本文介紹了復(fù)變函數(shù)積分常規(guī)的計算方法、利用級數(shù)法、拉普拉斯變換法及對數(shù)留數(shù)與輻角原理進行復(fù)積分計算方法。 利用這些方法可以使一些復(fù)雜的復(fù)積分計算變得簡單、快捷。 接下來要介紹計算復(fù)積分的常見的一些方法。 方法1參數(shù)方程法定理設(shè)光滑曲線c:z=z(t)=x(t)+iy(t)(t),()z t在,上連續(xù)，且()z t0，又設(shè)()f z沿c連續(xù)，則()()()cf z dz f z tz tdt=?。 1、若曲線c為直線段，先求出c的參數(shù)方程。 c為過12,z z兩點的直線段，c121(),0,1z z z zt t=+?1,z為始點2,z為終點。 例1計算積分1Rezdz?，路徑為直線段.解設(shè)1 (1) (1),0,1,z it tit t=?+=?+原式=11xx (1)()22it idt t t?=?=? 2、若曲線為圓周或圓周的一部分，例如c為以a為心為半徑的圓。 設(shè)c,z a R?=即Re,0,2,iz a=+（曲線的正方向為逆時針）例2計算積分,cz dz?c為從到的下半單位圓周.解設(shè),0i iz e dze d=?原式00(cos sin)2iie di id?=+=?注上述方法只適用于積分曲線式特殊類型的曲線。 方法2利用柯西積分定理柯西積分定理設(shè)函數(shù)()f z在復(fù)平面上的單連通區(qū)域D內(nèi)解析，c為D內(nèi)任一條周線，則()0cf z dz=?例3計算2,22cdzz z+?c為單位圓周1z=.解1z=是2()22dzf zz z=+的解析區(qū)域內(nèi)的一閉曲線，由柯西定理有2022cdzz z=+?注此題可用參數(shù)方法，但計算要復(fù)雜得多，而用柯西定理很簡單。 1、柯西積分定理可推廣到復(fù)周線的情形，這也是計算復(fù)積分的一個有利工具，即復(fù)函數(shù)沿區(qū)域外邊界曲線的積分等于沿區(qū)域內(nèi)邊界積分的和。 適用于積分曲線內(nèi)部含被積函數(shù)奇點的情形。 例4計算221czdzz z?的值，c為包含圓周1z=的任何正向簡單閉曲線.解；22111(),1c czdz dzz z z z?=+?分別以0,1z z=為心作兩完全含于c內(nèi)且互不相交的圓周12,c c則有原式121111()()11c cdz dzz z z z+?1122111111c c c cdz dz dzdzz z z z+?xx4i i i+= 2、若積分與路徑無關(guān)的條件下也可直接按實積分中的牛頓萊布尼茨公式計算。 例5計算222 (2)iz dz?+?+?.解因為2() (2)f z z=+在復(fù)平面上處處解析，所以積分與路徑無關(guān)。 原式=22232221 (44)2433iiiz zdz zzz?+?+?+=+=?注利用柯西積分定理也有一定的局部性，主要體現(xiàn)在被積函數(shù)上，只有某些特殊的函數(shù)或能拆成若干個特殊函數(shù)的函數(shù)計算起來較方便。 方法3利用柯西積分公式 1、柯西積分公式設(shè)區(qū)域D的邊界是周線（復(fù)周線）c，函數(shù)()f z在D內(nèi)解析，在D Dc=+內(nèi)連續(xù)，則1()()2cff zdi z?=?()z D例6計算21zcezz+?，其中為圓周2z=.解因被積函數(shù)的兩個奇點是,i i?分別以這兩點為心作兩個完全含于c而且互不相交的圓周12,c c原式=12122211z zz zc c c ceee ez i z idz dzdzdzz zz i z i+=+?=22()z zi iz i z ieei i e ez izi?=?+=?+?此題是柯西積分公式與柯西積分定理應(yīng)用的結(jié)合，比單獨應(yīng)用柯西積分定理容易方便得地多。 2、柯西積分公式解決的是形如(),()cfd z Dz?的積分，那形如(),()()ncfd zDz?的積分怎樣計算呢？利用解析函數(shù)的無窮可微性()1!()(),()(1,2,)2()nn ff zdzDni z?+=?可解決此問題。 例7計算22, (1)zcedzz+?c為2z=.解因被積函數(shù)的兩個奇點是,ii?分別以這兩點為心作兩個完全含于c而且互不相交的圓周12,c c原式=121222222222()() (1) (1)()()z zz zc c c ceee eziz idzdzdzdzz zzizi+?+=+?+?2222 (1)()()()2z ziiz iz ieei iieiez izi?=?=+=?+?注柯西積分公式與解析函數(shù)的無窮可微性在計算復(fù)積分時的主要區(qū)別在于被積函數(shù)分母的次數(shù)，二者在計算時都常與柯西積分定理相結(jié)合。 方法4利用柯西留數(shù)定理柯西留數(shù)定理()f z在周線（復(fù)周線）c所圍區(qū)域D內(nèi)除12,na a a?外解析，在閉區(qū)域D Dc=+上除12,na aa?外連續(xù)，則1()2()knc z akf zdz iRes f z=?例8計算2252 (1)zzdzz z=?.解2252() (1)zzf zdzz z=?=?，在圓周2z=內(nèi)有一階極點z=0,二階極點2052Re()20 (1)zzs f zzz=?=?=?152Re()()21zzs f zzz=?=由留數(shù)定理原式102(Re()Re()2 (22)0z zis f z sf zi=+=?=方法5借助于沿封閉曲線的復(fù)積分當計算不封閉曲線為積分路徑的復(fù)積分時，可把積分路徑作為部分曲線來構(gòu)造封閉曲線，首先計算沿封閉曲線的復(fù)積分，再計算最初的沿不封閉曲線的積分。 例9計算1cdzz?，其中c是以(1,0)為起點、(2,0)為終點的光滑曲線.分析構(gòu)造封閉曲線0c cBA=+，易求1()F zz=沿0c的復(fù)積分，利用復(fù)積分的性質(zhì)求原復(fù)積分。 解設(shè)0c cBA=+，其中BA是以(2,0)B為起點，(1,0)A為終點的直線段，參數(shù)方程是z=x,x是由2變到1，所以0111BAdz dzdzzzz=+?設(shè)()1f z=，則00112 (0)20c cdzdz ifiz z=?由于12111ln ln22BAdz dxxz x=?所以01112(ln2)2ln2BAdz dzdz iiz zz=?=?=+?方法6利用積分換元公式關(guān)于復(fù)積分的變量替換，與定積分的變量替換類似，要求變換是一對一的且可微。 設(shè)()w f z=在區(qū)域D內(nèi)單葉解析，c是D內(nèi)一條簡單光滑曲線(),zztt=那么 (1)在變換()w f z=之下，c的像也是W平面上一條簡單光滑曲線； (2)若函數(shù)()w?沿連續(xù)，則有積分換元公式()()()w dw f z f zdz?=?例10計算積分42261czdzz z+?，:2ic ze=,0.解令2()wf zz=，它在上半平面單葉解析，把半圓c變成圓2:4iw e=，0即4w=，由換元公式得261cdwIw w=+?因21()61 (322) (322)dww w?=+?+?在圍線內(nèi)僅有一個一階極點322w=?+，3221Re()322322ws ?=?+=+=?+142=由留數(shù)定理124222iI i=?=注對非單葉的變換，使用換元公式要特別小心，這時簡單曲線c的像不再是簡單曲線，但可把它分為幾段簡單曲線之和，即化為局部單葉變換的情形來處理。 例11計算積分42261czdzJz z=+?，:2c z=.解令2w z=，則:2ic ze=，02的像曲線為雙重圓2:4iw e=，02把分解為兩個單圓12=+，1:4iw e=，02，2:4,24iw e=；它們分別對應(yīng)于原像c之兩段12:2,0,:2,02,i ic zec ze=分段利用積分換元公式得12424242222616161czdz zdzzdzz zzzzz=+?12226161dw dww=+?42261wdww w=+?2I=2i=方法7積分估值法積分估值若沿曲線c，函數(shù)()f z連續(xù)，且有正數(shù)M使()f zM，L為c長，則()cf zdz ML?例12設(shè)()f z在復(fù)平面上解析，且有界，求極限()lim()()z RRf zdzz a z b=?，,a b為常數(shù)()a b，由此證明劉維爾定理.解,a b?且(),a b則對于充分大的R，總可以使,a b位于圓z R （1）另一方面()1()()2()()()()z Rz Rf z fzfzidzdz f b f az a zbb a zbzab a=?=? （2）綜合 （1）和 （2）得()()faf b=，特別取0a=有() (0)fbf=，由b的任意性，知()fz在z平面上必為常數(shù)。 以上計算方法在復(fù)積分計算中是經(jīng)常使用的方法，比較簡單普遍，在復(fù)積分計算時很容易想到。 下面介紹一些不常用的，且?guī)в幸欢记尚缘姆椒ā?方法8級數(shù)法連續(xù)性逐項積分定理設(shè)()nf z在曲線c上連續(xù)(1,2,3,)?，1()nnf z=?在c上一致收斂于()nf z，則()nf z在曲線c上連續(xù)，并且沿c可逐項積分1()()n nnf zdz fzdz=?，將函數(shù)展成泰勒級數(shù)或洛朗級數(shù)就解決了該類復(fù)積分的有關(guān)問題。 例13計算積分11(),:2nz dzcz=? 例14計算積分011cos2pze dzaz az+?.解令11()cos2f azazaz=，則011()cos2pzL faz edzazaz+?=?由相似定理有1()()pL faz Faa=由拉普拉斯變換表得1()cosp apF e p aa pa?=所以01111cos()cos2pa pzpe dzFep aazaaazapa+?=?方法10運用對數(shù)留數(shù)定理與輻角原理具有以下形式的積分1()2()cf zdzifz?稱為()fz關(guān)于曲線c的對數(shù)留數(shù)。 1.對數(shù)留數(shù)定理如果()fz在簡單曲線c上解析且不為零，在c的內(nèi)部除去有限個極點外也處處解析，則1()2()cf zdzifz?=N P?.其中N為()fz在c內(nèi)零點的總個數(shù)，P為()fz在c內(nèi)極點的總個數(shù)，且c取正向。 在計算零點與極點的個數(shù)時，m階的零點或極點算作m個零點或極點。 2.輻角原理如果()fz在簡單閉曲線c上與c內(nèi)解析，且在c上不等于零，則()fz在c內(nèi)零點的個數(shù)等于12乘以當z沿c的正向繞行一周時()fz輻角變量，即1()2cN Argfz=+?.例15計算積分5()()zf zdzfz=?，其中252sin (1)() (1)zz zfze z?=?.解()fz在5z=上解析且不等于零。 又()fz在5z=的內(nèi)部解析，零點個數(shù)123N=+=，極點個數(shù)527P=+=由對數(shù)留數(shù)定理有5()2()2 (37)8()zf zdzi NP iif z=?=?=?總結(jié)以上總共給了計算復(fù)積分的10種方法，其中一些是常見的最基本的方法。 級數(shù)法、拉普拉斯變換法、運用對數(shù)留數(shù)與輻角原理是對常用復(fù)積分計算方法的補充，具有一定的技巧，文中以例題說明了其具體運用的巧妙和簡捷之處。 可見靈活運用這些計算技巧，可以使繁瑣的積分過程得以簡