小學(xué)數(shù)學(xué)基本概念.doc

第一章 數(shù)與代數(shù)一、整數(shù)整數(shù)的概念和組成：整數(shù)：像-3、-2、-1、1、2、3這樣的數(shù)叫做整數(shù)，整數(shù)分為正整數(shù)、0、負整數(shù)（整數(shù)也可以分為自然數(shù)和負整數(shù)）。自然數(shù) 正整數(shù)（1、2、3）整數(shù) 0 負整數(shù)（-3、-2、-1）不是自然數(shù)自然數(shù)：數(shù)物體的時候，用來表示物體個數(shù)的0,1,2,3叫做自然數(shù)。自然數(shù)的個數(shù)是無限的，沒有最大的自然數(shù)。一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數(shù)，它是最小的自然數(shù)。0的作用：1、表示沒有。2、表示起點。3、表示分界。4、用來占位。自然數(shù)由若干個1組成，1是所有自然數(shù)的單位，如5里面有5個1。自然數(shù)具有基數(shù)性，還有序數(shù)性。如“5個同學(xué)做第5路公交車回家”，“5個同學(xué)”中的“5”表示人的個數(shù)叫做基數(shù)，“第5路公交車”中的“5”表示事物的次序叫做序數(shù)。負數(shù)：為了表示兩種相反意義的量，出現(xiàn)了一種新的數(shù)，如-2、-6、-9.5、 這樣的數(shù)叫做負數(shù)。0不是正數(shù)也不是負數(shù)。負數(shù)都比0小，正數(shù)都比0大，正數(shù)都大于負數(shù)。十進制計數(shù)法、計數(shù)單位、數(shù)位、位數(shù)：十進制計數(shù)法：每相鄰的兩個計數(shù)單位之間的進率都是十的計數(shù)法叫做十進制計數(shù)法。如10個一是十，10個一百是一千計數(shù)單位：一（個）、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億、十億、百億、千億都是計數(shù)單位。數(shù)位：不同的計數(shù)單位，按照一定的順序排列，它們所占的位置叫做數(shù)位。同一個數(shù)字所在的數(shù)位不同，表示的意義也就不同。如3寫在十位上表示3個十，寫在百位上是3個百。位數(shù)：一個數(shù)占有數(shù)位的個數(shù)叫做數(shù)位，如5是1位數(shù)，25是兩位數(shù)，256是3位數(shù)，3000是4位數(shù)。整數(shù)的讀法：讀一個多位數(shù)，從高位到低位，一級一級地讀。每級都按照個級的讀法來讀，讀億級、萬級時，必須加上“億”字或“萬”字。每級末尾的“0”都不讀，其它數(shù)位有一個或連續(xù)有幾個“0”的都只讀一個零。讀數(shù)時，先畫出分級線，再讀數(shù)，這樣可以快速、準確地讀出一個多位數(shù)。整數(shù)的寫法：寫數(shù)時，按從高位到低位的順序，一級一級地寫。哪個數(shù)位上一個單位也沒有，就在那一位上寫0。寫完后，畫上分級線檢查，每一級都只能寫四位，不要多寫或少寫0。整數(shù)的改寫與省略：一個較大的多位數(shù)，為了讀寫方便，常常把它改寫成用“萬”或“億”作單位的數(shù)。有時還可以根據(jù)需要，省略這個數(shù)某一位后面的尾數(shù)，寫成近似數(shù)。整數(shù)的大小比較：（1）正整數(shù)大小的比較：位數(shù)不同的正整數(shù)比較，位數(shù)多的數(shù)就大；位數(shù)相同時，從左起第一位大的數(shù)就大，如果左起第一位數(shù)相同，就比較左起第二位，第二位的數(shù)大這個數(shù)就大，以此類推直到比較出數(shù)的大小。（2）負整數(shù)大小的比較：在數(shù)軸上，從左到右的順序就是數(shù)從小到大的順序。也就是負號后面的數(shù)越大，這個負數(shù)就越小。（3）整數(shù)大小的比較： 正整數(shù)0負整數(shù)二、小數(shù)小數(shù)的概念：把整數(shù)“1”平均分成10份、100份、1000份這樣的一份或幾份可以用十分之幾、百分之幾、千分之一表示；也可以用小數(shù)表示。小數(shù)中圓點“”叫做小數(shù)點。小數(shù)點左邊是整數(shù)部分，小數(shù)點右邊是小數(shù)部分。小數(shù)的計數(shù)單位和數(shù)位：計數(shù)單位：小數(shù)的計數(shù)單位是十分之一、百分之一、千分之一；也可以寫成0.1、0.01、0.001小數(shù)部分的最大計數(shù)單位是十分之一，沒有最小的計數(shù)單位。數(shù)位：小數(shù)部分從左往右依次是十分位、百分位、千分位位數(shù)：小數(shù)部分有幾個數(shù)字，這個小數(shù)就是幾位小數(shù)。小數(shù)的讀法：讀小數(shù)時，小數(shù)的整數(shù)部分按整數(shù)的讀法來讀,小數(shù)點讀作“點”,小數(shù)部分按照從左往右的順序依次讀出每一個數(shù)位上的數(shù)字。如：45.732 讀作：四十五點七三二。小數(shù)的寫法：寫小數(shù)時，整數(shù)部分按照整數(shù)的寫法來寫，如果整數(shù)部分一個都沒有就寫“0”，小數(shù)點寫在個位右下角，小數(shù)部分順次寫出每一個數(shù)位上的數(shù)字。如：零點一零四二 寫作：0.1042 四十八點二六 寫作：48.26小數(shù)的基本性質(zhì)：小數(shù)的末尾添上0或者去掉0，小數(shù)的大小不變，這叫做小數(shù)的基本性質(zhì)。小數(shù)的大小比較：（1）正小數(shù)0負小數(shù)（2）正小數(shù)的大小比較：先看整數(shù)部分，整數(shù)部分大的小數(shù)就大。整數(shù)部分相同，再看小數(shù)部分；十分位上的數(shù)大的小數(shù)就大，十分位上的數(shù)相同，百分位上的數(shù)大的小數(shù)就大（3）負小數(shù)的大小比較：在數(shù)軸上，左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)。也就是負號后面的數(shù)越大，這個負數(shù)就越小。小數(shù)的分類：純小數(shù)：整數(shù)部分為“0”的小數(shù)按整數(shù)部分的情況分類按小數(shù)部分位數(shù)多少分類有限小數(shù)無限小數(shù)（小數(shù)部分位數(shù)有限的小數(shù)）（小數(shù)部分位數(shù)無限的小數(shù)）循環(huán)小數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)純循環(huán)小數(shù)混循環(huán)小數(shù)（從小數(shù)部分第一位出現(xiàn)循環(huán)節(jié)的小數(shù)）（從小數(shù)部分第二位或以后才出現(xiàn)循環(huán)節(jié)的小數(shù)）（如3.1415926） 帶小數(shù)：整數(shù)部分不為“0”的小數(shù)小數(shù)點移動引起小數(shù)大小的變化：小數(shù)點向右移動一位、兩位、三位數(shù)就擴大10倍、100倍、1000倍如果要把一個數(shù)擴大或縮小10倍、100倍只需要移動小數(shù)點,數(shù)位不夠時用0補足.三、分數(shù)分數(shù)的概念：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)叫做分數(shù)。表示其中一份的數(shù)叫做這個分數(shù)的分數(shù)單位。注意：單位“1”既可以表示1千克、1米等具體的計量單位，也可以表示一個物體如一個蘋果、一個蛋糕，還可以表示一個整體如一堆沙、一條路、一個班級等。分數(shù)的讀法：先讀分母，再讀“分之”，最后讀分子。帶分數(shù)要先讀整數(shù)部分，然后讀“又”，再讀分數(shù)部分。分數(shù)的寫法：寫分數(shù)時，先寫分數(shù)線，再寫分母，最后寫分子（帶分數(shù)先寫整數(shù)部分，再寫分數(shù)部分，整數(shù)部分要對準分數(shù)線）。分數(shù)的分類：真分數(shù)（分子比分母?。?）分 整數(shù)（分子是分母的倍數(shù)）數(shù) 假分數(shù)（分子等于分母或分子大于分母（1）帶分數(shù)（分子不是分母的倍數(shù)）假分數(shù)與帶分數(shù)或整數(shù)的互化：用假分數(shù)的分子除以分母，如果分子能被分母整除，所得的商就是整數(shù)；如果不能整除，所得的商就是帶分數(shù)的整數(shù)部分，用原來的分母作分母，用余數(shù)作分數(shù)部分的分子。整數(shù)（0除外）化成假分數(shù)，用指定的數(shù)作分母，用分母與整數(shù)的乘積作分子。帶分數(shù)化成假分數(shù)，用原來的分母作分母，用分母與整數(shù)的乘積再加上原來的分子作分子。分數(shù)的基本性質(zhì)：分數(shù)的分子和分母同時乘或者除以相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變，這叫做分數(shù)的基本性質(zhì)。利用分數(shù)的基本性質(zhì)可以把分數(shù)通分和約分。分數(shù)的大小比較：（1）正分數(shù)0負分數(shù)（2）正分數(shù)的大小比較： 分母相同的分數(shù)，分子大的分數(shù)就大。 分子相同的分數(shù)，分母小的分數(shù)反而大。 分子分母都不同的分數(shù)，先通分成同分母分數(shù)或同分子分數(shù)，再比較大小。也可以化成小數(shù)再比較。帶分數(shù)比較大小，先比較整數(shù)部分，整數(shù)部分大的就大，整數(shù)部分相同，比較分數(shù)部分，分數(shù)部分大的就大。（3）負分數(shù)的大小比較：在數(shù)軸上，左邊的分數(shù)小于右邊的分數(shù)。也就是負號后面的數(shù)越大，這個負數(shù)就越小。分數(shù)與除法的關(guān)系：兩個自然數(shù)相除（0除外），它們的商可以用分數(shù)來表示：分數(shù)與除法的聯(lián)系與區(qū)別:聯(lián) 系區(qū)別分數(shù)分子分數(shù)線分母（不能為0）分數(shù)值分數(shù)是一種數(shù)除法被除數(shù)除號除數(shù)商除法是一種運算最簡分數(shù)：分子和分母互質(zhì)的分數(shù)叫做最簡分數(shù)。計算的結(jié)果,能約分的要約成最簡分數(shù);假分數(shù)的,一般要化成帶分數(shù)或整數(shù).判斷一個最簡分數(shù)能不能化成有限小數(shù):分母中除了2和5以外,不含有其他的質(zhì)因數(shù),就能化成有限小數(shù).約分-把一個分數(shù)化成和它相等,但分子和分母都比較小的分數(shù).約分的方法:1.用分子分母的公約數(shù)(1除外)逐次去除分子和分母,直到得到最簡分數(shù)為止.2.用分子和分母的最大公約數(shù)去除分子和分母.四、百分數(shù)百分數(shù)的概念：表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)叫百分數(shù)。百分數(shù)又叫百分率或百分比。百分數(shù)通常用百分號“%”表示。百分數(shù)的讀法：“%”讀作“百分之”。先讀“百分之”，再讀“%”前面的數(shù)。如：37% 讀作：百分之三十七0.5% 讀作：百分之零點五百分數(shù)的寫法：百分數(shù)通常不寫成分數(shù)形式，而是在原來的分子后面加上百分號“%”來表示。百分數(shù)與分數(shù)的區(qū)別：（1）分數(shù)既可以表示一個數(shù)，如 千克、 米，又可以表示兩個數(shù)量之間的倍比關(guān)系，如公雞只數(shù)是母雞只數(shù)的 。百分數(shù)只能表示一個數(shù)量占另一個數(shù)量的百分比，不能用來表示具體的數(shù)。所以分數(shù)可以有單位名稱，百分數(shù)不能有單位名稱。（2）分數(shù)的分母可以是除0以外的任何自然數(shù)，百分數(shù)的分母只能是100。分 數(shù)百分數(shù)聯(lián)系百分數(shù)是一種特殊的分數(shù)。都可以表示兩個數(shù)的關(guān)系。意義不同把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的1 份或幾份的數(shù)。表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾。實際應(yīng)用不同可以表示倍數(shù)關(guān)系，不帶任何計量單位名稱；也可以帶上計量單位名稱，表示一個具體的量。兩個數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，后面不帶任何計量單位名稱。性質(zhì)應(yīng)用不同根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)，可以把一些分數(shù)化簡，約成最簡分數(shù)。百分數(shù)不能約分，也不能化成整數(shù)或帶分數(shù)。讀寫方法不同讀做“一百分之二十五”，一般規(guī)定分子是整數(shù)。25%讀作“百分之二十五”，寫法上必須用百分號，而百分號前的數(shù)可以是整數(shù)也可以是小數(shù)，且一般保留一位小數(shù)。小數(shù)、分數(shù)、百分數(shù)之間的互化：百分數(shù)小數(shù)、分數(shù)、百分數(shù)比較大?。盒?shù)、分數(shù)、百分數(shù)比較大小時，最好先把它們統(tǒng)一化成小數(shù)，再進行比較。五、數(shù)的整除整除：自然數(shù)a除以自然數(shù)b（b0），除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或b能整除a。判斷一個算式是否是整除的方法：被除數(shù)、除數(shù)、商都是整數(shù)（除數(shù)不能為0）。沒有余數(shù)。因數(shù)和倍數(shù)：如果數(shù)a能被數(shù)b整除（b0），數(shù)a就叫做數(shù)b的倍數(shù)，數(shù)b就叫做數(shù)a的因數(shù)。倍數(shù)和因數(shù)是互相依存的。不能單獨說一個數(shù)是因數(shù)或倍數(shù)。如305=6 30是5的倍數(shù)，也是6的倍數(shù)； 5是30的因數(shù)。6也是30的因數(shù)。一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的。其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的。其中最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)。2、3、5的倍數(shù)的特征：2的倍數(shù)的特征：個位上是0、2、4、6、8的數(shù)。3的倍數(shù)的特征：各個數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)的數(shù)。5的倍數(shù)的特征：個位上是0或5的數(shù)。能同時被2、5整除的數(shù)的特征：個位上是0。能同時被2、3整除的數(shù)的特征：個位上是0、2、4、6、8，并且各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除。能同時被3、5整除的數(shù)的特征：個位上是0或5，并且各個數(shù)位上的數(shù)字的和能被3整除。能同時被2、3、5整除的數(shù)的特征：個位上是0，并且各個數(shù)位上的數(shù)字的和能被3整除。奇數(shù)和偶數(shù)：奇數(shù)：在自然數(shù)中，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)，個位上是1，3，5，自然數(shù) 7，9。偶數(shù)：在自然數(shù)中，能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，個位上是0，2，4，6，8。最小的偶數(shù)是0，沒有最大的偶數(shù)。最小的奇數(shù)是1，沒有最大的奇數(shù)。質(zhì)數(shù)和合數(shù)：一個數(shù)，如果只有1和它本身兩個因數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素數(shù)）。最小的質(zhì)數(shù)是2。一個數(shù)，如果除了1和它本身以外還有別的因數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。最小的合數(shù)是4。1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。1： 只有一個因數(shù)（只有1）自然數(shù) 質(zhì)數(shù)：只有兩個因數(shù)（1和它本身） 合數(shù)：因數(shù)超過兩個（除了1和它本身以外還有別的因數(shù)）質(zhì)因數(shù)和分解質(zhì)因數(shù)：每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式，其中每個質(zhì)數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù)，叫做這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù)。如：12=223，2、3都是質(zhì)數(shù)，并且又是6的因數(shù)，所以，2、3叫做12的質(zhì)因數(shù)。把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，這個過程就叫做分解質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)通常用短除法。如：把30分解質(zhì)因數(shù)。30=235注意：如果寫成235=30是錯誤的，這表示一個算式，不是分解。公因數(shù)和最大公因數(shù)：幾個數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公因數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公因數(shù)。幾個數(shù)的最小公因數(shù)都是1。所有的公因數(shù)都是最大公因數(shù)的因數(shù)；最大公因數(shù)是所有公因數(shù)的倍數(shù)。利用分解質(zhì)因數(shù)的方法，可以比較簡便地求出兩個數(shù)的最大公因數(shù)。例如：求24和36的最大公因數(shù)。24和36的最大公因數(shù)是26 = 12。兩個數(shù)既不是互質(zhì)數(shù)關(guān)系又不是倍數(shù)關(guān)系，先用這兩個數(shù)公有的因數(shù)連續(xù)去除（一般從最小的開始），一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來。4和8的最大公因數(shù)：416和32的最大公因數(shù)：1617和34的最大公因數(shù)：17當兩個數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時，較小的數(shù)就是它們的最大公因數(shù)。 1和7的最大公因數(shù)：18和9的最大公因數(shù)：19和16的最大公因數(shù)：1當兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)時，它們的最大公因數(shù)是1。互質(zhì)數(shù)：公因數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。公倍數(shù)和最小公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的因倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。幾個數(shù)的最大公倍數(shù)不存在。6的倍數(shù)有：6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84，90，9610的倍數(shù)有：10，20，30，40，50，60，70，80，906和10的公倍數(shù)是:30、60、906和10的最小公倍數(shù)是:30。兩個數(shù)的公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。3和6的最小公倍數(shù)是6。2和8的最小公倍數(shù)是8。兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，它們的最小公倍數(shù)就是較大的數(shù)。5和6的最小公倍數(shù)是30。4和9的最小公倍數(shù)是36。兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)關(guān)系，它們的最小公倍數(shù)就是它們的乘積。我們也可以利用分解質(zhì)因數(shù)的方法，比較簡便地求出兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。兩個數(shù)既不是互質(zhì)數(shù)關(guān)系又不是倍數(shù)關(guān)系，先用這兩個數(shù)公有的因數(shù)連續(xù)去除（一般從最小的開始），一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)和最后的兩個商連乘起來。求兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，還可以用下面的方法：18和24的最大公因數(shù)是23 = 618和24的最小公倍數(shù)是：23 3 5 = 90100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97熟記以下數(shù)據(jù)對快速解題有很大幫助：20以內(nèi)的奇數(shù)有： 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19。20以內(nèi)的偶數(shù)有：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20。20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2，3，5，7，11，13，17，19。20以內(nèi)的合數(shù)有：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20。第二章 數(shù)的運算六、四則運算：加法、減法、乘法、除法四種運算叫做四則運算。加法的意義：把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算。減法的意義：已知兩個數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)是多少。乘法的意義：一個數(shù)整數(shù)：求幾個相同加數(shù)的和是多少?；蚯笠粋€數(shù)的幾倍是多少。一個數(shù)小于1的小數(shù)：求一個數(shù)的十分之幾、百分之幾、千分之幾是多少。一個數(shù)大于1的小數(shù)求一個數(shù)的幾倍是多少。一個數(shù)小于1的分數(shù)求一個數(shù)的幾分之幾是多少。一個數(shù)大于1的分數(shù)求一個數(shù)的幾倍是多少。除法的意義：已知兩個因數(shù)的積和其中的一個因數(shù)，求另一個因數(shù)是多少。四則運算的法則：整數(shù)小數(shù)分數(shù)加減法相同數(shù)位對齊；從低位算起；加法中滿幾十就向前一位進幾；減法中不夠減時，就從前一位借，借幾當幾十。相同數(shù)位對齊（小數(shù)點對齊）；從低位算起；按整數(shù)加減法的法則進行計算。同分母分數(shù)相加減，分母不變，分子相加減；異分母分數(shù)相加減，先通分再計算；結(jié)果能約分的要約分。乘法從個位乘起，依次用第二個因數(shù)每位上的數(shù)字去乘第一個因數(shù)；用第二個因數(shù)哪一位上的數(shù)字去乘，得數(shù)的末位就和第二個因數(shù)的那一位對齊；再把幾次乘得的數(shù)加起來按整數(shù)乘法的法則先求出積；看因數(shù)中共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位點上小數(shù)點。數(shù)位不夠0補足。分數(shù)乘分數(shù)，用分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母。有整數(shù)的把整數(shù)看作分母是1的假分數(shù)。有帶分數(shù)的，通常先把帶分數(shù)化成假分數(shù)。能約分的要先約分。除法從被除數(shù)的高位除起，除數(shù)是幾位數(shù)，就先看被除數(shù)的前幾位，如果不夠除，就要多看一位。除到哪一位就要把商寫到哪一位的上面。余數(shù)必須比除數(shù)小。如果除數(shù)是小數(shù)，先把它變成整數(shù)。除數(shù)的小數(shù)點向右移動幾位，被除數(shù)的小數(shù)點也向右移動相同的位數(shù)（位數(shù)不夠的補“0”），然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法進行計算。商的小數(shù)點要和被除數(shù)的小數(shù)點對齊。甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。加、減、乘、除法各部分之間的關(guān)系：（1）加數(shù)加數(shù)=和和一個加數(shù)=另一個加數(shù)（2）被減數(shù)減數(shù)=差被減數(shù)差=減數(shù) 被減數(shù)減數(shù)=差（3）因數(shù)因數(shù)=積積一個因數(shù)=另一個因數(shù)（4）被除數(shù)除數(shù)=商被除數(shù)商=除數(shù) 商除數(shù)=被除數(shù)被除數(shù)除數(shù)=商余數(shù)（被除數(shù)余數(shù)）商=除數(shù)（被除數(shù)余數(shù)）除數(shù)=商商除數(shù)余數(shù)=被除數(shù)四則運算之間的關(guān)系：加法可用減法驗算，減法可用加法或減法驗算。乘法可用除法驗算，除法可用乘法或除法驗算。四則運算中要注意的特殊情況：（以下算式中的a 作除數(shù)時不等于0）加法：aa=2a a0=a減法：aa=0 a0=a乘法：aa=a2 a0=0 a1=a除法：aa=1 0a=0 a1=a 1a=1/a四則運算中和、差、積、商的變化規(guī)律：和的變化規(guī)律： 如果一個加數(shù)增加（或減少）一個數(shù)，另一個加數(shù)不變，那么它們的和也跟著增加（或減少）同一個數(shù)。如果一個加數(shù)增加一個數(shù)，而另一個加數(shù)減少同一個數(shù)，那么它們的和不變。差的變化規(guī)律： 如果被減數(shù)增加（或減少）一個數(shù)，減數(shù)不變，那么它們的差也增加（或減少）同一個數(shù)。如果減數(shù)增加（或減少）一個數(shù)，被減數(shù)不變，那么它們的差也減少（或增加）同一個數(shù)。如果被減數(shù)和減數(shù)都增加（或減少）同一個數(shù)，那么它們的差不變。積的變化規(guī)律：如果一個因數(shù)擴大（或縮小）若干倍，另一個因數(shù)不變，那么它們的積也擴大(或縮小)相同的倍數(shù)。如果一個因數(shù)擴大若干倍，而另一個因數(shù)縮小同樣的倍數(shù)，那么它們的積不變。如：180X25=（1804）X（25X4）=45X100=4500商的變化規(guī)律：如果被除數(shù)擴大（或縮小）若干倍，除數(shù)不變，那么它們的商也擴大（或縮?。┫嗤谋稊?shù)。如果被除數(shù)不變，除數(shù)擴大（或縮小）若干倍，那么它們的商就縮?。ɑ驍U大）同樣的倍數(shù)。被除數(shù)和除數(shù)都擴大（或縮?。┩瑯拥谋稊?shù)，他們的商不變。如：37525=（375X4）（25X4）=1500 100=15七、四則混合運算：（1）在數(shù)的運算中，加法和減法叫做第一級運算。乘法和除法叫做第二級運算。（2）四則混合運算的順序。有括號的要先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算括號外面的；在沒有括號的算式里，要先算乘、除法，再算加、減法；一個算式里只有乘、除法或者只有加、減法，要按照從左到右的順序依次進行計算。運算定律和運算性質(zhì)：名稱用字母表示舉例加法交換律a+b=b+a 8+5=5+8加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)37+46+23=46+(37+23)乘法交換律ab=ba56=65乘法結(jié)合律(ab)c=a( bc)37254=37( 254)乘法分配律acbc=(ab)c2436+7636=(24+76)36減法的性質(zhì)1a-b-c=a-(b+c)72-9-21=72-(9+21)減法的性質(zhì)2a-b-c=a-c-b75-39-25=75-25-39除法的性質(zhì)1abc=a(bc)21065=210 (65)除法的性質(zhì)2abc=acb210157=210715“除以”與“除”的區(qū)別：“除以”是正敘，前面的是被除數(shù)，后面的是除數(shù)。“除”是倒敘，前面的是除數(shù)，后面的是被除數(shù)。解答文字題的規(guī)律：規(guī)律1：如果問題中有“和是多少？”、“差是多少？”、“積是多少？”或“商是多少？”，那么題目里一定有“加”、“減”、“乘”、“除以”、“除”等相對應(yīng)的詞語。規(guī)律2：題目里有“和”、“差”、“積”、“商”的，要先算出來。規(guī)律3：題目要求“求這個數(shù)”或“這個數(shù)是多少？”的文字題，一般要用方程解答比較簡便。規(guī)律4：注意“比多（少）”這樣的關(guān)鍵字，這樣的問題涉及較大量、較小量和相差量。規(guī)律5：括號是為了改變運算順序，必要時才能使用，規(guī)律是先用小括號，再用中括號。八、用字母表示數(shù)字母在數(shù)學(xué)中的作用：（1）字母可以表示任何數(shù)。（2）字母可以表示數(shù)量關(guān)系。（3）字母可以表示運算定律和性質(zhì)。（4）字母可以表示公式、計算法則。（5）字母可以表示計量單位。含有字母的式子的書寫規(guī)則：（1）字母和字母相乘，乘號可簡寫為“”，也可省略不寫。如果要省略，字母的先后順序要盡量按字母表上的先后順序。如：xy=xy=xy （2）數(shù)和字母相乘，乘號可簡寫為“”，也可省略不寫。如果要省略，數(shù)字要寫在字母前面。如：a8=a8=8a（3）幾個相同字母相乘可以寫成字母的幾次方。如：aa=a2 aaa=a3（4）幾個相同字母相加可以用乘法表示。如：a+a=2a a+a+a=3a（5）1和字母相乘時，1省略不寫。如：1a=a（6）用含有字母的式子表示問題的答案或表示數(shù)量時，如果式子中有加號或減號，要用括號把含有字母的式子括起來。如：小明有a歲，媽媽比他大24歲，媽媽有（a+24）歲。求代數(shù)式的值：求含有字母的式子的值，只要用數(shù)代替式子中的字母，計算出結(jié)果即可。 解答此類題目的關(guān)鍵在于正確地用含有字母的式子表示出數(shù)量關(guān)系和解答時的書寫格式。例如：小明每天做a道口算題，小亮每天做的口算題比小明的2倍少3道。（1）用式子表示出小亮做幾道算術(shù)題。（2）根據(jù)這個式子，當a=20時，計算小亮每天做多少道口算題。解：（1）2a-3（2）當a=20時， 2a-3 =220-3 =37（道） 答：小亮每天做37道口算題。九、簡易方程式子、等式和方程：（1）像23、a3、6b、a8、32=5、2x8=10用來表示幾個數(shù)之間關(guān)系的，都叫做式子。（2）像32=5、2x8=10這樣表示左右兩邊相等的式子，都叫做等式。（3）像x=2、3a2=5、2x8=10這樣含有未知數(shù)（x等字母）的等式，叫做方程。式子、等式和方程三者之間的關(guān)系：方程是等式中的一部分；等式又是式子中的一部分。換句話說式子包含等式；等式包含方程。方程的解和解方程：（1）使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。（2）求方程的解的過程叫做解方程。方程的解是一個結(jié)果，如x=7。解方程是一個過程。解方程的方法：等式的性質(zhì)：等式的左邊和右邊同時加上、減去、乘上、除以（不為0）一個數(shù)，左右兩邊仍然相等。 利用等式的基本性質(zhì)，可以用于解方程，也可以根據(jù)四則運算中各部分的關(guān)系解方程。另外，解比例方程就要用到比例的基本性質(zhì)：兩外項的積等于兩內(nèi)項的積。列方程解應(yīng)用題的步驟：第一步：弄清題意，設(shè)未知數(shù)為x第二步：分析、寫數(shù)量關(guān)系第三步：列方程并解方程第四步：檢驗，寫出答案如何找等量關(guān)系：（1）充分利用表示等量關(guān)系的關(guān)鍵性詞語；（2）利用常見的四則運算的意義及數(shù)量關(guān)系；（3）利用常見的數(shù)量關(guān)系式；（4）利用計算公式十、常見計量單位及進率常見的量長度單位：1000 10 10 10 千米 米 分米 厘米 毫米（km） （m） （dm） （cm） （mm）面積單位： 100 10000 100 100平方千米 公頃 平方米 平方分米（km2） （ha） （m2） （dm2） 100平方厘米 平方毫米（cm2） （mm2）體積單位和容積單位：體積單位： 1000 1000立方米 立方分米 立方厘米（m3） （dm3） （cm3） 1 1容積單位： 1000升 毫升（L） （ml）時間單位： 100 12 24 60 60世紀 年 月 日 時 分 秒季度：1年=4個季度 注：季度不是季節(jié)第一季度：1月、2月、3月閏年91天，平年90天第二季度：4月、5月、6月91天第三季度：7月、8月、9月92天第四季度：10月、11月、12月92天旬：1個月=3個旬上旬：頭10天中旬：中間10天下旬：剩下的天數(shù)（大月11天，小月10天， 閏年二月9天，平年二月8天）周：1周=7天=168小時判斷閏年、平年的方法：用年份數(shù)除以4，能被4整除的是閏年，不能被4整除的是平年。如果年份數(shù)的是整百、整千或幾千幾百的，能被400整除的，才是閏年，反之，則是平年。例如：20104=5022 所以2010年是平年 20124=503 所以2012年是閏年 1800400=4200 所以1800年是平年 2000400=5 所以2000年是閏年時間與時刻：下午1時30分 下午3時1時30分圖中的“下午1時30分”叫做起始時刻，“下午3時”叫做終止時刻，“1時30分”叫做經(jīng)過時間。 時刻是一個點，時間是一條線段。時刻可以用24時計時法和12時計時法表示，也可以用時間的格式表示。而時間不能用計時法的格式表示。經(jīng)過時間=終止時刻起始時刻終止時刻=起始時刻經(jīng)過時間起始時刻=終止時刻經(jīng)過時間質(zhì)量單位： 1000 1000噸 千克 克（t） （kg） （g）人民幣單位： 10 10元 角 分十一、名數(shù)的改寫名數(shù)的概念：聯(lián) 系區(qū)別除法被除數(shù)除號除數(shù)（不能為0）商除法是一種運算分數(shù)分子分數(shù)線分母（不能為0）分數(shù)值分數(shù)是一種數(shù)比前項比號后項（不能為0）比值比是一種關(guān)系名數(shù)：計量的結(jié)果，要用數(shù)來表示，并且還要帶上單位名稱，通常把它們合起來叫做名數(shù)。如： 8 千米 名數(shù)數(shù) 單位名稱單名數(shù)：只帶一個單位名稱的名數(shù)叫單名數(shù)。如：40ml、5kg、3m2、0.5cm。復(fù)名數(shù)：含有兩個或兩個以上單位名稱的名數(shù)叫復(fù)名數(shù)。如：17時30分、3米40厘米。名數(shù)的改寫方法：同一種量卻不同單位的名數(shù)，在進行相互改寫時，用如下方法：高級單位 低級單位低級單位 高級單位在具體計算時，可以用小數(shù)點移動引起小數(shù)大小變化的規(guī)律來簡化計算。單名數(shù)改寫為復(fù)名數(shù)：單名數(shù)的單位和復(fù)名數(shù)的高級單位相同，整數(shù)部分直接提出。剩下的小數(shù)部分乘上進率，作低級單位的數(shù)值。單名數(shù)的單位和復(fù)名數(shù)的低級單位相同，先除以進率，得到的整數(shù)商作高級單位的數(shù)值，余數(shù)作低級單位的數(shù)值。復(fù)名數(shù)改寫為單名數(shù)：復(fù)名數(shù)的低級單位和單名數(shù)的單位相同，則低級單位的數(shù)值不變。把復(fù)名數(shù)的高級單位乘上進率化為低級單位，最后把不變的數(shù)與換算后的數(shù)相加。復(fù)名數(shù)的高級單位和單名數(shù)的單位相同，則高級單位的數(shù)值不變。把復(fù)名數(shù)的低級單位除以進率化為高級單位，最后把不變的數(shù)與換算后的數(shù)相加。十二、比比的意義：兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比，“:”叫做比號，讀作“比”。比號前面的數(shù)叫做比的前項，比號后面的數(shù)叫做比的后項。 比的后項不能為0，比的前項除以后項所得的商，叫做比值。比值既可以是整數(shù)，也可以用小數(shù)、分數(shù)表示。比值后面不能帶單位。比、除法、分數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系：根據(jù)分數(shù)與除法的關(guān)系，兩個數(shù)的比也可以寫成分數(shù)的形式。例如：15 : 10也可以寫成 ，仍讀作：“15比10”寫成分數(shù)形式時，只能出現(xiàn)真分數(shù)或假分數(shù)的形式，不能出現(xiàn)帶分數(shù)形式。比的基本性質(zhì)：比的前項和后項同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），比值不變。這叫做比的基本性質(zhì)。利用商不變性質(zhì)，我們可以進行除法的簡算，也可以把小數(shù)除法變?yōu)檎麛?shù)除法計算。 根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)，我們可以把分數(shù)約分成最簡分數(shù)。應(yīng)用比的基本性質(zhì)，我們可以把比化成最簡整數(shù)比。化簡比：（1）最簡整數(shù)比：比的前項和后項是互質(zhì)數(shù)的比，叫做最簡整數(shù)比。（2）化簡比：把一個比化成和它比值相等的最簡整數(shù)比的過程。怎樣化簡整數(shù)比？比的前、后項都除以它們的最大公因數(shù)最簡比。怎樣化簡小數(shù)比？比的前、后項都擴大相同的倍數(shù)整數(shù)比最簡比。怎樣化簡分數(shù)比？比的前、后項都乘它們分母的最小公倍數(shù)整數(shù)比最簡比。帶有單位名稱的兩個比，不管是求比值還是化簡比，結(jié)果都不能帶單位名稱。通常，無論求比值還是化簡比，還可以用另外一種方法，即都可以用前項除以后項來計算，只是在最后結(jié)果的書寫形式上不同。求比值和化簡比的區(qū)別：求比值化簡比意義比的前項除以后項所得的商把一個比化成最簡整數(shù)比的過程方法前項后項前、后項同時乘或除以一個不為0的數(shù)結(jié)果是一個數(shù)是一個比十三、比例比例的意義：表示兩個比相等的式子叫做比例。組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項。兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做比例的內(nèi)項。比例的基本性質(zhì)：在比例里，兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積，這叫做比例的基本性質(zhì)。用字母表示為：如果a:b=c:d，那么ad=bc。比和比例的區(qū)別與聯(lián)系：意義項數(shù)基本性質(zhì)區(qū)別比表示兩個數(shù)相除2項比的前項和后項同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），比值不變。比是一個除法算式比例表示兩個比相等的式子4項兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積。比例是一個等式比例的判斷：判斷兩個比能不能組成比例，可以有兩種方法： （1）根據(jù)比例的意義判斷：看兩個比值是否相等。 （2）根據(jù)比例的基本性質(zhì)判斷：看兩個內(nèi)項的積是否等于兩個外項的積。解比例：根據(jù)比例的基本性質(zhì)，如果已知比例中的任意三項，求另外一個未知項。叫做解比例。解比例的方法： 根據(jù)比例的基本性質(zhì)，把比例式轉(zhuǎn)化為乘積相等的等式，再根據(jù)以前學(xué)過的解方程的方法求解。比例尺：一幅圖的圖上距離和實際距離的比，叫做這幅圖的比例尺。比例尺的分類：數(shù)值比例尺 1:5000000線段比例尺 縮小比例尺 1:5000000放大比例尺 50:1注意：（1）比例尺與一般的尺不同，它是一個比，不能帶有計量單位；（3）求比例尺時，一般要把較小的項化簡成“1”。（4）無論是計算比例尺、計算實際距離，還是計算圖上距離，都要先把參加計算的數(shù)量統(tǒng)一成較小的長度單位，然后再計算。這樣方便一些。 （5）計算實際距離和計算圖上距離時，數(shù)值比例尺最好寫成分數(shù)形式，這樣可以把比例尺當作一個分數(shù)來參加計算。十四、正比例和反比例：正比例的意義：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系反比例的意義：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。正比例和反比例的對比：正比例反比例相同點都是兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量隨著另一種量變化。不同點變化規(guī)律變化的方向相同，一種量擴大(或縮小)，另一種量也擴大(或縮小)。相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值（商）一定。變化的方向相反，一種量擴大（或縮?。?，另一種量反而縮小（或擴大）。相對應(yīng)的兩個數(shù)的乘積一定。關(guān)系式關(guān)系式：關(guān)系式：判斷正、反比例的方法：（1）兩種量是否相關(guān)聯(lián)。（2）它們的關(guān)系是商一定，還是積一定。（3）商一定是正比例關(guān)系，積一定是反比例關(guān)系。不相關(guān)聯(lián)不成比例兩種量相加的關(guān)系不成比例相減的關(guān)系不成比例相關(guān)聯(lián)相乘的關(guān)系積一定成反比例相除的關(guān)系商(比值)一定成正比例正、反比例應(yīng)用題：用比例解問題的過程可以歸納為以下幾個步驟： （1）設(shè)要求的問題為x；（2）判斷題目中哪個量是一定的？另外兩種量成正比例關(guān)系（除的關(guān)系）還是成反比例關(guān)系（乘的關(guān)系）？（3）列比例式；（4）解比例，驗算，作答。十五、點和線點的認識：我們學(xué)過哪些點？端點、頂點、交點、垂足、圓心討論點的時候，我們只討論點的位置，不討論它的大小、顏色、形狀等。一條線：線段：直線上兩點間的一段叫做線段。射線：把線段的一端無限延長，就得到一條射線。直線：把線段的兩端無限延長，就可以得到一條直線。可以這樣理解：線段取消一個端點之后就成為射線，射線再取消端點就成為直線。經(jīng)過一點可以畫無數(shù)條直線。從一點可以引出無數(shù)條射線。經(jīng)過兩點只可以畫一條直線。直線、射線和線段的比較：端點數(shù)量延長性能否度量長度比較直線沒有端點可向兩端無限延長不能測量長度無限長，不能測量長度射線有一個端點可向一端無限延長不能測量長度無限長，不能測量長度線段有兩個端點不能向兩端延長能測量長度有限長，能測量長度關(guān)于距離：兩點之間的距離，直線最短。直線外一點到這條直線的距離，垂直線段最短。兩條平行線之間的距離，垂直線段最短。兩條線：（一）兩條直線同一平面內(nèi)的兩條直線，要么相交，要么互相平行。同一平面內(nèi)永不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說兩條直線互相平行。兩條直線相交成直角時，這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線的交點叫做垂足?；ハ嗥叫袃蓷l直線相交 互相垂直（二）兩條射線從一點引出的兩條射線所組成的圖形叫做角。這個點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊，角通常用符號“”來表示。角的兩條邊叉開得越大，角越大；叉開得越小，角就越小。角的大小與兩條邊的長短無關(guān)。測量角的大小的工具是量角器。把半圓分成180等份，每一份所對的角叫做度數(shù)。記作 “ 1” 。量角的方法：把量角器放在角的上面，使量角器的中心與角的頂點重合。調(diào)整量角器，使“0”刻度線與角的一條邊重合。讀出角的另一邊所對量角器上的度數(shù)，就是這個角的度數(shù)。畫角的方法：確定頂點，畫一條射線；使量角器的中心與射線的端點重合，“0”刻度線與射線重合；在量角器上找出要畫的角的度數(shù)的刻度，點上一個點；把射線的端點與剛才的點連起來。角的分類銳角：小于90的角直角：等于90的角角 鈍角：大于900而小于1800的角平角：等于180的角周角：等于360的角十六、面的歸類三角形：（一）三角形的概念由三條線段圍成的封閉圖形叫做三角形。三角形具有穩(wěn)定性（不易變形）；三角形的三個內(nèi)角和是180。（二）三角形的分類三角形按角分：一個三角形里最多會有一個鈍角，最多會有一個直角，最多會有三個銳角，最少會有兩個銳角。三角形按邊分：等腰三角形有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。其中相等的兩條邊叫做腰，另一條叫做底。兩條腰的夾角叫做頂角，腰和底的夾角叫做底角，等腰三角形的兩個底角度數(shù)相等。不等邊三角形等邊三角形（正三角形）三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，又叫正三角形。等邊三角形的三條邊長度相等，三個角的大小相等，都是60。等邊三角形是特殊的等腰三角形。三角形其中兩條線段的和大于第三條線段時，這樣的三條線段才能組成一個三角形。 換句話說，較短的兩條邊的長度之和要大于最長的一條邊的長度，那么這三條線段才能拼成一個三角形。四邊形：（一）四邊形的概念由四條線段圍成的封閉圖形叫做四邊形。四邊形具有不穩(wěn)定性（容易變形）；四邊形的四個內(nèi)角和是360。梯 形：只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。 在梯形里，互相平行的一組對邊叫做梯形的上底和下底，不平行的一組叫做梯形的腰，上底和下底之間的距離叫做梯形的高。 兩腰相等的梯形叫做等腰梯形；有一個直角的梯形叫做直角梯形。平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形對邊的長度相等，對角的大小也相等。 從平行四邊形一條邊上的一點向?qū)呉粭l垂線，這點和垂足之間的線段叫做平行四邊形的高，這條邊叫做平行四邊形的底。 四條邊相等的平行四邊形叫做菱形。長方形：兩組對邊分別平行并且相等，四個角都是直角的四邊形叫做長方形。長方形中較長的一組對邊叫做長方形的長，較短的一組對邊叫做長方形的寬。 長方形是特殊的平行四邊形。正方形四條邊相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形。正方形是特殊的長方形。圓形：（一）圓形的概念在一個平面上，到定點距離相等的點的軌跡叫做圓。畫圓時，固定的一點叫做圓心（o），從圓心到圓上任意一點的線段叫做半徑（r），半徑有無數(shù)條；通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑（d），直徑有無數(shù)條。圓心決定圓的位置，半徑（直徑）決定圓的大小。同圓或等圓中，所有的直徑都相等，所有的半徑也相等，直徑的長度是半徑的兩倍（半徑的長度是直徑的二分之一）。（二）圓環(huán)的概念在大圓中間挖去一個小圓，剩下的部分就形成了一個圓環(huán)，組成圓環(huán)的是兩個同心圓。（三）扇形的概念扇形是圓的一部分，扇形的大小與圓心角的度數(shù)有關(guān)系。十七、與面相關(guān)的計算平面圖形的周長：圍成平面圖形的所有邊長的總和，叫做平面圖形的周長。平面圖形的面積：物體表面的大小或物體所占平面的大小，叫做面積。平面圖形的周長和面積公式推導(dǎo)： a a h b a a a h a h b ar與平面圖形周長、面積有關(guān)的計算公式：長方形：正方形：平行四邊形：三角形：梯形：與圓有關(guān)的計算公