蘇教版選修45 5.3.3 反證法 學案.doc

5.3.3 反證法自主整理運用反證法證明不等式的主要步驟:第一步:作出與所證不等式_的假設;第二步:從_出發(fā),應用正確的推理方法,推出_結論,_假設,從而證明原不等式成立.高手筆記用反證法證明不等式應把握以下幾點:(1)必須否定結論,即肯定結論的反面,當結論的反面呈現(xiàn)多樣性時,必須羅列出所有情況,做到完全否定,不能遺漏.(2)反證法必須從否定結論進行推理,即應把結論的反面作為條件且必須根據這一條件進行推理,否則,僅否定結論,不從結論的反面出發(fā)進行推理,就不是反證法.(3)推導出的矛盾可能多種多樣,有的與已知條件矛盾,有的與假設矛盾,有的與已知事實,已知數學公理、定理矛盾,或自相矛盾,推導出的矛盾必須是明顯的.(4)在使用反證法時,“否定的結論”在推理論證中往往作為已知條件使用.名師解惑反證法的理論依據是什么?剖析:我們知道,互為逆否命題的兩個命題,其真假性是一致的,即原命題pq為真命題,則qp也必為真命題. 這是因為如果逆否命題qp為假的話,則qp是真的.于是有qpq,即qq,這顯然是錯誤的. 所以我們可利用互為逆否命題的兩個命題的等價性,證明其逆否命題成立 說明原命題成立. 反證法適用于正面不太容易證,而反面易證的情況,“至多”“至少”“存在性”“唯一性”問題常用反證法.講練互動【例1】設a、b、cr,a+b+c0,ab+bc+ca0,abc0,求證:a0,b0,c0.分析:本題的條件比較復雜,所要證明的結論比較簡單,即證“a、b、c都為正數”,可用反證法.證明:假設a、b、c不全大于0,不妨設a0.當a=0時,abc=0與abc0矛盾.當a0,bc0,b+c-a0.ab+bc+ca=a(b+c)+bc0矛盾.假設不成立.a0,b0,c0成立.綠色通道 “都”的反面是“不都”或“不全”,即“至少有一個”,情況較多.本題中a、b、c同等地位,可不妨設a0,要全部否定,注意有“=”.變式訓練1.若x0,y0,且x+y2,求證:、中至少有一個小于2.證明:假設、都大于等于2,即2,2.x0,y0,1+y2x,1+x2y.2+(x+y)2(x+y).x+y2,與x+y2矛盾.假設不成立.、中至少有一個小于2成立.【例2】設a、b、c(0,1),求證:(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于.分析:本題結論情況較復雜,正面不易證出,可用反證法.證法一:假設(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于,即(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a.0a0.b0,(1-a)b()2.1-a+b1.ba.同理可得cb,ac.a+b+ca+b+c,即00,矛盾.假設不成立.(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于.證法二:假設(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于,即有b-ab,c-bc,a-ac.三式相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c.0a0.0(1-a)a2=.同理0(1-b)b,0矛盾.假設不成立,原結論成立.綠色通道 本題為否定性命題,用反證法證明并結合基本不等式完成推理.變式訓練2.設0a、b、c1,(2-b)a1,(2-c)b1.0a0.1.22-a+c.ac.同理,ba,cb.a+b+ca+b+c.即00,矛盾.假設不成立.(2-a)c,(2-b)a,(2-c)b不可能同時大于1.【例3】已知f(x)=x2+px+q,求證:f(1)、f(2)、f(3)中至少有一個不小于.分析:本題是判斷函數值的大小,但結論包括多種不同的情況,“至少”問題可用反證法.證法一:假設f(1)、f(2)、f(3)都小于,則f(1)=1+p+q,f(2)=4+2p+q,f(3)=9+3p+q.f(1)+2f(2)+f(3)2.而f(1)+2f(2)+f(3)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2,矛盾.假設不成立.f(1)、f(2)、f(3)中至少有一個不小于.證法二:假設f(1)、f(2)、f(3)都小于,即f(1),f(2),f(3).f(x)=x2+px+q,1+p+q,4+2p+q,9+3p+q,即-1+p+q,-4+2p+q,-9+3p+q.-p+q-, -2