結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)：理論及其在地震工程中的應(yīng)用.docx

5章 動(dòng)力反應(yīng)的數(shù)值計(jì)算 如果激勵(lì)作用力或地面加速度是隨時(shí)間任意變化的，或者體系是非線性的，那么對(duì)單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行解析求解通常是不可能的。這類問(wèn)題可以通過(guò)數(shù)值時(shí)間步進(jìn)法對(duì)微分方程進(jìn)行積分來(lái)處理。在應(yīng)用力學(xué)廣闊的學(xué)科領(lǐng)域中，有關(guān)各種類型微分方程數(shù)值求解方法的文獻(xiàn)（包括幾部著作中的主要章節(jié)）浩如煙海，這些文獻(xiàn)包括這些方法的數(shù)學(xué)進(jìn)展以及它們的精度、收斂性、穩(wěn)定性和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)等問(wèn)題。 然而，本章僅對(duì)在單自由度體系動(dòng)力反應(yīng)分析中特別有用的很少幾種方法進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹，這些介紹僅提供這些方法的基本概念和計(jì)算算法。盡管這些對(duì)許多實(shí)際問(wèn)題和應(yīng)用研究已經(jīng)足夠了，但是讀者應(yīng)該明白，有關(guān)這個(gè)主題存在大量的知識(shí)。 5.1 時(shí)間步進(jìn)法 對(duì)于一個(gè)非彈性體系，欲采用數(shù)值求解的運(yùn)動(dòng)方程為 或者 (5.1.1)初始條件 假定體系具有線性粘滯阻尼，不過(guò)，也可以考慮其他形式的阻尼（包括非線性阻尼），后面會(huì)明顯看到這一點(diǎn)。然而由于缺乏阻尼信息因此很少這樣做，特別是在大振幅運(yùn)動(dòng)時(shí)。作用力由一系列離散值給出: , 到N。時(shí)間間隔 （5.1.2）圖5.1.1 時(shí)間步進(jìn)法的記號(hào)通常取為常數(shù)，盡管這不是必需的。在離散時(shí)刻（表示為時(shí)刻）確定反應(yīng)，單自由度體系的位移、速度和加速度分別為、和。假定這些值是已知的，它們?cè)跁r(shí)刻滿足方程 （5.1.3）式中，是時(shí)刻的抗力，對(duì)于線彈性體系，但是如果體系是非彈性的，那么它會(huì)依賴于時(shí)刻以前的位移時(shí)程和速度。將要介紹的數(shù)值方法將使我們能夠確定+1時(shí)刻滿足方程(5.1.1)的反應(yīng)、和，即在+1時(shí)刻 （5.1.4）對(duì)于=0，1，2，3，連續(xù)使用時(shí)間步進(jìn)法，即可給出=0，l，2，3，所有瞬時(shí)所需的反應(yīng)。已知的初始條件和提供了起動(dòng)該方法的必要信息。 從時(shí)刻到+1時(shí)刻的步進(jìn)一般不是精確的方法，許多在數(shù)值上可以實(shí)現(xiàn)的近似方法是可能的。對(duì)于數(shù)值方法，有三個(gè)重要的要求：(1)收斂性一隨著時(shí)間步長(zhǎng)的減少，數(shù)值解應(yīng)逼近精確解；(2)穩(wěn)定性一在存在數(shù)值舍入誤差的情況下，數(shù)值解應(yīng)是穩(wěn)定的；(3)精度一數(shù)值方法應(yīng)提供與精確解足夠接近的結(jié)果。這些重要的問(wèn)題在本書中均作簡(jiǎn)要的討論，全面的論述可在著重微分方程數(shù)值解法的書中找到。 本章介紹三種類型的時(shí)間步進(jìn)法：(1)基于激勵(lì)函數(shù)插值的方法；(2)基于速度和加速度有限差分表達(dá)的方法；(3)基于假設(shè)加速度變化的方法。前兩類中各只介紹一種方法，第三類中介紹兩種方法。 5.2 基于激勵(lì)插值的方法對(duì)于線性體系，通過(guò)在每個(gè)時(shí)間間隔里對(duì)激勵(lì)進(jìn)行插值，并利用第4章的方法進(jìn)行精確求解，能推導(dǎo)出一種非常有效的數(shù)值方法。如果時(shí)間間隔較短，則線性插值是令人滿意的。圖5. 2.1所示的時(shí)間間隔，激勵(lì)函數(shù)為 （5.2.1a）其中 （5.2.1b）時(shí)間變量從0到變化。為數(shù)學(xué)上簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們首先考慮無(wú)阻尼體系，后面再將該方法擴(kuò)展到有阻尼體系。待求解的方程為 （5.2.2）在時(shí)間間隔內(nèi)，反應(yīng)為三部分之和：(1) =0時(shí)刻的初位移和初速度引起的自由振動(dòng)；(2)零初始條件下對(duì)階躍力的反應(yīng)；(3)零初始條件下對(duì)斜坡力的反應(yīng)。對(duì)這三種情況分別采用來(lái)自2.1、4.3和4.4中已有的解答，得 （5.2.3a） （5.2.3b）計(jì)算時(shí)的這些等式，得+1時(shí)刻的位移和速度： (5.2.4a) (5.2.4b)將式（5.2.1b）代入后，可將這些等式重寫為如下的遞推公式： (5.2.5a) (5.2.5b)對(duì)于欠臨界阻尼體系（即），重復(fù)上面的推導(dǎo)，表明式(5.2.5)也適用于有阻尼體系，系數(shù)A，B，,的表達(dá)式由表5.2.1給出，這些系數(shù)取決于體系的參數(shù)、k和以及時(shí)間間隔。 表5.2.1 遞推公式中的系數(shù)（）因?yàn)檫f推公式是從運(yùn)動(dòng)方程的精確解推導(dǎo)出的，因此對(duì)時(shí)問(wèn)步長(zhǎng)大小的唯一限制條件是，允許它對(duì)于激勵(lì)函數(shù)有一個(gè)接近的逼近，并以較密的時(shí)間間隔提供反應(yīng)結(jié)果，以使反應(yīng)峰值不會(huì)被漏掉。這種數(shù)值方法對(duì)于激勵(lì)由緊密的時(shí)間間隔定義的情況（例如對(duì)于地震地面加速度的情況）特別有用，從而使得線性捕值即可得到較完美的結(jié)果。如果時(shí)間步長(zhǎng)是常數(shù)，則系數(shù)A，B，僅需計(jì)算一次。這種數(shù)值方法所要求的運(yùn)動(dòng)方程精確解答儀對(duì)線性體系是可行的。如上所述，這種方法用于單白由度體系較便利，但是對(duì)于多自由度體系則是不切實(shí)際的，除非它們的反應(yīng)由振型反應(yīng)的疊加（第12章和第13章）來(lái)獲得。5.3 中心差分法這種方法是基于對(duì)位移時(shí)間導(dǎo)數(shù)（即速度和加速度）的有限差分近似進(jìn)行的。步長(zhǎng)，則時(shí)刻的速度和加速度的中心差分表達(dá)式為 (5.3.1)將速度和加速度的這些近似表達(dá)式代人方程(5.1.3)中，對(duì)線彈性體系，得 (5.3.2)在這個(gè)方程中，和假定是已知的（來(lái)自于前面時(shí)間步內(nèi)方法的執(zhí)行）。將這些已知量移到右側(cè)，導(dǎo)得 (5.3.3)或?qū)懗?(5.3.4)其中 （5.3.5） （5.3.6）則未知的由下式給出 （5.3.7）+l時(shí)刻的解答是根據(jù)時(shí)刻的平衡條件即方程(5.1.3)確定的，而不是以時(shí)刻+1的平衡條件式(5.1.4)確定的，這種方法稱為顯式方法。觀察（5.3.6），為了計(jì)算，需要已知的位移因而，為了確定，需要和。特定的初始位移是已知的，為了確定，我們將式（5.3.1）專門用于=0的情況，得 （5.3.8）從第一個(gè)式子解出,然后代入第二個(gè)式子,給出 （5.3.9）其中初位移和初速度是已知的,由0時(shí)刻()的運(yùn)動(dòng)方程 可以得到0時(shí)刻的加速度為: （5.3.10）表5.3.1總結(jié)了可在計(jì)算機(jī)上執(zhí)行的上述方法。 表5.3.1 中心差分法如果時(shí)間步長(zhǎng)選取得不夠短，那么由于數(shù)字舍入誤差的存在，中心差分法將會(huì)“放大”，而給出無(wú)意義的結(jié)果。為了穩(wěn)定性，特別要求 （5.3.11）對(duì)于單自由體系，上式永遠(yuǎn)不會(huì)是一個(gè)約束，因?yàn)闉榱双@得準(zhǔn)確的結(jié)果，選擇的時(shí)間步長(zhǎng)將是非常小的。為了充分地定義反應(yīng)，通常選擇；在大多地震反應(yīng)分析中甚至選擇更短時(shí)間步長(zhǎng)，為了準(zhǔn)確地定義地面加速度，通常選取 =0.01到0.02秒。5.4 Newmark法5.4.1 基本方法1959年，NM. Newmark發(fā)展了一類時(shí)間步進(jìn)法，它們基于下面的公式： （5.4.1a） （5.4.1b）參數(shù)和定義了時(shí)間步內(nèi)加速度的變化，并決定方法的穩(wěn)定性與精度特征。對(duì)于為1/2和1/6l/4的典型選擇，從包括精度的所有觀點(diǎn)來(lái)看都是令人滿意的。這兩個(gè)等式與時(shí)間步結(jié)束時(shí)的平衡方程(5.1.4)結(jié)合，提供了從時(shí)刻已知的、和。計(jì)算時(shí)刻的、和的基礎(chǔ)。執(zhí)行這些計(jì)算需要迭代，因?yàn)槲粗某霈F(xiàn)在式(5.4.1)的右側(cè)。然而，對(duì)于線性體系，修正Newmark法的原始公式可以允許使用式(5.4.1)和(5.1.4)求解時(shí)不迭代。在闡述這些修正之前，我們先來(lái)論證Newmark法的兩種特殊情況，即眾所周知的平均加速度法和線性加速度法。5.4.2 特殊情況對(duì)于這兩種情況，表5. 4.1總結(jié)了+1時(shí)刻的反應(yīng)、和與時(shí)刻相應(yīng)量之間的關(guān)系。式(5.4.2)描述了加速度在步長(zhǎng)內(nèi)變化是常數(shù)（等于平均加速度）或線性的假定。對(duì)進(jìn)行積分，給出時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)速度的變化，即式(5.4.3)；將代入，得+1時(shí)刻的速度，即式(5.4.4)。對(duì)進(jìn)行積分，給出時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)的位移的變化，即式(5.4.5)；將代人，得+l時(shí)刻的位移，即式(5.4.6)。將式(5.4.4)和式(5.4.6)與式(5.4.1)比較，可見(jiàn)Newmark方程在=1/2和=1/4時(shí)與平均常加速度假定推導(dǎo)的那些方程是相同的；= 1/2和=l/6時(shí)的方程則與加速度線性變化的假定相符。 表5.4.1 平均加速度法和線性加速度法5.4.3 非迭代表達(dá)式我們現(xiàn)在返回到式(5.4.1)，為避免迭代，對(duì)其重新進(jìn)行列式，并使用增量 (5.4.7) (5.4.8)盡管對(duì)于線性體系的分析增量形式是不必要的，但是引入它是因?yàn)檫@種形式可以方便地?cái)U(kuò)展到非線性體系。式(5.4.1)可以重新寫為 (5.4.9)求解第二個(gè)等式，可得 (5.4.10)將式(5.4.10)代入式(5.4.9a)中，得 (5.4.11)下面，對(duì)具有和的線性體系，由方程(5.1.4)減去(5.1.3)，得到增量運(yùn)動(dòng)方程： (5.4.12)將式(5.4.10)和式(5.4.11)代人方程(5.4.12)中，得 (5.4.13)式中 (5.4.14) (5.4.15)由體系的特性,算法參數(shù)和,以及時(shí)間步長(zhǎng)開(kāi)始的和可知和,則增量位移由下式計(jì)算 (5.4.16)一旦求出,則和就可以根據(jù)式(5.4.1 1)和式(5.4.10)分別計(jì)算出來(lái)，從而、和可從式(5.4.7)計(jì)算出來(lái)。加速度也能從+l時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方程確定： (5.4.17)這要好于用式(5.4.10)和式(5.4.7)確定的值。式(5.4.17)開(kāi)始計(jì)算需要得到 見(jiàn)式(5.3.10)。在Newmark法中，+l時(shí)刻的解由式(5.4.12)確定，這是與使用+1時(shí)刻的平衡條件方程(5.1.4)等價(jià)的。這種方法稱為隱式法。表5.4.2總結(jié)了可在計(jì)算機(jī)上執(zhí)行的用Newmark法進(jìn)行時(shí)間步進(jìn)求解的過(guò)程。如果時(shí)問(wèn)步長(zhǎng)滿足下式，則Newmark法是穩(wěn)定的: (5.4.18)對(duì)于 = 1/2，=1/4，這個(gè)條件成為 (5.4.19a)這意味著，平均加速度法對(duì)任何都是穩(wěn)定的，無(wú)論它有多大；然而,如5.3結(jié)束時(shí)所討論的，僅當(dāng)足夠小時(shí)才是準(zhǔn)確的。對(duì)于=12和1/6，式(5，4.1 8)表明，如果下式成立，則線性加速度法是穩(wěn)定的 (5.4.19b)然而，像中心差分法的情況一樣，這個(gè)條件任單自山度體系分析中沒(méi)有什么意義，因?yàn)闉榱双@得激勵(lì)和反應(yīng)的正確表示，必須使用比短得多的時(shí)間步長(zhǎng)。 表5.4.2 Newmark法:線性體系5.5 穩(wěn)定性與計(jì)算誤差5.5.1 穩(wěn)定性如果時(shí)間步長(zhǎng)比穩(wěn)定性界限短，則稱導(dǎo)致有界解答的數(shù)值方法為條件穩(wěn)定方法。不管時(shí)間步長(zhǎng)的長(zhǎng)短，均導(dǎo)致有界結(jié)果的方法稱為無(wú)條件穩(wěn)定方法。平均加速度法是無(wú)條件穩(wěn)定的，線性加速度法在時(shí)是穩(wěn)定的，中心差分法在時(shí)是穩(wěn)定的。顯然，后兩種方法是條件穩(wěn)定方法。在單自由度體系分析中，穩(wěn)定性準(zhǔn)則不是限制性的（即，它們并不規(guī)定時(shí)間步長(zhǎng)的選擇）。這是因?yàn)椋瑸楸ＷC數(shù)值結(jié)果有適當(dāng)?shù)木?。必須比穩(wěn)定性界限小得多（比方說(shuō)0.1或更?。欢?，數(shù)值方法的穩(wěn)定性在多自由度體系的分析中則是重要的，經(jīng)常需要使用無(wú)條件穩(wěn)定方法（第1 5章）。5.5.2 計(jì)算誤差誤差是運(yùn)動(dòng)方程任何數(shù)值解答中所固有的，我們不從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)討論誤差分析。為了對(duì)誤差的本質(zhì)有一個(gè)感性認(rèn)識(shí)，我們先來(lái)分析數(shù)值解的兩個(gè)重要特征，然后介紹一種處理誤差的簡(jiǎn)單而有效的方法。考慮自由振動(dòng)問(wèn)題 和 理論解為 (5.5.1)采用四種數(shù)值方法：中心差分法、平均加速度法、線性加速度法和Wilson法對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行求解。其申，最后一種方法將在第15章中介紹。取時(shí)所得的數(shù)值結(jié)果與理論結(jié)果進(jìn)行比較，如圖5.5.1所示。這些比較說(shuō)明有些數(shù)值方法可能會(huì)預(yù)測(cè)出位移幅值會(huì)隨時(shí)間衰減，盡管體系是無(wú)阻尼的；并且會(huì)預(yù)測(cè)出固有周期被延長(zhǎng)或縮短。 圖5.5.1 采用四種數(shù)值方法()和理論解的真由振動(dòng)解答圖5.5.2示出了四種數(shù)值方法中振幅衰減AD和周期延長(zhǎng)PE作為函數(shù)的圖形，AD和PE分別在圖b和圖c中定義，不過(guò)，沒(méi)有介紹導(dǎo)出這些數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)分析。有三種方法顯示位移幅值無(wú)衰減。但是，Wilson法含有幅值的衰減，意味著該方法在體系中引入了數(shù)值阻尼，等效粘滯阻尼比示于圖a中。注意，中心差分法的周期誤差在接近方法的穩(wěn)定性界限時(shí)迅速增加。中心差分法引入了最大的周期誤差，在這個(gè)意義上，它被認(rèn)為是精度最差的方法。對(duì)于比它的穩(wěn)定性界限小的情況，線性加速度法給出最小的周期延長(zhǎng)。聯(lián)合這個(gè)性質(zhì)和幅值無(wú)衰減的特點(diǎn)，使得線性加速度法是單自由度體系已介紹的方法當(dāng)中最合適的方法。然而，對(duì)于多自由度體系，因?yàn)榉€(wěn)定性需求，我們將得到不同的結(jié)論（第15章）。除體系的固有振動(dòng)周期以外，步長(zhǎng)的選擇還與動(dòng)力激勵(lì)隨時(shí)間的變化有關(guān)。圖5.5.2表明，取會(huì)給出相當(dāng)精確的結(jié)果。為了保持激勵(lì)函數(shù)的最小失真，時(shí)間步長(zhǎng)也將是足夠短。為了用數(shù)字描述地震發(fā)生時(shí)所記錄的高度不規(guī)則的地震地面加速度，通常需要非常精細(xì)的時(shí)間步長(zhǎng)，典型的時(shí)間步長(zhǎng)為 =0. 02秒，對(duì)于計(jì)算結(jié)構(gòu)反應(yīng)所選擇的時(shí)間步長(zhǎng)不應(yīng)該比這更長(zhǎng)。一種雖然不復(fù)雜，但非常有用的選擇時(shí)間步長(zhǎng)的方法是：先用一個(gè)看起來(lái)合理的時(shí)間步長(zhǎng)求解問(wèn)題，然后以稍小的時(shí)間步長(zhǎng)重復(fù)求解，對(duì)比結(jié)果，持續(xù)這個(gè)過(guò)程直到連續(xù)的兩個(gè)解足夠接近。前述關(guān)于穩(wěn)定性和精度的討論嚴(yán)格地說(shuō)適用于線性體系。對(duì)于這些問(wèn)題是怎樣影響非線性反應(yīng)分析的，讀者應(yīng)參考其他資料。5.6 非線性反應(yīng)分析：中心差分法超過(guò)線彈性范圍的體泵的動(dòng)力分析一般不適合用解析方法求解，即使激勵(lì)隨時(shí)間的變化可以用一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)來(lái)描述。因此，數(shù)值方法是非線性體系分析的基本方法?？扇菀椎貙?duì)中心差分法進(jìn)行修改，以求解時(shí)刻的非線性運(yùn)動(dòng)方程(5.1.3)。將速度和加速度的中心差分近似式(5.3.1)代人，得到式(5.3.2)，其中由代替，式(5.3.2)可重新寫成求+1時(shí)刻反應(yīng)的表達(dá)式 (5.6.1)其中， (5.6.2) (5.6.3)將這些等式與線性體系的那些等式進(jìn)行比較，可見(jiàn)惟一的差別是對(duì)的定義。作此修正后，表5.3.1也適用于非線性體系?？沽雌饋?lái)是顯式的，因?yàn)樗鼉H取決于時(shí)刻的反應(yīng)，而不依賴于未知的+1時(shí)刻的反應(yīng)。因此它容易計(jì)算，使得中心差分法對(duì)非線性體系來(lái)說(shuō)或許是最簡(jiǎn)單的方法。盡管在這方面吸引人，但是由于有更有效的方法可用，因此在實(shí)際應(yīng)用或者研究應(yīng)用中這種方法并不流行。5.7 非線性反應(yīng)分析：Newmark法本節(jié)將5.4所述的線性體系的Newmark法擴(kuò)展到非線性體系。盡管不像中心差分法那樣簡(jiǎn)單，但是由于它有非常高的精度，因此這種方法也許足地震反應(yīng)分析中最流行的方法。式(5.1.3)和式(5.1.4)之差給m增量平衡方程： (5.7.1)增量抗力為 (5.7.2)其中，圖5.7.1中所示的割線剛度不能確定，因?yàn)閡，是未知的。如果我們做這樣的假定，在一個(gè)微小的時(shí)間間隔 內(nèi)，割線剛度可用切線剛度代替，如圖5. 7.1所示，那么，式(5,7.2)可近似地表示為 圖5.7.1 (5.7.3)去掉式(5.7.3)中的下標(biāo)T，并將該式代入方程(5.7.1)中，得 (5.7.4)這個(gè)方程與線性體系的相應(yīng)方程(5.4.1 2)之間的相似之處啟示我們，前面對(duì)線性體系介紹的Newmark法的非迭代公式也可以用于非線性反應(yīng)分析。所有需要做的是將式(5.4.14)中的用每個(gè)時(shí)問(wèn)步開(kāi)始時(shí)求出的切線剛度代替。這個(gè)變化意味著表5. 4.2中的步驟1.3應(yīng)該移到步驟2.1的后面。對(duì)于非線性體系，步驟2.5和式(5.4.17)會(huì)給出最的不同值，后者給出的值更好一些，因?yàn)樗鼭M足+1時(shí)刻的平衡方程。這個(gè)方法用不變的時(shí)間步長(zhǎng)會(huì)導(dǎo)致不能接受的錯(cuò)誤結(jié)果。重大的誤差起源于兩個(gè)原因：(1)用切線剮度代替割線剛度；(2)常數(shù)時(shí)間步長(zhǎng)推遲了力一變形關(guān)系中轉(zhuǎn)折點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)。首先，我們考慮誤差的第二個(gè)來(lái)源，用圖5.7. 2a所示的力變形關(guān)系來(lái)說(shuō)明。假設(shè)時(shí)間步開(kāi)始時(shí)的時(shí)刻處位移為，速度是正的（即位移是漸增的），對(duì)應(yīng)圖中的a點(diǎn)。對(duì)時(shí)間步應(yīng)用前面描述的數(shù)值方法，求得+l時(shí)刻的位移和速度，這是圖中的b點(diǎn)。 圖5.7.2如果是負(fù)的，那么在時(shí)間步內(nèi)的某點(diǎn)，速度為零并將改變符號(hào)，位移開(kāi)始減少。在數(shù)值方法中，如果我們不想麻煩找到點(diǎn)，而是在b點(diǎn)開(kāi)始下一個(gè)時(shí)間步繼續(xù)計(jì)算，并使用與力一變形圖的卸載分支相關(guān)的切線剛度，那么這個(gè)方法將在下一個(gè)時(shí)同步結(jié)束時(shí)定位于c點(diǎn)，位移為，速度為負(fù)的。另一方面，如果能夠確定與點(diǎn)相關(guān)的時(shí)間瞬時(shí)（當(dāng)速度實(shí)際成為零時(shí)），那么下一個(gè)時(shí)間步的計(jì)算將從體系在的狀態(tài)開(kāi)始，給出時(shí)間步結(jié)束時(shí)的位移和速度，記為。不定位，具有超越到b，以及不跟隨力一變形圖上精確路徑的影響。這些與精確路線的偏離將發(fā)生在每一個(gè)速度反向處，從而導(dǎo)致數(shù)值結(jié)果中的誤差。類似的問(wèn)題也出現(xiàn)在力一變形關(guān)系（例如彈塑性體系）的其他尖角處。通過(guò)精確定位可以避免這些誤差，這可以南折回去以更小的時(shí)間步長(zhǎng)(比如說(shuō))在到時(shí)間間隔內(nèi)的積分來(lái)達(dá)到。另外，還可以使用一個(gè)迭代過(guò)程，用比整個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)還小的步長(zhǎng)，從時(shí)間點(diǎn)重新開(kāi)始積分，對(duì)積分步長(zhǎng)進(jìn)行連續(xù)調(diào)整，以使這樣調(diào)節(jié)的步長(zhǎng)在結(jié)束時(shí)的速度接近于零?，F(xiàn)在，我們回到誤差的第一種原因上來(lái)，它與使用切線剛度代替未知的割線剛度有關(guān)，如圖5.7.2b中的力一變形關(guān)系所示。在時(shí)間步開(kāi)始時(shí)刻i的位移為圖示的口點(diǎn)，在血點(diǎn)使用切線剛度，從時(shí)刻到時(shí)刻+1的數(shù)值積分導(dǎo)出位移，標(biāo)識(shí)為點(diǎn)b。如果我們能沿若正確曲線，那么結(jié)果會(huì)是點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位移。這個(gè)偏差經(jīng)過(guò)一系列時(shí)間步的累積，會(huì)引入非常大的誤差。這些誤差可用迭代方法使其最小化。在Newmark法的每一步中要求解的關(guān)鍵方程是式(5.4.13)，對(duì)于非線性體系，經(jīng)改造成為： (5.7.5)式中，由式(5-4.15)給出， （5.7.6）為符號(hào)的方便起見(jiàn)，我們將的下標(biāo)去掉，用T代替，以強(qiáng)調(diào)這是切線剛度；還有和的下標(biāo)也去掉。式(5.7.5)和(5.7.6)成為 (5.7.7) （5.7.8）圖5.7.3a給出了式(5.7.7)的示意圖。關(guān)系是非線性的，因?yàn)榍芯€剛度取決于位移，因此斜率不是常數(shù)。在非線性體系的靜力分析中，=，的非線性特性與的相同。在動(dòng)力分析中，中的質(zhì)量和阻尼項(xiàng)的存在減少了非線性特性，因?yàn)槌?shù)項(xiàng)對(duì)于的典型值通常比大許多。 圖5.7.3非線性體系一個(gè)時(shí)間步內(nèi)的迭代：(a)修正的Newton - Raphson迭代；(b)Newton - Raphson迭代接下來(lái)參考圖5.7. 3a敘述迭代方法。第一個(gè)