高中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)軌跡方程求解方法.docx

高中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)軌跡方程求解方法軌跡，包含兩個(gè)方面的問題：凡在軌跡上的點(diǎn)都符合給定的條件，這叫做軌跡的純粹性(也叫做必要性);凡不在軌跡上的點(diǎn)都不符合給定的條件，也就是符合給定條件的點(diǎn)必在軌跡上，這叫做軌跡的完備性(也叫做充分性)。軌跡方程就是與幾何軌跡對(duì)應(yīng)的代數(shù)描述。軌跡方程就是與幾何軌跡對(duì)應(yīng)的代數(shù)描述。符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)所形成的圖形，或者說，符合一定條件的點(diǎn)的全體所組成的集合，叫做滿足該條件的點(diǎn)的軌跡。重點(diǎn)要掌握常用求軌跡方法，難點(diǎn)是軌跡的定型及其純粹性和完備性的討論。一、動(dòng)點(diǎn)軌跡方程解題步驟1.建系建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo);2.設(shè)點(diǎn)設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x，y)，寫出點(diǎn)P的集合;3.列式列出動(dòng)點(diǎn)p所滿足的關(guān)系式;4.代換依條件的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于X，Y的方程式，化簡(jiǎn)方程為最簡(jiǎn)形式;5.證明證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程。二、動(dòng)點(diǎn)軌跡方程求解常見的6種方法動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解方法有多種，常用的有直譯法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法和交軌法等。1.直譯求解法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法通常叫做直譯法。如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn)P滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點(diǎn)P所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。根據(jù)已知條件及一些基本公式如兩點(diǎn)間距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，直線的斜率公式等，直接列出動(dòng)點(diǎn)滿足的等量關(guān)系式，從而求得軌跡方程。2.定義求解法：如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。待定系數(shù)法：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線)的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程，也有人將此方法稱為定義法。通過圖形的幾何性質(zhì)判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡是何種圖形，再求其軌跡方程，這種方法叫做定義法，運(yùn)用定義法，求其軌跡，一要熟練掌握常用軌跡的定義，如線段的垂直平分線，圓、橢圓、雙曲線、拋物線等，二是熟練掌握平面幾何的一些性質(zhì)定理。3.相關(guān)點(diǎn)求解法(代入法)：用動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)x，y表示相關(guān)點(diǎn)P的坐標(biāo)x0、y0，然后代入點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0，y0)所滿足的曲線方程，整理化簡(jiǎn)便得到動(dòng)點(diǎn)Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)點(diǎn)法。如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，(該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程)，則可以設(shè)出P(x，y)，用(x，y)表示出相關(guān)點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后把P的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。4.參數(shù)求解法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找x、y與某一變數(shù)t的關(guān)系，得再消去參變數(shù)t，得到方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數(shù)法。如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的某個(gè)幾何量t，以此量作為參變數(shù)，分別建立P點(diǎn)坐標(biāo)x，y與該參數(shù)t的函數(shù)關(guān)系x=f(t)，y=g(t)，進(jìn)而通過消參化為軌跡的普通方程F(x，y)=0。求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問題之一，求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過坐標(biāo)互化將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系。在確定了軌跡方程之后，有時(shí)題目會(huì)就方程中的參數(shù)進(jìn)行討論;參數(shù)取值的變化使方程表示不同的曲線;參數(shù)取值的不同使其與其他曲線的位置關(guān)系不同;參數(shù)取值的變化引起另外某些變量的取值范圍的變化等等。5.交軌求解法：在求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)要求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這燈問題通常通過解方程組得出交點(diǎn)(含參數(shù))的坐標(biāo)，再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程(若能直接消去兩方程的參數(shù)，也可直接消去參數(shù)得到軌跡方程)，該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。若動(dòng)點(diǎn)是兩曲線的交點(diǎn)，可以通過這兩曲線的方程直接求出交點(diǎn)的方程，也可以解方程組先求出交點(diǎn)的參數(shù)方程，再化為普通方程。6.幾何求解法：若所求的軌跡滿足某些幾何性質(zhì)(如線段的垂直平分線，角平分線的性質(zhì)等)，可以用幾何法，列出幾何式，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)較簡(jiǎn)單?！咀⒁馐马?xiàng)】1.求軌跡方程的關(guān)鍵是在紛繁復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)變化中，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即P點(diǎn)滿足的等量關(guān)系，因此要學(xué)會(huì)動(dòng)中求靜，變中求不變。2.軌跡方程既可用普通方程表示，又可用參數(shù)方程來(lái)表示，若要判斷軌跡方程表示何種曲線，則往往需將參數(shù)方程化為普通方程。3. 求出軌跡方程后，應(yīng)注意檢驗(yàn)其是否符合題意，既要檢驗(yàn)是否增解，(即以該方程的某些解為坐標(biāo)的點(diǎn)不在軌跡上)，又要檢驗(yàn)是否丟解。(即軌跡上的某些點(diǎn)未能用所求的方程表示)，出現(xiàn)增解則要舍去，出現(xiàn)丟解，則需補(bǔ)充。檢驗(yàn)方法：研究運(yùn)動(dòng)中的特殊情形或極端情形。【總結(jié)歸納】1.要注意有的軌跡問題包含一定隱含條件，也就是曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍.由曲線和方程的概念可知，在求曲線方程時(shí)一定要注意它的完備性和純粹性，即軌跡若是曲