2014年湖南省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）.doc

2014年湖南省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題（共10小題，每小題5分，共50分）1（5分）設(shè)命題p：xR，x2+10，則p為（）Ax0R，x02+10Bx0R，x02+10Cx0R，x02+10Dx0R，x02+102（5分）已知集合A=x|x2，B=x|1x3，則AB=（）Ax|x2Bx|x1Cx|2x3Dx|1x33（5分）對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當選取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為P1，P2，P3，則（）AP1=P2P3BP2=P3P1CP1=P3P2DP1=P2=P34（5分）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（，0）上單調(diào)遞增的是（）Af（x）=Bf（x）=x2+1Cf（x）=x3Df（x）=2x5（5分）在區(qū)間2，3上隨機選取一個數(shù)X，則X1的概率為（）ABCD6（5分）若圓C1：x2+y2=1與圓C2：x2+y26x8y+m=0外切，則m=（）A21B19C9D117（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的t2，2，則輸出的S屬于（）A6，2B5，1C4，5D3，68（5分）一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于（）A1B2C3D49（5分）若0x1x21，則（）Alnx2lnx1Blnx2lnx1Cx2x1Dx2x110（5分）在平面直角坐標系中，O為原點，A（1，0），B（0，），C（3，0），動點D滿足|=1，則|+|的取值范圍是（）A4，6B1，+1C2，2D1，+1二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11（5分）復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的實部等于 12（5分）在平面直角坐標系中，曲線C：（t為參數(shù)）的普通方程為 13（5分）若變量x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值為 14（5分）平面上一機器人在行進中始終保持與點F（1，0）的距離和到直線x=1的距離相等，若機器人接觸不到過點P（1，0）且斜率為k的直線，則k的取值范圍是 15（5分）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函數(shù)，則a= 三、解答題（共6小題，75分）16（12分）已知數(shù)列an的前n項和Sn=，nN*（）求數(shù)列an的通項公式；（）設(shè)bn=+（1）nan，求數(shù)列bn的前2n項和17（12分）某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，為了比較他們的研發(fā)水平，現(xiàn)隨機抽取這兩個小組往年研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果如下：（a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，），（，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b）其中a，分別表示甲組研發(fā)成功和失敗，b，分別表示乙組研發(fā)成功和失?。ǎ┤裟辰M成功研發(fā)一種新產(chǎn)品，則給該組記1分，否則記0分，試計算甲、乙兩組研發(fā)新產(chǎn)品的成績的平均數(shù)和方差，并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平；（）若該企業(yè)安排甲、乙兩組各自研發(fā)一樣的產(chǎn)品，試估計恰有一組研發(fā)成功的概率18（12分）如圖，已知二面角MN的大小為60，菱形ABCD在面內(nèi)，A、B兩點在棱MN上，BAD=60，E是AB的中點，DO面，垂足為O（）證明：AB平面ODE；（）求異面直線BC與OD所成角的余弦值19（13分）如圖，在平面四邊形ABCD中，DAAB，DE=1，EC=，EA=2，ADC=，BEC=（）求sinCED的值；（）求BE的長20（13分）如圖，O為坐標原點，雙曲線C1：=1（a10，b10）和橢圓C2：+=1（a2b20）均過點P（，1），且以C1的兩個頂點和C2的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形（）求C1、C2的方程；（）是否存在直線l，使得l與C1交于A、B兩點，與C2只有一個公共點，且|+|=|？證明你的結(jié)論21（13分）已知函數(shù)f（x）=xcosxsinx+1（x0）（）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）記xi為f（x）的從小到大的第i（iN*）個零點，證明：對一切nN*，有+2014年湖南省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題5分，共50分）1（5分）設(shè)命題p：xR，x2+10，則p為（）Ax0R，x02+10Bx0R，x02+10Cx0R，x02+10Dx0R，x02+10【分析】題設(shè)中的命題是一個特稱命題，按命題否定的規(guī)則寫出其否定即可找出正確選項【解答】解命題p：xR，x2+10，是一個特稱命題p：x0R，x02+10故選：B【點評】本題考查特稱命題的否定，掌握其中的規(guī)律是正確作答的關(guān)鍵2（5分）已知集合A=x|x2，B=x|1x3，則AB=（）Ax|x2Bx|x1Cx|2x3Dx|1x3【分析】直接利用交集運算求得答案【解答】解：A=x|x2，B=x|1x3，AB=x|x2x|1x3=x|2x3故選：C【點評】本題考查交集及其運算，是基礎(chǔ)的計算題3（5分）對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當選取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為P1，P2，P3，則（）AP1=P2P3BP2=P3P1CP1=P3P2DP1=P2=P3【分析】根據(jù)簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的定義即可得到結(jié)論【解答】解：根據(jù)簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的定義可知，無論哪種抽樣，每個個體被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3故選：D【點評】本題主要考查簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的性質(zhì)，比較基礎(chǔ)4（5分）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（，0）上單調(diào)遞增的是（）Af（x）=Bf（x）=x2+1Cf（x）=x3Df（x）=2x【分析】本題利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義或者利用圖象的特征加以判斷，判斷函數(shù)是偶函數(shù)又在區(qū)間（，0）上單調(diào)遞增，得到本題結(jié)論【解答】解：選項A，f（x）=f（x），f（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱f（x）=x2，20，f（x）在（0，+）單調(diào)遞減，根據(jù)對稱性知，f（x）在區(qū)間（，0）上單調(diào)遞增； 適合題意選項B，f（x）=x2+1，是偶函數(shù)，在（0，+）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（，0）上單調(diào)遞減，不合題意選項C，f（x）=x3是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，不合題意選項D，f（x）=2x在（，+）單調(diào)遞減，不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，不合題意故選：A【點評】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性、函數(shù)圖象與性質(zhì)，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題5（5分）在區(qū)間2，3上隨機選取一個數(shù)X，則X1的概率為（）ABCD【分析】利用幾何槪型的概率公式，求出對應(yīng)的區(qū)間長度，即可得到結(jié)論【解答】解：在區(qū)間2，3上隨機選取一個數(shù)X，則2X3，則X1的概率P=，故選：B【點評】本題主要考查幾何槪型的概率的計算，求出對應(yīng)的區(qū)間長度是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)6（5分）若圓C1：x2+y2=1與圓C2：x2+y26x8y+m=0外切，則m=（）A21B19C9D11【分析】化兩圓的一般式方程為標準方程，求出圓心和半徑，由兩圓心間的距離等于半徑和列式求得m值【解答】解：由C1：x2+y2=1，得圓心C1（0，0），半徑為1，由圓C2：x2+y26x8y+m=0，得（x3）2+（y4）2=25m，圓心C2（3，4），半徑為圓C1與圓C2外切，解得：m=9故選：C【點評】本題考查兩圓的位置關(guān)系，考查了兩圓外切的條件，是基礎(chǔ)題7（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的t2，2，則輸出的S屬于（）A6，2B5，1C4，5D3，6【分析】根據(jù)程序框圖，結(jié)合條件，利用函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論【解答】解：若0t2，則不滿足條件輸出S=t33，1，若2t0，則滿足條件，此時t=2t2+1（1，9，此時不滿足條件，輸出S=t3（2，6，綜上：S=t33，6，故選：D【點評】本題主要考查程序框圖的識別和判斷，利用函數(shù)的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)8（5分）一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于（）A1B2C3D4【分析】由題意，該幾何體為三棱柱，所以最大球的半徑為正視圖直角三角形內(nèi)切圓的半徑r【解答】解：由題意，該幾何體為三棱柱，所以最大球的半徑為正視圖直角三角形內(nèi)切圓的半徑r，則8r+6r=，r=2故選：B【點評】本題考查三視圖，考查幾何體的內(nèi)切圓，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題9（5分）若0x1x21，則（）Alnx2lnx1Blnx2lnx1Cx2x1Dx2x1【分析】分別設(shè)出兩個輔助函數(shù)f（x）=ex+lnx，g（x）=，由導(dǎo)數(shù)判斷其在（0，1）上的單調(diào)性，結(jié)合已知條件0x1x21得答案【解答】解：令f（x）=exlnx，則f（x）=，當x趨近于0時，xex10，當x=1時，xex10，因此在（0，1）上必然存在f（x）=0，因此函數(shù)f（x）在（0，1）上先遞減后遞增，故A、B均錯誤；令g（x）=，當0x1時，g（x）0g（x）在（0，1）上為減函數(shù)，0x1x21，即選項C正確而D不正確故選：C【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)構(gòu)造法，解答此題的關(guān)鍵在于想到構(gòu)造兩個函數(shù)，是中檔題10（5分）在平面直角坐標系中，O為原點，A（1，0），B（0，），C（3，0），動點D滿足|=1，則|+|的取值范圍是（）A4，6B1，+1C2，2D1，+1【分析】由于動點D滿足|=1，C（3，0），可設(shè)D（3+cos，sin）（0，2）再利用向量的坐標運算、數(shù)量積性質(zhì)、模的計算公式、三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出【解答】解：動點D滿足|=1，C（3，0），可設(shè)D（3+cos，sin）（0，2）又A（1，0），B（0，），+=|+|=，（其中sin=，cos=）1sin（+）1，=sin（+）=，|+|的取值范圍是或|+|=|+|，=（2，），將其起點平移到D點，由其與CD同向反向時分別取最大值、最小值，即|+|的取值范圍是故選：D【點評】本題考查了向量的坐標運算、數(shù)量積性質(zhì)、模的計算公式、三角函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11（5分）復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的實部等于3【分析】直接由虛數(shù)單位i的運算性質(zhì)化簡，則復(fù)數(shù)的實部可求【解答】解：=復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的實部等于3故答案為：3【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算，考查了虛數(shù)單位i的運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題12（5分）在平面直角坐標系中，曲線C：（t為參數(shù)）的普通方程為xy1=0【分析】利用兩式相減，消去t，從而得到曲線C的普通方程【解答】解：曲線C：（t為參數(shù)），兩式相減可得xy1=0故答案為：xy1=0【點評】本題考查參數(shù)方程化成普通方程，應(yīng)掌握兩者的互相轉(zhuǎn)化13（5分）若變量x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值為7【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，進行平移即可得到結(jié)論【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z=2x+y，得y=2x+z，平移直線y=2x+z，由圖象可知當直線y=2x+z經(jīng)過點C，直線y=2x+z的截距最大，此時z最大，由，解得，即C（3，1），此時z=23+1=7，故答案為：7【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵14（5分）平面上一機器人在行進中始終保持與點F（1，0）的距離和到直線x=1的距離相等，若機器人接觸不到過點P（1，0）且斜率為k的直線，則k的取值范圍是k1或k1【分析】由拋物線的定義，求出機器人的軌跡方程，過點P（1，0）且斜率為k的直線方程為y=k（x+1），代入y2=4x，利用判別式，即可求出k的取值范圍【解答】解：由拋物線的定義可知，機器人的軌跡方程為y2=4x，過點P（1，0）且斜率為k的直線方程為y=k（x+1），代入y2=4x，可得k2x2+（2k24）x+k2=0，機器人接觸不到過點P（1，0）且斜率為k的直線，=（2k24）24k40，k1或k1故答案為：k1或k1【點評】本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題15（5分）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函數(shù)，則a=【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論【解答】解：若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函數(shù)，則f（x）=f（x），即ln（e3x+1）+ax=ln（e3x+1）ax，即2ax=ln（e3x+1）ln（e3x+1）=ln=ln=lne3x=3x，即2a=3，解得a=，故答案為：，【點評】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，根據(jù)偶函數(shù)的定義得到f（x）=f（x）是解決本題的關(guān)鍵三、解答題（共6小題，75分）16（12分）已知數(shù)列an的前n項和Sn=，nN*（）求數(shù)列an的通項公式；（）設(shè)bn=+（1）nan，求數(shù)列bn的前2n項和【分析】（）利用公式法即可求得；（）利用數(shù)列分組求和即可得出結(jié)論【解答】解：（）當n=1時，a1=s1=1，當n2時，an=snsn1=n，數(shù)列an的通項公式是an=n（）由（）知，bn=2n+（1）nn，記數(shù)列bn的前2n項和為T2n，則T2n=（21+22+22n）+（1+23+4+2n）=+n=22n+1+n2數(shù)列bn的前2n項和為22n+1+n2【點評】本題主要考查數(shù)列通項公式的求法公式法及數(shù)列求和的方法分組求和法，考查學(xué)生的運算能力，屬中檔題17（12分）某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，為了比較他們的研發(fā)水平，現(xiàn)隨機抽取這兩個小組往年研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果如下：（a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，），（，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b）其中a，分別表示甲組研發(fā)成功和失敗，b，分別表示乙組研發(fā)成功和失?。ǎ┤裟辰M成功研發(fā)一種新產(chǎn)品，則給該組記1分，否則記0分，試計算甲、乙兩組研發(fā)新產(chǎn)品的成績的平均數(shù)和方差，并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平；（）若該企業(yè)安排甲、乙兩組各自研發(fā)一樣的產(chǎn)品，試估計恰有一組研發(fā)成功的概率【分析】（）分別求出甲乙的研發(fā)成績，再根據(jù)平均數(shù)和方差公式計算平均數(shù)，方差，最后比較即可（）找15個結(jié)果中，找到恰有一組研發(fā)成功的結(jié)果是7個，求出頻率，將頻率視為概率，問題得以解決【解答】解：（）甲組研發(fā)新產(chǎn)品的成績?yōu)?，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，則=，=乙組研發(fā)新產(chǎn)品的成績?yōu)?，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1則=，=因為所以甲的研發(fā)水平高于乙的研發(fā)水平（）記E=恰有一組研發(fā)成功，在所抽到的15個結(jié)果中，恰有一組研發(fā)成功的結(jié)果是（a，），（，b），（a，），（，b），（a，），（a，），（，b）共7個，故事件E發(fā)生的頻率為，將頻率視為概率，即恰有一組研發(fā)成功的概率為P（E）=【點評】本題主要考查了平均數(shù)方差和用頻率表示概率，培養(yǎng)的學(xué)生的運算能力18（12分）如圖，已知二面角MN的大小為60，菱形ABCD在面內(nèi)，A、B兩點在棱MN上，BAD=60，E是AB的中點，DO面，垂足為O（）證明：AB平面ODE；（）求異面直線BC與OD所成角的余弦值【分析】（）運用直線與平面垂直的判定定理，即可證得，注意平面內(nèi)的相交二直線；（）根據(jù)異面直線的定義，找出所成的角為ADO，說明DEO是二面角MN的平面角，不妨設(shè)AB=2，從而求出OD的長，再在直角三角形AOD中，求出cosADO【解答】（1）證明：如圖DO面，AB，DOAB，連接BD，由題設(shè)知，ABD是正三角形，又E是AB的中點，DEAB，又DODE=D，AB平面ODE；（）解：BCAD，BC與OD所成的角等于AD與OD所成的角，即ADO是BC與OD所成的角，由（）知，AB平面ODE，ABOE，又DEAB，于是DEO是二面角MN的平面角，從而DEO=60，不妨設(shè)AB=2，則AD=2，易知DE=，在RtDOE中，DO=DEsin60=，連AO，在RtAOD中，cosADO=，故異面直線BC與OD所成角的余弦值為【點評】本題主要考查線面垂直的判定，以及空間的二面角和異面直線所成的角的定義以及計算，是一道基礎(chǔ)題19（13分）如圖，在平面四邊形ABCD中，DAAB，DE=1，EC=，EA=2，ADC=，BEC=（）求sinCED的值；（）求BE的長【分析】（）根據(jù)三角形邊角之間的關(guān)系，結(jié)合正弦定理和余弦定理即可得到結(jié)論（）利用兩角和的余弦公式，結(jié)合正弦定理即可得到結(jié)論【解答】解：（）設(shè)=CED，在CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED22CDDEcosCDE，即7=CD2+1+CD，則CD2+CD6=0，解得CD=2或CD=3，（舍去），在CDE中，由正弦定理得，則sin=，即sinCED=（）由題設(shè)知0，由（）知cos=，而AEB=，cosAEB=cos（）=coscos+sinsin=，在RtEAB中，cosAEB=，故BE=【點評】本題主要考查解三角形的應(yīng)用，根據(jù)正弦定理和余弦定理是解決本題本題的關(guān)鍵，難度不大20（13分）如圖，O為坐標原點，雙曲線C1：=1（a10，b10）和橢圓C2：+=1（a2b20）均過點P（，1），且以C1的兩個頂點和C2的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形（）求C1、C2的方程；（）是否存在直線l，使得l與C1交于A、B兩點，與C2只有一個公共點，且|+|=|？證明你的結(jié)論【分析】（）由條件可得a1=1，c2=1，根據(jù)點P（，1）在上求得=3，可得雙曲線C1的方程再由橢圓的定義求得a2=，可得=的值，從而求得橢圓C2的方程（）若直線l垂直于x軸，檢驗部不滿足|+|若直線l不垂直于x軸，設(shè)直線l得方程為 y=kx+m，由 可得y1y2 =由 可得 （2k2+3）x2+4kmx+2m26=0，根據(jù)直線l和C1僅有一個交點，根據(jù)判別式=0，求得2k2=m23，可得0，可得|+|綜合（1）、（2）可得結(jié)論【解答】解：（）設(shè)橢圓C2的焦距為2c2，由題意可得2a1=2，a1=1，c2=1由于點P（，1）在上，=1，=3，雙曲線C1的方程為：x2=1再由橢圓的定義可得 2a2=+=2，a2=，=2，橢圓C2的方程為：+=1（）不存在滿足條件的直線l（1）若直線l垂直于x軸，則由題意可得直線l得方程為x=，或 x=當x=時，可得 A（，）、B（，），求得|=2，|=2，顯然，|+|同理，當x=時，也有|+|（2）若直線l不垂直于x軸，設(shè)直線l得方程為 y=kx+