蘇教版必修5 第2章 數(shù)例 章末分層突破 學(xué)案.doc

章末分層突破自我校對(duì)anan1d(n2)a1(n1)dna1damanapaq2ak(n2)amanapaqa等差(比)數(shù)列公式與性質(zhì)的應(yīng)用等差、等比數(shù)列從定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，及性質(zhì)可比較如下：等差數(shù)列等比數(shù)列定義an1and(常數(shù))(nn*)q(非零常數(shù))(nn*)anana1(n1)dana1qn1snsnsnsnna1dsn性質(zhì)(1)anam(nm)d或d(nm)anamqnm或qnm(n，mn*)(2)若an，bn是等差數(shù)列，則panqbn(p，q為常數(shù))仍是等差數(shù)列若an，bn是等比數(shù)列，則anbn，等仍是等比數(shù)列(3)若mnpq(m，n，p，qn*)，則amanapaq；特別地，若mn2p，則aman2ap若mnpq(m，n，p，qn*)，則amanapaq；特別地，若mn2p，則amana(4)設(shè)sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則sk，s2ksk，s3ks2k，構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列；也是一個(gè)等差數(shù)列設(shè)sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則sk，s2ksk，s3ks2k滿足(s2ksk)2sk(s3ks2k)在解題過(guò)程中，既要注意到兩類數(shù)列的可類比性，又要注意到二者的區(qū)別，切忌混用誤用(1)已知等比數(shù)列an中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1，a3,2a2成等差數(shù)列，則 .(2)已知數(shù)列an為等比數(shù)列，sn是它的前n項(xiàng)和若a2a32a1，且a4與2a7的等差中項(xiàng)為，則s5 .【精彩點(diǎn)撥】(1)先由a1，a3,2a2成等差數(shù)列求公比q，進(jìn)而求的值(2)利用等比數(shù)列的性質(zhì)求a4，由等差中項(xiàng)求a7，進(jìn)而求s5.【規(guī)范解答】(1)a1，a3,2a2成等差數(shù)列，2a3a12a2，即a3a12a2.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q且q0，則a3a1q2，a2a1q，a1q2a12a1q，q212q，解得q1或q1(舍)，q2(1)232.(2)由等比數(shù)列性質(zhì)可知a2a3a1a4，a2a32a1，a1a42a1，而a10，a42.由已知a42a72，a7，q3，q，a116，s531.【答案】(1)32 (2)31再練一題1成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上2,5,13后成為等比數(shù)列bn中的b3，b4，b5.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為sn，求證：數(shù)列是等比數(shù)列【解】(1)設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為ad，a，ad.依題意，得adaad15，解得a5.所以bn中的b3，b4，b5依次為7d,10,18d.依題意，有(7d)(18d)100，解得d2或d13(舍去)，故bn的第3項(xiàng)為5，公比為2，由b3b122，即5b122，解得b1.所以bn是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為bn2n152n3.(2)證明：數(shù)列bn的前n項(xiàng)和sn52n2，即sn52n2，所以s1，2.因此是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列.數(shù)列通項(xiàng)公式的求法1形如an1anf(n)(nn*)的遞推數(shù)列，可用累加法求通項(xiàng)公式：ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)a1f(1)f(2)f(n1)2形如an1f(n)an(nn*)的遞推數(shù)列，可用累乘法求通項(xiàng)公式：ana1a1f(1)f(2)f(n1)3形如an1panq(pq0，且p1)的遞推數(shù)列，可構(gòu)造等比數(shù)列，其中該等比數(shù)列的首項(xiàng)是a1，公比為p.4形如an1panqn的遞推數(shù)列，可在遞推公式兩邊同除以qn1，得，轉(zhuǎn)化為形如an1panq的形式求解已知數(shù)列an分別滿足以下條件，求通項(xiàng)公式an.(1)a11，an1ann(nn*)；(2)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為snan3.【精彩點(diǎn)撥】(1)已知a1且an1ann，故用累加法；(2)條件是關(guān)于an，sn的關(guān)系式，利用n2時(shí)，ansnsn1消去sn轉(zhuǎn)化為an與an1的關(guān)系【規(guī)范解答】(1)an1ann，a2a11，a3a22，a4a33，anan1n1.將以上各式疊加，得ana112(n1).ana11.(2)snan3，n2時(shí)，ansnsn1anan1，3(n2)而當(dāng)n1時(shí)，有a1a13，a16，an是以6為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，an63n123n.再練一題2根據(jù)下列條件，確定數(shù)列an的通項(xiàng)公式(1)a11，nan1(n2)an；(2)a12，an12an3.【解】(1)nan1(n2)an，ana11(nn*)(2)an12an3，an132(an3)，2，an3是以2為公比的等比數(shù)列，an352n1，an52n13(nn*).數(shù)列求和求數(shù)列的和是數(shù)列運(yùn)算的重要內(nèi)容之一數(shù)列求和可分為特殊數(shù)列求和與一般數(shù)列求和，特殊數(shù)列就是指等差或等比數(shù)列，非等差或非等比數(shù)列稱為一般數(shù)列對(duì)于特殊數(shù)列的求和，要恰當(dāng)?shù)倪x擇、準(zhǔn)確的應(yīng)用求和公式，采用公式法直接求和；對(duì)于一般的數(shù)列求和，可采用分組化歸法、并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法、倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分段求和法等設(shè)數(shù)列an滿足a13a232a33n1an，nn*.(1)求an的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和sn.【精彩點(diǎn)撥】(1)利用an與sn的關(guān)系求解；(2)利用錯(cuò)位相減法求解【規(guī)范解答】(1)a13a232a33n1an，nn*.當(dāng)n2時(shí)，a13a232a33n2an1，得3n1an，即an(n2)(*)又a1，滿足(*)式，an.(2)bn，bnn3n，sn3232333n3n，3sn32233334(n1)3nn3n1，得2sn3323nn3n1n3n1，即sn.再練一題3等差數(shù)列an中，a13，公差d2，sn為前n項(xiàng)和，求.【解】由題意可知，sn3n2n22n，.分類討論思想在解數(shù)列題中的應(yīng)用分類討論思想就是指在解決一些問(wèn)題時(shí)，按一種模式、一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不能清晰、準(zhǔn)確地表示，需根據(jù)不同情況分別說(shuō)明本章中，當(dāng)數(shù)列所給的對(duì)象不宜進(jìn)行統(tǒng)一研究或推理時(shí)，需通過(guò)分類討論來(lái)解決如運(yùn)用等比數(shù)列求和公式時(shí)，需對(duì)q分q1和q1且q0兩種情況進(jìn)行討論已知an是公比為q的等比數(shù)列，且a1，a3，a2成等差數(shù)列(1)求q的值；(2)設(shè)bn是以2為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為sn，當(dāng)n2時(shí)，比較sn與bn的大小，并說(shuō)明理由【精彩點(diǎn)撥】(1)利用等差、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)求q；(2)作差比較，判斷差的正、負(fù)、零情況【規(guī)范解答】(1)依題意，得2a3a1a2，即2a1q2a1a1q.a10，2q2q10，q1或q.(2)若q1，則sn2n，bnn1，當(dāng)n2時(shí)，snbnsn1，故當(dāng)n2時(shí)，snbn；若q，則sn，bnn，當(dāng)n2時(shí)，snbnsn1，當(dāng)2n9時(shí)，snbn，當(dāng)n10時(shí)，snbn，當(dāng)n11時(shí)，snbn.再練一題4在公差為d的等差數(shù)列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比數(shù)列(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.【解】(1)由題意得，a15a3(2a22)2，由a110，an為公差為d的等差數(shù)列得，d23d40，解得d1或d4.所以ann11(nn*)或an4n6(nn*)(2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn.因?yàn)閐0，由(1)得d1，ann11，所以當(dāng)n11時(shí)，|a1|a2|a3|an|snn2n；當(dāng)n12時(shí)，|a1|a2|a3|an|sn2s11n2n110.綜上所述，|a1|a2|a3|an|1設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a310，a2a45，則a1a2an的最大值為 【解析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則由a1a310，a2a4q(a1a3)5，知q.又a1a1q210，a18.故a1a2anaq12(n1)記t(n27n)，結(jié)合nn*可知n3或4時(shí)，t有最大值6.又y2t為增函數(shù)，從而a1a2an的最大值為2664.【答案】642已知an為等差數(shù)列，sn為其前n項(xiàng)和若a16，a3a50，則s6 . 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：92862066】【解析】a3a52a4，a40.a16，a4a13d，d2.s66a1d6.【答案】63設(shè)數(shù)列滿足a11，且an1ann1(nn*)，則數(shù)列前10項(xiàng)的和為 【解析】由題意有a2a12，a3a23，anan1n(n2)以上各式相加，得ana123n.又a11，an(n2)當(dāng)n1時(shí)也滿足此式，an(nn*)2.s1022.【答案】4設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn.若s24，an12sn1，nn*，則a1 ，s5 .【解析】an12sn1，sn1sn2sn1，sn13sn1，sn13，數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，3.又s24，s11，a11，s53434，s5121.【答案】11215已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn1an，其