2017_18學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二講證明不等式的基本方法第1節(jié)比較法創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案.docx

第1節(jié) 比較法創(chuàng)新應(yīng)用核心必知比較法證明不等式可分為作差比較法和作商比較法兩種作差比較法作商比較法定義要證明ab，只要證明ab0要證明ab，只要證明abb0，只要證明1要證明ba0，只要證明1步驟作差因式分解(或配方)判斷符號得出結(jié)論作商恒等變形判斷與1的大小得出結(jié)論問題思考1作差比較法的主要適用類型是什么？實質(zhì)是什么？提示：作差比較法尤其適用于具有多項式結(jié)構(gòu)特征的不等式的證明實質(zhì)是把兩個數(shù)或式子的大小判斷問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)(或式子)與0的大小關(guān)系. 2作商比較法主要適用類型是什么？實質(zhì)是什么？提示：作商比較法主要適用于積、商、冪、對數(shù)、根式形式的不等式證明實質(zhì)是把兩個數(shù)或式子的大小判斷問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)(或式子)與1的大小關(guān)系求證：(1)a2b22(ab1)；(2)若abc，則bc2ca2ab2bc，ba0，ca0，cb0.(ba)(ca)(cb)0.bc2ca2ab2b2cc2aa2b.bc2ca2ab20，求證：2a3b32ab2a2b.證明：2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因為ab0，所以ab0，ab0，2ab0，從而(ab)(ab)(2ab)0 ，即2a3b32ab2a2b.已知a2，求證：loga(a1)log(a1)a.精講詳析本題考查作商比較法的應(yīng)用，解答本題需要先判斷不等式兩側(cè)代數(shù)式的符號，然后再用作商法比較左右兩側(cè)的大小a2，a11.loga(a1)0，log(a1)a0，由于loga(a1)loga(a1).a2，0loga(a21)logaa22.1ab是不正確的，這與a、b的符號有關(guān)，比如若b0，由1，可得ab，但若b1得出的反而是a0，b0，求證：aabb(ab).證明：aabb0，(ab)0，ab.當(dāng)ab時，顯然有1.當(dāng)ab0時，1，0.當(dāng)ba0時，01，.即1.綜上可知，對任意實數(shù)a、b，都有aabb(ab).甲、乙二人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走如果mn，問甲、乙二人誰先到達指定地點？精講詳析本題考查比較法在實際問題中的應(yīng)用，解答本題需要設(shè)出從出發(fā)點到指定地點的路程s，甲、乙二人走完這段路程各自需要的時間t1、t2，然后利用作差法比較t1，t2的大小即可設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的路程為s，甲、乙二人走完這段路程所用的時間分別為t1、t2，依題意有：mns，t2.t1，t2.t1t2.其中s，m，n都是正數(shù)，且mn，t1t20，即t1t2.從而知甲比乙先到達指定地點應(yīng)用不等式解決問題時，關(guān)鍵是如何把等量關(guān)系不等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式的問題來解決，也就是建立數(shù)學(xué)模型是解應(yīng)用題的關(guān)鍵，最后利用不等式的知識來解解答不等式問題，一般可分為如下步驟：閱讀理解材料；建立數(shù)學(xué)模型；討論不等式關(guān)系；作出問題結(jié)論3證明：通過水管放水，當(dāng)流速相同時，如果水管截面(指橫截面，下同)的周長相等，那么在相同時間里截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大證明：設(shè)截面的周長為L.依題意，截面是圓的水管的截面面積為2，截面是正方形的水管的截面面積為.0，原結(jié)論得證作差比較法在高考中單獨考查的可能性不大，一般是在比較數(shù)與式的大小時作為解決問題的工具使用考題印證(安徽高考)(1)設(shè)x1，y1，證明xyxy；(2)設(shè)1abc，證明logablogbclogcalogbalogcblogac.命題立意本題考查不等式的基本性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)換底公式等基本知識，考查代數(shù)式的恒等變形能力和推理論證的能力證明(1)由于x1，y1，所以xyxy xy(xy)1yx(xy)2.將上式中的右式減左式，得yx(xy)2xy(xy)1(xy)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1)既然x1，y1，所以(xy1)(x1)(y1)0，從而所要證明的不等式成立(2)設(shè)logabx，logbcy，由對數(shù)的換底公式得logca，logba，logcb，logacxy.于是，所要證明的不等式即為xyxy，其中xlogab1，ylogbc1.故由(1)可知所要證明的不等式成立一、選擇題1下列關(guān)系中對任意ab0的實數(shù)都成立的是()Aa2b2Blg b21 D.解析：選Bab0，ab0.(a)2(b)20.即a2b20.1.又lgb2lga2lglg10.lgb2lga2.2已知P，Qa2a1，那么P、Q的大小關(guān)系是()APQ BPp BmnpCnmp Dnmp解析：選A由已知，知m，n，得ab0時mn，可否定B、C.比較A、D項，不必論證與p的關(guān)系取特值a4，b1，則m4，n213，mn，可排除D.4設(shè)mn，nN，a(lg x)m(lg x)m，b(lg x)n(lg x)n，x1，則a與b的大小關(guān)系為()Aab BabC與x值有關(guān)，大小不定 D以上都不正確解析：選A要比較a與b的大小，通常采用比較法，根據(jù)a與b均為對數(shù)表達式，只有作差，a與b兩個對數(shù)表達式才能運算、整理化簡，才有可能判斷出a與b的大小ablgmxlgmxlgnxlgnx(lgmxlgnx)(lgmxlgnx)(lgmxlgnx)(lgmxlgnx).x1，lgx0.當(dāng)0lgx1時，ab；當(dāng)lgx1時，ab；當(dāng)lgx1時，ab.應(yīng)選A.二、填空題5若xy0，M(x2y2)(xy)，N(x2y2)(xy)，則M，N的大小關(guān)系為_解析：MN(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)(xy)(x2y2)(xy)22xy(xy)xy0，xy0，xy0，MN0，即MN.答案：MN6設(shè)Pa2b25，Q2aba24a，若PQ，則實數(shù)a，b滿足的條件為_解析：PQa2b25(2aba24a)a2b252aba24aa2b22ab14a24a(ab1)2(a2)2，PQ，PQ0，即(ab1)2(a2)20，ab1或a2.答案：ab1或a27若1ab，a2b2，故只需比較與b2的大小因為b20，0，b2.答案：8一個個體戶有一種商品，其成本低于 元如果月初售出可獲利100元，再將本利存入銀行，已知銀行月息為2.5%，如果月末售出可獲利120元，但要付成本的2%的保管費，這種商品應(yīng)_出售(填“月初”或“月末”)解析：設(shè)這種商品的成本費為a元月初售出的利潤為L1100(a100)2.5%，月末售出的利潤為L21202%a，則L1L21000.025a2.51200.02a0.045，a，L1L2，月末出售好答案：月末三、解答題9已知a1，求證：.證明：()()0，b0，求證：.證明：法一：0，所以原不等式成立法二：ab0，故a2b20.故左邊0，右邊0.11.原不等式成立11已知函數(shù)f(x)log2(xm)，且f(0)、f(2)、f(6)成等差數(shù)列(1)求f(30)的值；(2)若a、b、c是兩兩不相等的正數(shù)，且a、b、c成等比數(shù)列，試判斷f(a)f(c)與2f(b)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論解：(1)由f(0)、f(2)、f(6)成等差數(shù)列，得2log2(2m)log2mlog2(6m)，即(m2)2m(m6)(m0)m2，f(30)log2(302)5.(2)