(教師)九年級(jí)相似三角形動(dòng)點(diǎn)問題.doc

九年級(jí)相似三角形動(dòng)點(diǎn)問題 相似三角形動(dòng)點(diǎn)問題一選擇題（共1小題）1如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)連線為邊的三角形叫格點(diǎn)三角形在如圖55的方格中，作格點(diǎn)三角形和ABC相似，則所作的格點(diǎn)三角形中，最小面積和最大面積分別為（）A0.5，2.5B0.5，5C1，2.5D1，5解：如圖所示，DEF和GHI分別是面積最小和面積最大的三角形因?yàn)镈EF，GHI和ABC都相似，AB=，DE=1，GH=，所以它們的相似比為DE：AB=1：，GH：AB=：，又因?yàn)橄嗨迫切蔚拿娣e比等于相似比的平方，而ABC的面積為21=1，故DEF和GHI面積分別為0.5，5故選B二填空題（共10小題）2如圖，P是RtABC斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)（P異于A、B），C=90，B=30，過點(diǎn)P的直線截ABC，使截得的三角形與ABC相似，當(dāng)=或或時(shí)，截得的三角形面積為ABC面積的716358解：設(shè)P（lx）截得的三角形面積為S，S=SABC，則相似比為1：2，第1條l1，此時(shí)P為斜邊AB中點(diǎn)，l1AC，第2條l2，此時(shí)P為斜邊AB中點(diǎn)，l2BC，第3條l3，此時(shí)BP與BC為對(duì)應(yīng)邊，且=，第4條l4，此時(shí)AP與AC為對(duì)應(yīng)邊，且 ，=，=，當(dāng)=或或時(shí)，截得的三角形面積為RtABC面積的，故答案為：或或3如圖，在正方形ABCD中，M是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，N在CO上，且，若AB=1，設(shè)BM=x，當(dāng)x=或時(shí)，以A、B、M為頂點(diǎn)的三角形和以N、C、M為頂點(diǎn)的三角形相似相似三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)7，AB=1CN=1=，BM=x，CM=1x，當(dāng)CN與BM是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，=，即=解得x=，當(dāng)CN與AB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，=，即=，解得x=綜上所述，x的值是或故答案為：或4.在ABC中，P是AB上的動(dòng)點(diǎn)（P異于A、B），過點(diǎn)P的直線截ABC，使截得的三角形與ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點(diǎn)P的ABC的相似線，簡(jiǎn)記為P（lx）（x為自然數(shù)）（1）如圖，A=90，B=C，當(dāng)BP=2PA時(shí)，P（l1）、P（l2）都是過點(diǎn)P的ABC的相似線（其中l(wèi)1BC，l2AC），此外，還有1條；（2）如圖，C=90，B=30，當(dāng)=或或時(shí)，P（lx）截得的三角形面積為ABC面積的分析：（1）過點(diǎn)P作l3BC交AC于Q，則APQABC，l3是第3條相似線；（2）按照相似線的定義，找出所有符合條件的相似線總共有4條，注意不要遺漏解：（1）存在另外 1 條相似線如圖1所示，過點(diǎn)P作l3BC交AC于Q，則APQABC；故答案為：1；（2）設(shè)P（lx）截得的三角形面積為S，S=SABC，則相似比為1：2如圖2所示，共有4條相似線：第1條l1，此時(shí)P為斜邊AB中點(diǎn)，l1AC，=；第2條l2，此時(shí)P為斜邊AB中點(diǎn)，l2BC，=；第3條l3，此時(shí)BP與BC為對(duì)應(yīng)邊，且=，=；第4條l4，此時(shí)AP與AC為對(duì)應(yīng)邊，且=，=，=故答案為：或或5如圖，在鈍角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，動(dòng)點(diǎn)D從A點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)止，動(dòng)點(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)到A點(diǎn)止點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為1cm/秒，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/秒如果兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是3秒或4.8秒71動(dòng)點(diǎn)型；分析：如果以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，由于A與A對(duì)應(yīng)，那么分兩種情況：D與B對(duì)應(yīng)；D與C對(duì)應(yīng)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別作答解：如果兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，則AD=t，CE=2t，AE=ACCE=122t當(dāng)D與B對(duì)應(yīng)時(shí)，有ADEABCAD：AB=AE：AC，t：6=（122t）：12t=3；當(dāng)D與C對(duì)應(yīng)時(shí)，有ADEACBAD：AC=AE：AB，t：12=（122t）：6，t=4.8故當(dāng)以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是3秒或4.8秒三解答題（共19小題）1如圖，在ABC中，AB=6cm，AC=12cm，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm秒的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，若兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，是否存在某一時(shí)刻t，使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由動(dòng)點(diǎn)型分析：首先設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)，AMN與ABC相似，可得AM=t，CN=2t，AN=122t（0t6），然后分別從當(dāng)MNBC時(shí)，AMNABC與當(dāng)AMN=C時(shí)，ANMABC去分析，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得答案解：存在t=3秒或4.8秒，使以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似（無此過程不扣分）設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)，AMN與ABC相似，此時(shí)，AM=t，CN=2t，AN=122t（0t6），（1）當(dāng)MNBC時(shí)，AMNABC，（1分）則，即，（3分）解得t=3；（5分）（2）當(dāng)AMN=C時(shí)，ANMABC，（6分）則，即，（8分）解得t=4.8；（10分）故所求t的值為3秒或4.8秒2已知AOB=90，OM是AOB的平分線，按以下要求解答問題：（1）將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)，兩直角邊分別與邊OA，OB交于點(diǎn)C，D在圖甲中，證明：PC=PD；在圖乙中，點(diǎn)G是CD與OP的交點(diǎn)，且PG=PD，求POD與PDG的面積之比；（2）將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)，一直角邊與邊OB交于點(diǎn)D，OD=1，另一直角邊與直線OA，直線OB分別交于點(diǎn)C，E，使以P，D，E為頂點(diǎn)的三角形與OCD相似，在圖丙中作出圖形，試求OP的長(zhǎng)分析：（1）可通過構(gòu)建全等三角形來求解；可根據(jù)相似比來求面積比（2）分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)C在OA上上時(shí)；當(dāng)C在OA延長(zhǎng)線上時(shí)；解：（1）證明：過P作PHOA，PNOB，垂足分別為H，N，得HPN=90HPC+CPN=90CPN+NPD=90HPC=NPDOM是AOB的平分線PH=PN又PHC=PND=90PCHPDNPC=PDPC=PDPDG=45POD=45PDG=PODGPD=DPOPODPDG（2）若PC與邊OA相交，PDECDO令PDEOCDCDO=PEDCE=CDCOEDOE=ODOP=ED=OD=1若PC與邊OA的反向延長(zhǎng)線相交過P作PHOA，PNOB，垂足分別為H，N，PEDEDC令PDEODCPDE=ODCOEC=PEDPDE=HCPPH=PN，RtPHCRtPNDHC=ND，PC=PDPDC=45PDO=PCH=22.5OPC=180POCOCP=22.5OP=OC設(shè)OP=x，則OH=ON=HC=DN=ODON=1HC=HO+OC=+x1=+xx=即OP=3如圖，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，CE=2cm，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)以每秒2cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q也從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1cm的速度向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒解答下列問題：（1）當(dāng)0t3時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形能與ADE相似嗎？（不必說理由）（2）連接DQ，試求當(dāng)t為何值時(shí)？ADQ為等腰三角形（3）求t為何值時(shí)？直線PQ平分矩形ABCD的面積716358 分析：（1）不能相似，因?yàn)橄嗨茣r(shí)，只能AQP=90，QPA=30，而ADE中的銳角不能為30；（2）分為三種情況：當(dāng)AD=AQ=3cm時(shí)，當(dāng)DA=DQ時(shí)，過D作DMAE于M，當(dāng)QA=QD時(shí)，求出AQ長(zhǎng)即可；（3）連接AC，取AC中點(diǎn)O（即AO=OC），當(dāng)直線PQ過O時(shí)，直線PQ平分矩形ABCD的面積，根據(jù)ROCPOA，求出CR=AP=2t，得出RE=2t2，EQ=5t，根據(jù)RQEPQA得出=，代入求出即可解：（1）不能相似；（2）四邊形ABCD是矩形，DC=AB=6cm，ADC=90，分為三種情況：當(dāng)AD=AQ=3cm時(shí)，此時(shí)t=3； 當(dāng)DA=DQ時(shí)，過D作DMAE于M，在RtADE中，AD=3，DE=DCCE=6cm2cm=4cm，由勾股定理得：AE=5cm，由三角形的面積公式得：SADE=ADDE=AEDM，DM=cm，在RtADM中，由勾股定理得：AM=（cm），DMAQ，AD=DQ，AQ=2AM=cm（三線合一定理），即t=； 當(dāng)QA=QD時(shí)，過Q作QNAD于N，則AN=ND=，ADC=ANQ=90QNDC，DN=AN，EQ=AQ=AE=5cm=cm，即t=綜合上述，當(dāng)t為3秒或秒或秒時(shí)，ADQ是等腰三角形（3）連接AC，取AC中點(diǎn)O（即AO=OC），當(dāng)直線PQ過O時(shí)，直線PQ平分矩形ABCD的面積，四邊形ABCD是矩形，DCAB，OCR=OAP，在ROC和POA中，ROCPOA（ASA），CR=AP=2t，CE=2，RE=2t2，EQ=5t，DCAB，RQEPQA，=，=，解得：t1=3，t2=0（舍去）即t=3秒時(shí)，直線PQ平分矩形ABCD的面積4已知：RtOAB在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，P（3，4）為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)C為折線OAB上的動(dòng)點(diǎn)，線段PC把RtOAB分割成兩部分在圖上畫出所有線段PC，使分割得到的三角形與RtOAB相似，并直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)7163分析：根據(jù)平行于三角形一邊的直線分成的三角形與原三角形相似，可得PCAB，PCOA時(shí)，分割得到的三角形與RtOAB相似，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)寫出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；又當(dāng)PCOB時(shí)，分割得到的三角形與RtOAB也相似，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，利用勾股定理求出OB的長(zhǎng)度，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出BC的長(zhǎng)度，再求出AC的長(zhǎng)度，從而得到此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)解：如圖，PCAB時(shí)，OCPOAB，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），PCOA時(shí)，PCBOAB，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，4），PCOB時(shí)，CPBOAB，根據(jù)勾股定理得，OB=10，P（3，4）為OB的中點(diǎn)，PB=OB=5，=，即=，解得BC=，AC=ABBC=8=，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，），綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），（6，4），（6，）5如圖，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=3cm，BC=6cm某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從D點(diǎn)出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，問：（1）經(jīng)過多少時(shí)間，AMN的面積等于矩形ABCD面積的？（2）是否存在時(shí)刻t，使以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由動(dòng)點(diǎn)型分析：（1）關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問題，可設(shè)時(shí)間為x，根據(jù)速度表示出所涉及到的線段的長(zhǎng)度，找到相等關(guān)系，列方程求解即可，如本題中利用，AMN的面積等于矩形ABCD面積的作為相等關(guān)系；（2）先假設(shè)相似，利用相似中的比例線段列出方程，有解的且符合題意的t值即可說明存在，反之則不存在解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒后，AMN的面積等于矩形ABCD面積的，則有：（62x）x=36，即x23x+2=0，（2分）解方程，得x1=1，x2=2，（3分）經(jīng)檢驗(yàn)，可知x1=1，x2=2符合題意，所以經(jīng)過1秒或2秒后，AMN的面積等于矩形ABCD面積的（4分）（2）假設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)，以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與ACD相似，由矩形ABCD，可得CDA=MAN=90，因此有或（5分）即，或（6分）解，得t=；解，得t=（7分）經(jīng)檢驗(yàn)，t=或t=都符合題意，所以動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)出發(fā)后，經(jīng)過秒或秒時(shí)，以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與ACD相似6RtABC中，C=90，AC=6厘米，BC=8厘米，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段AC上以1厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始在線段BA上以2厘米/秒的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)先運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程結(jié)束設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒（1）設(shè)APQ的面積為y（厘米2），請(qǐng)你求出y與t的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量t的取值范圍，并求出當(dāng)t為何值時(shí)，APQ的面積最大；（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，是否會(huì)存在以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？若存在，請(qǐng)你求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)你說明理由71分析：（1）根據(jù)已知條件求出AB的長(zhǎng)，再過點(diǎn)Q作QHAC，交AC與點(diǎn)H，的長(zhǎng)QHABCA，求出，即可求出QH的值，最后求SAPQ的值；（2）存在在以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，此小題要分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)APQ=90時(shí)，APQABC，求出t的值；當(dāng)PQA=90時(shí)，APQABC，求出t的值，經(jīng)檢驗(yàn)它們都符合題意即可解：（1）BC=8，AC=6，得AB=10，AP=t，CP=6t，BQ=2t，AQ=102t，過點(diǎn)Q作QHAC，交AC與點(diǎn)H，QHABCA，QH=8t，SAPQ=APQH=t（8t）=4tt2；當(dāng)t=時(shí)，面積有最大值，是4（）2=5=；（2）當(dāng)APQ=90時(shí)，APQABC，則，t=；當(dāng)PQA=90時(shí)，APQABC，則，則，解得t=，當(dāng)t為或時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，它們都符合題意，此時(shí)AQP和ABC相似，故存在以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似7如圖，在正方形網(wǎng)格上有若干個(gè)三角形，找出與ABC相似的三角形分析：可利用正方形的邊把對(duì)應(yīng)的線段表示出來，利用三邊對(duì)應(yīng)成比例兩個(gè)三角形相似，分別計(jì)算各邊的長(zhǎng)度即可解題解：觀察可以發(fā)現(xiàn)AC=AB，故該三角形中必須有一條邊與鄰邊的比值為EBF中，BF=，EF=，BF=5，DIB中，DI=2，DB=2，BI=2，HFE中，HF=，HE=2，EF=，ABC中，AB=1，AC=，BC=，計(jì)算對(duì)應(yīng)邊比值即可求得EBFDIBHFEABC8如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AD=2，BC=10，對(duì)角線AC=4，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0t5）那么當(dāng)t為何值時(shí)，以A、E、C為頂點(diǎn)的三角形與ADC相似71分析：由于ADBC，得DAC=BCA；若以A、E、C為頂點(diǎn)的三角形與ADC相似，可得兩種情況：ADCCEA，此時(shí)對(duì)應(yīng)邊AD=AD，則兩三角形全等，AD=EC=2；ADCCAE，此時(shí)AD：AC=AC：CE，根據(jù)所得的比例式，即可求出CE的長(zhǎng)；根據(jù)上述兩種情況所得出的CE的值，再除以B點(diǎn)的速度，即可求出時(shí)間t的值解：ADBC，DAC=BCA；當(dāng)ADCCEA時(shí)，即EC=AD=2，t=22=1s；當(dāng)ADCCAE時(shí)，即CE=AC2AD=8，t=82=4s；故當(dāng)t為1s或4s時(shí)，以A、E、C為頂點(diǎn)的三角形與ADC相似9如圖，在RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=3cm動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿AC向終點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2cm的速度沿BA向終點(diǎn)A移動(dòng)，連接PM，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒，0t2.5）當(dāng)t為何值時(shí)，以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？分析：根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)相似得出兩種情況，根據(jù)相似得出比例式，代入比例式求出即可解：如圖，在RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=3cm根據(jù)勾股定理，得AB=5cm，以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，分兩種情況：當(dāng)AMPABC時(shí)，=，即=，解得t=；當(dāng)APMABC時(shí)，=時(shí)，即=，解得t=，綜上所述，當(dāng)t=或t=時(shí)，以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似選作題1在ABC中，C=90（1）如圖1，P是AC上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線截ABC，使截得的三角形與ABC相似例如：過點(diǎn)P作PDBC交AB于D，則截得的ADP與ABC相似請(qǐng)你在圖中畫出所有滿足條件的直線（2）如圖2，Q是BC上異于點(diǎn)B，C的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作直線截ABC，使截得的三角形與ABC相似，直接寫出滿足條件的直線的條數(shù)（不要求畫出具體的直線） 716358 分析：（1）根據(jù)平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長(zhǎng)線所得三角形與原三角形相似，可以作DPBC，PEAB；又由有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，可以過點(diǎn)P作PGAB交AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)P作PFC=A即可；（2）本題需要根據(jù)BQ的取值范圍不同，所畫的直線條數(shù)不同討論即可解：（1）如圖所示：（2）當(dāng)0BQ時(shí)，滿足條件的直線有3條；當(dāng)BQ6時(shí)，滿足條件的直線有4條2已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)分別在x軸，y軸的正半軸上，點(diǎn)A（6，0），BAO=30（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，若使POA為等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得以Q、O、B為頂點(diǎn)的三角形與OAB相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由分析：（1）在直角三角形AOB中，由OA與tan30的值求出OB的長(zhǎng)，即可確定出B的坐標(biāo)；（2）P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，若使POA為等腰三角形，則有OP=PA或PA=AO兩種情況，如圖1所示，當(dāng)OP1=P1A時(shí)，連接OP1，作P1C1OA，則C1為AO的中點(diǎn)，P1C1為AOB的中位線，求出P1C1與OC1的長(zhǎng)，確定出此時(shí)P1的坐標(biāo)；當(dāng)P2A=AO時(shí)，連接OP2，作P2C2OA，可得出P2A=AO=6，P2AO=30，在RtP2AC中，求出P2C與AC2的長(zhǎng)，進(jìn)而確定出OC2的長(zhǎng)，確定出此時(shí)P2的坐標(biāo)