人教B版選修45 不等式的基本性質和證明的基本方法 章末分層突破 學案.docVIP

章末分層突破自我校對含絕對值的不等式比較法綜合法和分析法反證法和放縮法 基本不等式的應用利用基本不等式求最值問題一般有兩種類型：(1)和為定值時，積有最大值；(2)積為定值時，和有最小值.在具體應用基本不等式解題時，一定要注意適用的范圍和條件：“一正、二定、三相等”.(1)求函數(shù)yx2(15x)的最大值；(2)已知a，b，c(0，)，abc1，求y的最小值.【精彩點撥】根據(jù)條件，發(fā)現(xiàn)定值，利用基本不等式求最值.【規(guī)范解答】(1)yx2xx.0x，2x0，y.當且僅當xx2x，即x時，上式取等號.因此ymax.(2)y(abc)3，而6，當且僅當abc時取到等號，則y9，即y的最小值為9.再練一題1.(湖南高考)設a0，b0，且ab.證明：(1)ab2；(2)a2a2與b2b0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.(2)假設a2a2與b2b2同時成立，則由a2a0，得0a1；同理，0b1，從而ab1，這與ab1矛盾.故a2a2與b2bg(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)；|f(x)|g(x)g(x)f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2.3.零點分段法含有兩個以上絕對值符號的不等式，可先求出使每個含絕對值符號的代數(shù)式值等于零的未知數(shù)的值，將這些值依次在數(shù)軸上標注出 ，它們把數(shù)軸分成若干個區(qū)間，討論每一個絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式在每一個區(qū)間上的符號，轉化為不含絕對值的不等式去解.解下列關于x的不等式：(1)|xx22|x23x4；(2)|x2|2x5|2x.【精彩點撥】去掉絕對值號，轉化為沒有絕對值的不等式求解.(1)xx22x2x20；(2)通過分類討論去掉絕對值.【規(guī)范解答】法一：原不等式等價于xx22x23x4或xx22(x23x4)，解得1x3，原不等式的解集為x|x3.法二：|xx22|x2x2|x2x2，原不等式等價于x2x2x23x4x3.原不等式的解集為x|x3.(2)分段討論：當x2x，解得x2x，解得x2時，原不等式變形為x22x52x，解得x2a22b20.從而(3a22b2)(ab)0，故3a32b33a2b2ab2成立.再練一題3.設實數(shù)a，b，c滿足等式bc64a3a2，cb44aa2，試確定a，b，c的大小關系.【解】由cb(a2)20，知cb.又，得ba21，baa2a10，ba，故cba.2.綜合法、分析法證明不等式分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，而綜合法是“由因尋果”逐步推導出不等式成立的必要條件，兩者是對立統(tǒng)一的兩種方法，一般 說，對于較復雜的不等式，直接用綜合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法可結合使用.已知a，b，c均為正數(shù)，且互不相等，又abc1.求證：.【精彩點撥】本題考查用綜合法證明不等式，解答本題可從左到右證明，也可從右到左證明.由左端到右端，應注意左、右兩端的差異，這種差異正是我們思考的方向，左端含有根號，脫去根號可通過實現(xiàn)；也可以由右到左證明，按上述思路逆向證明即可.【規(guī)范解答】法一：a，b，c是不等正數(shù)，且abc1，.法二：a，b，c是不等正數(shù)，且abc1，bccaab.再練一題4.已知a0，a22abc20且bca2，試證明：bc.【證明】a22abc20，a2c22ab.又a2c22ac，且a0，2ab2ac，bc.若bc，由a22abc20，得a22abb20，ab.從而abc，這與bca2矛盾.從而bc.設a，b，c均為大于1的正數(shù)，且ab10.求證：logaclogbc4lg c.【精彩點撥】本題采用綜合法比較困難，可采用分析式法轉化為同底的對數(shù)尋找方法.【規(guī)范解答】由于a1，b1，故要證明logaclogbc4lg c，只要證明4lg c.又c1，故lg c0，所以只要證4，即4，因ab10，故lg alg b1，只要證明4.(*)由a1，b1，故lg a0，lg b0，所以0lg alg b，即(*)式成立.所以，原不等式logaclogbc4lg c得證.再練一題5.已知a0，b0，且ab1，求證：2.【證明】要證2，只要證4，即證ab124.只要證1，也就是要證ab(ab)1，即證ab.a0，b0，ab1.1ab2，ab，即上式成立.故2.3.反證法和放縮法證明不等式證明不等式除了三種基本方法，還可運用反證法，放縮法等，若直接證明難以入手時，“正難則反”，可利用反證法加以證明，若不等式較復雜，可將需要證明的不等式的值適當?shù)胤糯?或縮小)，使不等式由繁化簡，達到證明目的.若a，b，c，x，y，z均為實數(shù)，且ax22y，by22z，cz22x，求證：a，b，c中至少有一個大于0.【精彩點撥】在題目中含有“至少”“至多”“最多”以及否定性的結論時，用直接法證明比較困難，往往采取反證法.【規(guī)范解答】假設a，b，c都不大于0，則a0，b0，c0，abc0，由題設知，abc(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23，abc0，這與abc0矛盾，故a，b，c中至少有一個大于0.再練一題6.已知f(x)ax(a1)，證明：方程f(x)0沒有負數(shù)根.【證明】假設x0是f(x)0的負數(shù)根，則x00且x01且ax0，由0ax0101，解得x02，這與x00矛盾，所以假設不成立.故方程f(x)0沒有負數(shù)根.求證：13.【精彩點撥】不等式比較復雜，亦采用放縮法，由(n是大于2的自然數(shù))，然后把各項求和.【規(guī)范解答】由(n是大于2的自然數(shù))，得111133.再練一題7.設x0，y0，z0，求證：xyz.【證明】x，z，由得，xyz.轉化與化歸數(shù)學思想等價轉化是把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法.通過不斷地轉化，把不熟悉、不規(guī)范、復雜的問題轉化為熟悉、規(guī)范甚至模式簡單的問題.在本章，我們討論恒成立問題，向最值轉換，通過不等式性質、基本不等式、絕對值不等式求最值等問題都用到了轉化的思想.若不等式|x3|x7|a23a的解集為r，求實數(shù)a的取值范圍.【精彩點撥】由不等式的解集為r，可知對xr，都有|x3|x7|a23a成立，(|x3|x7|)mina23a，從而得出a的不等式求解.【規(guī)范解答】原不等式的解集為r，xr，都有|x3|x7|a23a，(|x3|x7|)mina23a.|x3|x7|(x3)(x7)|10，a23a10，解得2a5.實數(shù)a的取值范圍是2,5.再練一題8.已知f(x)|ax1|(ar)，不等式f(x)3的解集為x|2x1.(1)求a的值；(2)若k恒成立，求k的取值范圍.【解】(1)由|ax1|3，得4ax2.又f(x)3的解集為x|2x1，所以當a0時，不合題意.當a0時，x，得a2.(2)法一：記h(x)f(x)2f，則h(x)所以|h(x)|1，因此k的取值范圍是k1.法二：|2x1|2|x1|21，由k恒成立，可知k1.所以k的取值范圍是k1.1.不等式|x1|x5|2的解集是()a.(，4)b.(，1)c.(1,4)d.(1,5)【解析】當x1時，原不等式可化為1x(5x)2，42，不等式恒成立，x1.當1x5時，原不等式可化為x1(5x)2，x4，1x4.當x5時，原不等式可化為x1(x5)1時，f(x)作出f(x)的大致圖象如圖所示，由函數(shù)f(x)的圖象可知f(a)5，即a15，a4.同理，當a1時，a15，a6.【答案】6或43.設a0，|x1|，|y2|，求證：|2xy4|a.【證明】因為|x1|，|y2|，所以|2xy4|2(x1)(y2)|2|x1|y2|1的解集.圖11【解】(1)由題意得f(x)故yf(x)的圖象如圖所示.(2)由f(x)的函數(shù)表達式及圖象可知，當f(x)1時，可得x1或x3；當f(x)1時，可得x或x5.故f(x)1的解集為x|1x3，f(x)1的解集為.所以|f(x)|1的解集為.5.已知函數(shù)f(x)|2xa|a.(1)當a2時，求不等式f(x)6的解集；(2)設函數(shù)g(x)|2x1|.當xr時，f(x)g(x)3，求a的取值范圍.【解】(1)當a2時，f(x