人教B版選修23 2.2.2 事件的獨(dú)立性 學(xué)案.docVIP

22.2事件的獨(dú)立性 甲箱里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱里裝有2個(gè)白球、2個(gè)黑球從這兩個(gè)箱子里分別摸出1個(gè)球，記事件a為“從甲箱里摸出白球”，b為“從乙箱里摸出白球”問(wèn)題1：事件a發(fā)生會(huì)影響事件b發(fā)生的概率嗎？提示：不影響問(wèn)題2：試求p(a)、p(b)、p(ab)提示：p(a)，p(b)，p(ab).問(wèn)題3：p(b|a)與p(b)相等嗎？提示：因?yàn)閜(b|a)，所以p(b|a)與p(b)相等問(wèn)題4：p(ab)與p(a)p(b)相等嗎？提示：因?yàn)閜(b|a)p(b)，所以p(ab)與p(a)p(b)相等1相互獨(dú)立事件的概念若事件a是否發(fā)生對(duì)事件b發(fā)生的概率沒(méi)有影響，即p(b|a)p(b)，則稱兩個(gè)事件a，b相互獨(dú)立，并把這兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件2相互獨(dú)立事件的性質(zhì)如果事件a與b相互獨(dú)立，那么a與，與b，與也都相互獨(dú)立3相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式如果事件a與b相互獨(dú)立，那么p(ab)p(a)p(b)1事件a與b相互獨(dú)立就是事件a的發(fā)生不影響事件b發(fā)生的概率，事件b的發(fā)生不影響事件a發(fā)生的概率2當(dāng)事件a與事件b相互獨(dú)立，且p(a)0，p(b)0時(shí)，有p(b|a)p(b)，p(a|b)p(a)3兩個(gè)事件a，b相互獨(dú)立的充要條件是p(ab)p(a)p(b)注意：獨(dú)立事件是依據(jù)事件之間的相互關(guān)系對(duì)事件進(jìn)行區(qū)別劃分的一種方式事件的獨(dú)立性既可以指兩個(gè)事件之間的獨(dú)立關(guān)系，也可以指多個(gè)事件之間的獨(dú)立關(guān)系 事件獨(dú)立性的判斷例1容器中盛有5個(gè)白乒乓球和3個(gè)黃乒乓球(1)“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”與“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”這兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立？為什么？(2)“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”與“把取出的1個(gè)白球放回容器，再?gòu)娜萜髦腥我馊〕?個(gè)，取出的是黃球”這兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立？為什么？思路點(diǎn)撥利用相互獨(dú)立事件的定義判斷精解詳析(1)“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”記為事件a，“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”記為事件b，則p(a)，p(b)，p(ab).因?yàn)閜(ab)p(a)p(b)，所以二者不是相互獨(dú)立事件(2)因?yàn)榘讶〕龅陌浊蚍呕厝萜?，所以?duì)“從中任意取出1個(gè)，取出的是黃球”的概率沒(méi)有影響，所以二者是相互獨(dú)立事件一點(diǎn)通判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的方法：(1)直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響(2)定義法：如果事件a，b同時(shí)發(fā)生的概率等于事件a發(fā)生的概率與事件b發(fā)生的概率的積，則事件a，b為相互獨(dú)立事件(3)條件概率法：當(dāng)p(a)0時(shí)，可用p(b|a)p(b)判斷1下列事件中，a，b是相互獨(dú)立事件的是()a一枚硬幣擲兩次，a第一次為正面，b第二次為反面b袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸兩球，a第一次摸到白球，b第二次摸到白球c擲一枚骰子，a出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，b出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)da人能活到20歲，b人能活到50歲解析：把一枚硬幣擲兩次，對(duì)于每次而言是相互獨(dú)立的，其結(jié)果不受先后影響，故a是獨(dú)立事件；b中是不放回地摸球，顯然a事件與b事件不相互獨(dú)立；對(duì)于c，a，b應(yīng)為互斥事件，不相互獨(dú)立； d是條件概率，事件b受事件a的影響答案：a2分別拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，a第一顆骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，b第二顆骰子出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，判定事件a，b是否相互獨(dú)立解：分別擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，則a第一顆骰子出現(xiàn)1,3,5點(diǎn)，共有3種結(jié)果b第二顆骰子出現(xiàn)2,4,6點(diǎn)，共有3種結(jié)果ab第一顆骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，第二顆骰子出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，共有cc9種結(jié)果由于每種結(jié)果的出現(xiàn)均是等可能的，由古典概型的有關(guān)知識(shí)可知p(a)，p(b)，p(ab).所以p(ab)p(a)p(b)，即事件a、事件b相互獨(dú)立.相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率例2某同學(xué)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三科的考試成績(jī)?cè)谝淮慰荚囍信琶嗟谝坏母怕剩赫Z(yǔ)文為0.9，數(shù)學(xué)為0.8，英語(yǔ)為0.85，求：(1)三科成績(jī)均未獲得第一名的概率是多少？(2)恰有一科成績(jī)未獲得第一名的概率是多少？思路點(diǎn)撥明確已知事件的概率及其關(guān)系，把待求事件的概率表示成已知事件的概率，再選擇公式計(jì)算精解詳析分別記該生語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)考試成績(jī)排名全班第一的事件為a，b，c，則a，b，c兩兩相互獨(dú)立且p(a)0.9，p(b)0.8，p(c)0.85.(1)“三科成績(jī)均未獲得第一名”可以用， 表示，p( )p()p()p()1p(a)1p(b)1p(c)(10.9)(10.8)(10.85)0.003，即三科成績(jī)均未獲得第一名的概率是0.003.(2)“恰有一科成績(jī)未獲得第一名”可以用(bc)(ac)(ab)表示由于事件bc，ac和ab兩兩互斥，根據(jù)概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率公式，所求的概率為p(bc)p(ac)p(ab)p()p(b)p(c)p(a)p()p(c)p(a)p(b)p()1p(a)p(b)p(c)p(a)1p(b)p(c)p(a)p(b)1p(c)(10.9)0.80.850.9(10.8)0.850.90.8(10.85)0.329，即恰有一科成績(jī)未獲得第一名的概率是0.329.一點(diǎn)通1公式p(ab)p(a)p(b)可以推廣到一般情形：如果事件a1，a2，an相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即p(a1a2an)p(a1)p(a2)p(an)2求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟：(1)首先確定各事件之間是相互獨(dú)立的；(2)確定這些事件可以同時(shí)發(fā)生；(3)求出每個(gè)事件發(fā)生的概率，再求其積3制造一種零件，甲機(jī)床的正品率是0.96，乙機(jī)床的正品率是0.95，從它們制造的產(chǎn)品中各任意抽取一件，則兩件都是正品的概率是_解析：用a表示從甲機(jī)床制造的產(chǎn)品中抽得正品，用b表示從乙機(jī)床制造的產(chǎn)品中抽得正品由題意得，a，b是相互獨(dú)立事件，故p(a b)p(a)p(b)0.960.950.912.答案：0.9124三人獨(dú)立地破譯一份密碼，他們能單獨(dú)譯出的概率分別為，假設(shè)他們破譯密碼是彼此獨(dú)立的，則此密碼被破譯的概率為_(kāi)解析：用a，b，c分別表示甲、乙、丙三人破譯出密碼，則p(a)，p(b)，p(c)，且p()p()p()p().所以此密碼被譯出的概率為1.答案：5紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員a，b，c進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì)a，乙對(duì)b，丙對(duì)c各一盤已知甲勝a、乙勝b、丙勝c的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立，求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率解：記甲勝a、乙勝b、丙勝c分別為事件d，e，f，則甲不勝a、乙不勝b、丙不勝c分別為事件，.根據(jù)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立，可得紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率為pp(de)p(df)p(ef)p(def)p(d)p(e)p()p(d)p()p(f)p()p(e)p(f)p(d)p(e)p(f)0.60.5(10.5)0.6(10.5)0.5(10.6)0.50.50.60.50.50.55.相互獨(dú)立事件概率的實(shí)際應(yīng)用例3(10分)三個(gè)元件t1，t2，t3正常工作的概率分別為，將它們中的某兩個(gè)元件并聯(lián)后再和第三個(gè)元件串聯(lián)接入電路，如圖所示，求電路不發(fā)生故障的概率思路點(diǎn)撥記三個(gè)元件t1，t2，t3正常工作分別為事件a1，a2，a3，再把不發(fā)生故障的事件表示為(a2a3)a1，最后由相互獨(dú)立事件、對(duì)立事件、互斥事件的概率公式求概率精解詳析記“三個(gè)元件t1，t2，t3正常工作”分別為事件a1，a2，a3，則p(a1)，p(a2)，p(a3).(4分)不發(fā)生故障的事件為(a2a3)a1，(6分)故不發(fā)生故障的概率為pp(a2a3)a1p(a2a3)p(a1)1p(2)p(3)p(a1).(10分)一點(diǎn)通解決此類問(wèn)題應(yīng)注意：(1)恰當(dāng)用事件的“并”“交”表示所求事件；(2)“串聯(lián)”時(shí)系統(tǒng)無(wú)故障易求概率，“并聯(lián)”時(shí)系統(tǒng)有故障易求概率，求解時(shí)注意對(duì)立事件概率之間的轉(zhuǎn)化6如圖，a，b，c表示3個(gè)開(kāi)關(guān)，若在某段時(shí)間內(nèi)它們正常工作的概率分別為0.9,0.8,0.7，那么系統(tǒng)的可靠性為()a0.054b0.994c0.496 d0.06解析：記三個(gè)開(kāi)關(guān)都正常工作分別為事件a，b，c，則p(a)0.9，p(b)0.8，p(c)0.7.三個(gè)開(kāi)關(guān)同時(shí)出現(xiàn)故障的事件為，則此系統(tǒng)正常工作的概率為p1p()1p()p()p()10.10.20.30.994.答案：b7某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰已知某選手能正確回答第一、二、三輪問(wèn)題的概率分別為，且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響求該選手被淘汰的概率解：記事件“該選手能正確回答第i輪的問(wèn)題”為ai(i1,2,3) ，則p(a1)，p(a2)，p(a3).法一：該選手被淘汰的概率為p(1)p(a12)p(a1a23)p(1)p(a1)p(2)p(a1)p(a2)p(3).法二：該選手被淘汰的概率為1p(a1a2a3)1.1“相互獨(dú)立事件”與“互斥事件”的區(qū)別：相互獨(dú)立事件互斥事件判斷方法一個(gè)