3.1.2 復數(shù)的幾何意義 學案（人教A版選修1-2）.doc

3.1.2復數(shù)的幾何意義課標解讀1.理解可以用復平面內(nèi)的點或以原點為起點的向量來表示復數(shù)以及它們之間的一一對應關系(重點)2理解復數(shù)模的概念，會求復數(shù)的模(難點)復平面【問題導思】1復數(shù)zabi(a，bR)與有序?qū)崝?shù)對(a，b)有怎樣的對應關系？【提示】一一對應2有序?qū)崝?shù)對與直角坐標平面內(nèi)的點有怎樣的對應關系？【提示】一一對應3復數(shù)集與平面直角坐標系中的點集之間能一一對應嗎？【提示】一一對應建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，實軸上的點都表示實數(shù)，除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)復數(shù)的幾何意義【問題導思】1平面直角坐標系中的點Z與向量有怎樣的對應關系？【提示】一一對應2復數(shù)集與平面直角坐標系中以原點為起點的向量集合能一一對應嗎？【提示】一一對應(1)復數(shù)zabi(a，bR) 復平面內(nèi)的點Z(a，b)(2)復數(shù)zabi(a，bR) 平面向量.為方便起見，我們常把復數(shù)zabi說成點Z或說成向量，并且規(guī)定，相等的向量表示同一個復數(shù)復數(shù)的模向量的模r叫做復數(shù)zabi的模，記作|z|或|abi|，且r(r0，且rR).復平面內(nèi)的點同復數(shù)的對應關系實數(shù)m取什么值時，復平面內(nèi)表示復數(shù)z2m(4m2)i的點(1)位于虛軸上；(2)位于第三象限【思路探究】找出復數(shù)z的實部、虛部，結合(1)(2)的要求寫出滿足的條件【自主解答】復數(shù)z2m(4m2)i對應復平面內(nèi)點的坐標P為(2m,4m2)(1)若P在虛軸上，則即m0.(2)若點P在第三象限，則解得m2.當點P位于第三象限時，實數(shù)m的范圍是(，2)1復數(shù)zabi(a，bR)復平面內(nèi)的點(a，b)2判斷復數(shù)對應點的位置，關鍵是找出相應復數(shù)的實部和虛部在題設不變的情況下，求滿足下列條件的實數(shù)m.(1)在實軸上；(2)在直線yx上【解】(1)若點在實軸上，則4m20，即m2.(2)若點在直線yx上，則4m22m，解得m1.復數(shù)的模的求法已知復數(shù)z滿足z|z|28i，求復數(shù)z.【思路探究】設zabi(a，bR)，代入等式后，可利用復數(shù)相等的充要條件求出a，b.【自主解答】法一設zabi(a，bR)，則|z|，代入方程得abi28i，解得z158i.法二原式可化為 z2|z|8i，|z|R，2|z|是z的實部，于是|z|，即|z|2684|z|z|2，|z|17.代入z2|z|8i得z158i.計算復數(shù)的模時，應先找出復數(shù)的實部和虛部，然后再利用模的公式進行計算，兩個虛數(shù)不能比較大小，但它們的?？梢员容^大小求復數(shù)z168i及z2i的模，并比較它們的模的大小【解】|z1|10，|z2| ，|z1|z2|.復數(shù)的模及其幾何意義已知復數(shù)z1i，z2i，(1)求|z1|與|z2|的值，并比較它們的大小(2)設復平面內(nèi)，復數(shù)z滿足|z2|z|z1|，復數(shù)z對應的點Z的集合是什么？【思路探究】(1)利用復數(shù)模的定義來求解若zabi(a，bR)，則|z|.(2)先確定|z|的范圍，再確定點Z滿足的條件，從而確定點Z的圖形【自主解答】(1)|z1|2.|z2|1.21，|z1|z2|.(2)由(1)知|z2|z|z1|，則1|z|2.因為不等式|z|1的解集是圓|z|1上和該圓外部所有點的集合，不等式|z|2的解集是圓|z|2上和該圓的內(nèi)部所有點組成的集合，所以滿足條件1|z|2的點Z的集合是以原點O為圓心，以1和2為半徑的兩圓及所夾的圓環(huán)1兩個復數(shù)不全為實數(shù)時不能比較大小；而任意兩個復數(shù)的模均可比較大小2復數(shù)模的意義是表示復數(shù)對應的點到原點的距離，這可以類比實數(shù)的絕對值，也可以類比以原點為起點的向量的模來加深理解3|z1z2|表示點z1，z2兩點間的距離，|z|r表示以原點為圓心，以r為半徑的圓如果將本題中|z2|z|z1|，改為|z2|z|z1|，復數(shù)z對應的點Z的集合是什么？【解】|z2|z|z1|1|z|2，則復數(shù)z的軌跡為以原點O為圓心，1、2為半徑的圓環(huán)且不包括邊界，注意區(qū)別.因?qū)蛿?shù)的模理解不到位而導致錯誤試研究方程x25|x|60在復數(shù)集上解的個數(shù)【錯解】將方程變?yōu)閨x|25|x|60|x|2或|x|3x2或x3，故共有4個【錯因分析】這里常出現(xiàn)將|x|看成“絕對值”從而出現(xiàn)錯誤的解法，注意這里|x|是一個復數(shù)的模，它不等同于實數(shù)的絕對值，x2也不能寫成|x|2.【防范措施】(1)認真審題，看清限制范圍是實數(shù)還是復數(shù)(2)弄清復數(shù)的模與實數(shù)絕對值的區(qū)別(3)理解|z|的意義及|z|的計算方法(4)善于利用轉(zhuǎn)化思想，把復數(shù)方程轉(zhuǎn)化為實數(shù)方程組求解【正解】設xabi(a，bR)，則原方程可化為a2b2562abi0或或即x2或x3或xi.故方程在復數(shù)集上的解共有6個1復數(shù)的幾何意義有兩種：復數(shù)和復平面內(nèi)的點一一對應，復數(shù)和復平面內(nèi)以原點為起點的向量一一對應2研究復數(shù)的問題可利用復數(shù)問題實數(shù)化思想轉(zhuǎn)化為復數(shù)的實虛部的問題，也可以結合圖形利用幾何關系考慮1(2013福建高考)復數(shù)z12i(i為虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應的點位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限【解析】z12i在復平面內(nèi)對應的點為(1，2)，它位于第三象限【答案】C2若(0，3)，則對應的復數(shù)為()A0 B3C3i D3【解析】由復數(shù)的幾何意義可知對應的復數(shù)為3i.【答案】C3已知34ixyi(x，yR)，則|15i|，|xyi|，|y2i|的大小關系為_【解析】由34ixyi(x，yR)，得x3，y4，而|15i|，|xyi|34i|5，|y2i|42i|.5，|y2i|xyi|15i|.【答案】|y2i|xyi|15i|4在復平面內(nèi)指出與復數(shù)z11i，z22i，z3i，z43i對應的點Z1，Z2，Z3，Z4，然后在復平面內(nèi)畫出這4個復數(shù)對應的向量【解】由題意知Z1(1，)，Z2(2，1)，Z3(0，1)，Z4(，3)如圖所示，在復平面內(nèi)，復數(shù)z1，z2，z3，z4對應的向量分別為，.一、選擇題1過原點和i對應點的直線的傾斜角是()A.B C.D【解析】i在復平面上的對應點是(，1)，tan (00，方程有兩根，2t25t3的值可正可負，A、B不正確又t22t2(t1)210，D不正確，C正確【答案】C二、填空題6復數(shù)zlog3ilog3對應的點位于復平面內(nèi)的第_象限【解析】log30，log30，z對應的點在第三象限【答案】三7若復數(shù)z135i，z21i，z32ai在復平面內(nèi)所對應的點在同一條直線上，則實數(shù)a_.【解析】設復數(shù)z1，z2，z3分別對應點P1(3，5)，P2(1，1)，P3(2，a)，由已知可得，從而可得a5.【答案】58已知復數(shù)z(x1)(2x1)i的模小于，則實數(shù)x的取值范圍是_【解析】由題意得，5x26x80，(5x4)(x2)0，x2.【答案】(，2)三、解答題9在復平面內(nèi)，若復數(shù)z(m2m2)(m23m2)i的對應點，(1)在虛軸上；(2)在第二象限；(3)在直線yx上試分別求實數(shù)m的取值范圍【解】復數(shù)z(m2m2)(m23m2)i的實部為m2m2，虛部為m23m2.(1)由題意，得m2m20，解得m2或m1.(2)由題意，得1m1，即m(1,1)(3)由已知，得m2m2m23m2，m2.10已知z1x2i，z2(x2a)i對任意的xR均有|z1|z2|成立，試求實數(shù)a的取值范圍【解】|z1|，|z2|x2a|，且|z1|z2|，|x2a|對xR恒成立，等價于(12a)x2(1a2)0恒成立不等式等價于：解得a，a時，0x2(1)0恒成立或：解得1a.a(1，)綜上，可得實數(shù)a的取值范圍是a|aR，且1a11如圖311，平行四邊形OABC，頂點O、A、C分別表示0,32i，24i，試