§3.1算符運算(講稿).doc

14 3.1 算符的運算規(guī)則第三章 力學(xué)量用算符表達 3.1 算符的運算規(guī)則一、 運算規(guī)則二、 算符的對易關(guān)系三、 坐標、動量的對易關(guān)系四、 角動量的對易關(guān)系五、 算符的函數(shù) 3.2 厄米算符一、 本征值為實數(shù)二、 本征函數(shù)正交三、 本征函數(shù)系構(gòu)成完備集合四、 簡并五、 量子力學(xué)的基本假定 3.3 共同本征函數(shù)系一、 不確定關(guān)系二、 兩個力學(xué)量有共同本征函數(shù)系的條件三、 力學(xué)量完全集四、 的共同本征函數(shù)系第三章作業(yè)教材P132 133：3、7、11、12、16 3.1 算符的運算規(guī)則一、 運算規(guī)則、 任意態(tài)矢量，、 任意復(fù)常數(shù)。1、 線性算符2、 算符相等3、 單位算符4、 算符之和 滿足交換律 滿足結(jié)合律 5、 算符之積 依次作用于波函數(shù)。 滿足結(jié)合律 一般不滿足交換律 例如 因為 冪運算 例題1 證明任意算符與單位算符交換，即 對于任意態(tài)所以6、 逆算符 若由 能唯一地解出，則可定義 的逆算符 性質(zhì)：因為7、 算符的復(fù)共軛 的復(fù)共軛：將的表達式中所有量換成其復(fù)共軛。例如 8、算符的厄米共軛和厄米算符（）的厄米共軛：或運算規(guī)則： （課下證明）（）厄米算符 若，則稱為厄米算符。即，若或則稱為厄米算符。厄米算符的例：，空間反射動量是厄米算符：對任意態(tài)和分部積分第一項為零，是利用了波函數(shù)平方可積條件。 由厄米算符的定義在任意狀態(tài)上厄米算符的平均值均為實數(shù)。厄米算符可以用來表達力學(xué)量。 思考 兩個厄米算符的和是厄米算符嗎？兩個厄米算符的積是厄米算符嗎？例題2 證明動能在任意態(tài) 的平均值 最后一步用到了內(nèi)積的性質(zhì)。9、幺正算符（unitary operator） 若，則稱為幺正算符。 若為幺正算符，則有例題3 證明空間反射算符既是厄米算符，也是幺正算符。（1）是厄米算符 算符厄米算符，表達體系的宇稱。（2）是幺正算符 二、 算符的對易關(guān)系1、算符和的對易關(guān)系定義為 若，即，則稱和對易（交換）。2、對易關(guān)系的計算 如果對于任意態(tài)有 則 例如因此，坐標和動量在該方向上的分量的對易關(guān)系：8、對易關(guān)系的運算規(guī)則例題4 計算對易關(guān)系 代入 ，得三、 坐標、動量的對易關(guān)系四、 角動量的對易關(guān)系 這里定義的角動量是軌道角動量它的三個分量為 角動量的平方為角動量三個分量之間的對易關(guān)系：舉例證明 ： 算符之間的對易關(guān)系具有本質(zhì)性的意義。實際上，上述三個分量之間的對易關(guān)系是一般的角動量算符的定義。 一個矢量算符，如果它的三個分量滿足下述對易關(guān)系，則這個矢量算符就是角動量算符 只要從角動量的對易關(guān)系出發(fā)，就能確定它的本征值譜和本征態(tài)，而無論它是軌道角動量，還是自旋角動量（在7.2討論）。 角動量算符的三個分量都和角動量的平方對易角動量包括4個算符：但互相對易的只有2個，一般選為：對于軌道角動量，這兩個算符在球坐標系中的形式為 軌道角動量和坐標、動量之間的對易關(guān)系： 五、 算符的函數(shù) 給定函數(shù)且可作展開，則可定義算符的函數(shù)例如 定理：若算符的本征值問題的解為 ，