對(duì)數(shù)學(xué)十個(gè)核心概念的思考20120320.doc

對(duì)數(shù)學(xué)核心概念的思考對(duì)數(shù)學(xué)核心概念的思考 北京教育科學(xué)研究院 吳正憲 北京順義區(qū)教育研究考試中心 張秋爽 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 2011 年版 提出了 10 個(gè)核心概念 它們是 數(shù)感 符 號(hào)意識(shí) 空間觀念 幾何直觀 數(shù)據(jù)分析觀念 運(yùn)算能力 推理能力 模型思想 應(yīng)用意 識(shí)和創(chuàng)新意識(shí) 與 實(shí)驗(yàn)稿 相比 在這 10 個(gè)核心概念中 有一些是新增加的 運(yùn)算能 力 模型思想 幾何直觀 創(chuàng)新意識(shí) 有一些是名稱(chēng)或內(nèi)涵發(fā)生了變化的 數(shù)感 符號(hào)意 識(shí) 數(shù)據(jù)分析觀念 有一些是保持了原有名稱(chēng) 基本保持了原有內(nèi)涵 空間觀念 推理 能力 應(yīng)用意識(shí) 這 10 個(gè)核心概念可以分成三層 第一層 主要體現(xiàn)在某一內(nèi)容領(lǐng)域的 核心概念 數(shù)感 符號(hào)意識(shí) 運(yùn)算能力主要體現(xiàn)在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域 空間觀念主要體現(xiàn)在圖 形與幾何領(lǐng)域 數(shù)據(jù)分析觀念主要體現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域 第二層 體現(xiàn)在不同內(nèi)容領(lǐng)域 的核心概念 包括幾何直觀 推理能力和模型思想 第三層 超越課程內(nèi)容 整個(gè)小學(xué)數(shù) 學(xué)課程都應(yīng)特別注重培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí) 下面就結(jié)合一些課堂實(shí)例對(duì)其中新增的四個(gè)核心概念 運(yùn)算能力 模型思想 幾何直 觀 創(chuàng)新意識(shí) 的理解與大家交流 一 一 如何提高學(xué)生的運(yùn)算能力如何提高學(xué)生的運(yùn)算能力 運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力 培養(yǎng)運(yùn)算能力有助 于學(xué)生理解運(yùn)算的算理 尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題 一是指運(yùn)算 二是指運(yùn)算能 力 運(yùn)算能力不僅僅會(huì)算和算正確 還包括對(duì)于運(yùn)算的本身要有理解 比如運(yùn)算對(duì)象 運(yùn) 算的意義 算理等 提到運(yùn)算的意義 我們覺(jué)得要讓學(xué)生積累運(yùn)算的原型 不斷補(bǔ)充進(jìn)而完善學(xué)生對(duì)于運(yùn) 算含義的準(zhǔn)確把握 運(yùn)算的多種 原型 包括 加法可以作為合并 移入 增加 繼續(xù)往 前數(shù)等的模型 減法可以作為剩余 比較 往回?cái)?shù) 減少或加法逆運(yùn)算等的模型 乘法可 以作為相等的數(shù)的和 面積計(jì)算 倍數(shù) 組合等的模型 除法可以作為平均分配 比率或 乘法逆運(yùn)算等的模型 提到算理和算法的關(guān)系 我們認(rèn)為 法理 需要平衡 直觀演繹 清晰算法是外在模 型 算理是內(nèi)在的魂 而現(xiàn)在的孩子在學(xué)習(xí)新知識(shí)之前不是一張白紙 他們往往學(xué)會(huì)了一 些所謂的計(jì)算方法 但是對(duì)于方法背后的道理卻是知之甚少或一無(wú)所知 怎樣引起他們對(duì) 算理的關(guān)注與探究呢 教學(xué)中可以借助直觀模型 架起算理與算法之間的一座橋梁 使學(xué) 生能夠直觀地感悟計(jì)算的道理 北京黃城根小學(xué)的史冬梅老師的一節(jié) 兩位數(shù)乘兩位數(shù) 結(jié)合三年級(jí)學(xué)生的思維特 點(diǎn) 借助直觀模型也很好地處理了算理與算法的關(guān)系 片段一 片段一 算對(duì)了算對(duì)了 就是真明白了嗎 就是真明白了嗎 教師出示問(wèn)題 14 12 等于多少 在學(xué)生獨(dú)立試做并利用計(jì)算器驗(yàn)證出結(jié)果后 全班學(xué) 生證明計(jì)算結(jié)果正確之后 老師說(shuō) 既然我們已經(jīng)認(rèn)同了 14 12 168 是正確的 大家 又會(huì)計(jì)算過(guò)程 是不是就可以下課了呢 不能下課的呼聲頓時(shí)而起 媽媽教會(huì)我計(jì)算 但是我不知道為什么這樣計(jì)算 豎式計(jì)算方法為什么上下摞著寫(xiě) 是誰(shuí)發(fā)明這樣計(jì)算 的 人類(lèi)怎么想到這種方法的 看似一句簡(jiǎn)單的 是否可以下課 引發(fā)了學(xué)生的深度思 考 教師創(chuàng)設(shè)這樣的問(wèn)題情境 沒(méi)有把學(xué)生的思維停留在計(jì)算的結(jié)果 而是為學(xué)生提供質(zhì) 疑的空間 讓使學(xué)生帶著需求進(jìn)入后續(xù)知識(shí)的研究 片段二 在點(diǎn)子圖上刻畫(huà)思維軌跡片段二 在點(diǎn)子圖上刻畫(huà)思維軌跡 我們除了用豎式計(jì)算和用計(jì)算器計(jì)算之外 同學(xué)們還有很多計(jì)算方法 例如 12 7 2 14 6 2 14 4 3 14 2 6 12 10 12 4 12 5 2 12 4 這樣計(jì)算 有道理嗎 學(xué)生開(kāi)始疑惑和茫然 此時(shí)教師提供點(diǎn)子圖建議學(xué)生在圖中找答案 每行 有 14 個(gè)點(diǎn) 有這樣的 12 行 學(xué)生在點(diǎn)子圖中演繹計(jì)算道理 如下圖所示 學(xué)生在點(diǎn)子圖中找到計(jì)算的道理 并證明實(shí)以上幾種方法都是正確的 史老師接著追 問(wèn) 哪個(gè)圖能恰當(dāng)?shù)捏w現(xiàn)豎式的計(jì)算過(guò)程 史老師在這節(jié)課上沒(méi)有將會(huì)寫(xiě) 豎式 作為最終的教學(xué)目標(biāo) 而是在學(xué)生已經(jīng)能夠初 步掌握豎式計(jì)算方法的基礎(chǔ)上 提供給學(xué)生直觀的點(diǎn)子圖作為研究素材 使學(xué)生的種種思 維軌跡在點(diǎn)子圖上留下足跡 使學(xué)生豐富多彩的學(xué)習(xí)成果得以證明 學(xué)生計(jì)算的方法不完 全相同 但都是采用 先分后合 的思路 這一點(diǎn)恰恰就是乘法豎式計(jì)算的基本思路 其 中最后的追問(wèn)也體現(xiàn)了直觀與抽象的關(guān)系 讓學(xué)生進(jìn)一步理解計(jì)算的道理 片段三 在點(diǎn)子圖中 把抽象的算理和外顯的算法進(jìn)行勾連片段三 在點(diǎn)子圖中 把抽象的算理和外顯的算法進(jìn)行勾連 豎式計(jì)算中用到的四句口訣 二四得八 一四得四 一二得二 一一得一 計(jì)算的 是哪部分 為什么第二層的積要錯(cuò)位寫(xiě) 能在點(diǎn)子圖上找到豎式計(jì)算的過(guò)程并說(shuō)明道理嗎 提出的問(wèn)題引發(fā)學(xué)生思考 學(xué)生開(kāi)始在點(diǎn)子圖上尋覓豎式計(jì)算的步驟 在點(diǎn)子圖中找每個(gè)算式對(duì)應(yīng)的位置 如下圖所示 接著將點(diǎn)子圖抽象成矩形 并用數(shù)形結(jié)合表示計(jì)算的過(guò)程和道理 如下圖 然后 說(shuō)明第二層積為什么要錯(cuò)位書(shū)寫(xiě)的道理 最后將所有的積相加 就是 12 14 的計(jì)算結(jié)果 在點(diǎn)子圖中尋覓豎式計(jì)算的足跡 幫助學(xué)生還原最簡(jiǎn)單 最直觀的道理和方法 使算 理與算法融為一體 在進(jìn)行學(xué)生前測(cè)時(shí) 多數(shù)學(xué)生掌握的是計(jì)算的流程 但是為什么這樣計(jì)算 豎式是怎 樣演變來(lái)的 人類(lèi)為什么這樣規(guī)定計(jì)算流程 激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)需求 點(diǎn)子圖將 冷冰冰 的算法和 神秘秘 的算理 揭示得如此透徹 讓學(xué)生清楚 法中見(jiàn)理 理中得法 原本 不可剝離 回顧以往的教學(xué) 不少老師認(rèn)為計(jì)算教學(xué)沒(méi)什么道理可講 或者不重視引導(dǎo)學(xué)生探索 計(jì)算的過(guò)程 或者當(dāng)學(xué)生剛剛探索出方法后 就立即引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)豎式 在學(xué)生對(duì)豎式運(yùn) 算的每個(gè)環(huán)節(jié)沒(méi)有真正理解的情況下就開(kāi)始追求計(jì)算方法 這就很可能造成學(xué)生在沒(méi)有真 正理解道理的情況下 只能靠記憶法則來(lái)習(xí)得方法和技能 這顯然對(duì)學(xué)生的發(fā)展是不利的 而這節(jié)課恰恰體現(xiàn)了算理與算法有機(jī)融合的鮮活而典型的案例 因此 教師要給學(xué)生提供可以操作 圈畫(huà)的素材 促使學(xué)生有意識(shí)地審視自己的操作 過(guò)程 自覺(jué)地把操作過(guò)程中所獲得的認(rèn)識(shí)進(jìn)行整理提升 使抽象的算理變得直觀形象 使 學(xué)生在明理中順利 自然的掌握了算法 促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展 提高運(yùn)算能力 二 如何建立模型思想二 如何建立模型思想 模型思想 是新增的核心概念 標(biāo)準(zhǔn) 指出 模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解 數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑 建立和求解模型的過(guò)程包括 從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中 抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題 用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程 不等式 函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變 化規(guī)律 求出結(jié)果 并討論結(jié)果的意義 這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想 提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí) 標(biāo)準(zhǔn) 首先說(shuō)明了模型思想的價(jià)值 即建立了數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系 小學(xué)階段有 兩個(gè)典型的模型 路程 速度 時(shí)間 總價(jià) 單價(jià) 數(shù)量 方程是個(gè)建模的過(guò)程 怎 樣幫學(xué)生建立好這個(gè)數(shù)學(xué)模型 從事件中尋找等量關(guān)系 列出方程 可以說(shuō)是一種建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程 如何讓學(xué)生 更好的經(jīng)歷這個(gè)建模的過(guò)程 使學(xué)生更輕松的接受這個(gè)模型 我認(rèn)為單方面去讓學(xué)生經(jīng)歷 從事件中提取還不能夠讓學(xué)生充分接受 數(shù)學(xué)源自生活 又回歸于生活 這就告訴我們 建立數(shù)學(xué)模型應(yīng)該是提取加還原的過(guò)程 所以 在教學(xué)中 前期我們可以搜集較為豐富的 生活事件 引導(dǎo)學(xué)生不斷地經(jīng)歷提取等量關(guān)系 列方程的過(guò)程 但在后期應(yīng)讓學(xué)生面對(duì)方 程這個(gè)已有模型 讓學(xué)生去賦予它更多現(xiàn)實(shí)含義 當(dāng)學(xué)生能夠把模型與生活建立聯(lián)系時(shí) 他才真的開(kāi)始接受這個(gè)模型了 1 1 方程是個(gè)建模的過(guò)程方程是個(gè)建模的過(guò)程 下面以陳千舉老師 方程 一課的教學(xué)流程為例 說(shuō)明如何在體現(xiàn)模型思想的同時(shí) 又滲透了從算術(shù)思維向代數(shù)思維的過(guò)渡 片段片段 1 1 借助天平建立方程借助天平建立方程 陳教師大膽地在教具上做文章 把過(guò)去由教室一手操作的電腦中的天平變成了孩 子們可以任意動(dòng)手?jǐn)[動(dòng)得紙制天平 動(dòng)態(tài)演示 直觀解讀 讓學(xué)生在直觀教具模型的 動(dòng)態(tài)演示中感悟理解方程的意義 因此課堂上出現(xiàn)了學(xué)生可以自己可以動(dòng)一動(dòng)的天平 模型 隨著天平上物體的變化 學(xué)生把 未知的物體 作為 已知量 參與 尋找等量 關(guān)系 的探索 天平讓學(xué)生很容易認(rèn)識(shí)到左右兩邊物體質(zhì)量的關(guān)系 有利于直接尋找 到表示左右兩邊相等的式子 尋找等量關(guān)系對(duì)于建立方程概念顯得很是重要 動(dòng)態(tài)天 平模型的出現(xiàn) 為學(xué)生理解 含有未知數(shù)的等式叫做方程 給與了重要的認(rèn)知支持 片段片段 2 2 尋找內(nèi)隱的天平尋找內(nèi)隱的天平 并不是所有的情景都是稱(chēng)質(zhì)量 離開(kāi)了天平情景 學(xué)生該怎么做呢 對(duì) 尋找心 中的天平 找出等量關(guān)系是關(guān)鍵 師 下面請(qǐng)同學(xué)們看圖 你能在此圖中找到一組相等的關(guān)系嗎 生 1 每塊月餅質(zhì)量 4 380 師 每塊月餅質(zhì)量不知道 我們可以用什么來(lái)表示 生 2 我們可以用字母表示 師 你能利用一個(gè)式子來(lái)表示這組相等的關(guān)系嗎 組織學(xué)生自己寫(xiě) 生 3 4x 380 生 4 4A 380 師 沒(méi)有天平了 你們通過(guò)心中的天平也找到了等量關(guān)系 列出了方程 看來(lái) 天平 的威力還真不小 師 再看這幅圖 先說(shuō)說(shuō)圖意 其中的等量關(guān)系是什么 請(qǐng)用個(gè)式子表示這組相等的系 學(xué)生獨(dú)立思考 寫(xiě)出答案后交流 生 5 一個(gè)大水壺能盛 2000 毫升水 剛好倒?jié)M 2 個(gè)熱水瓶和 1 紙杯 紙杯的容量是 200 毫升 生 6 這幅圖的等量關(guān)系 兩個(gè)熱水瓶的盛水量 200 毫升 2000 毫升 相等關(guān)系可以用 2x 20 2000 師 你是用什么表示每個(gè)暖瓶的盛水量的 生 6 我是用 x 來(lái)表示的 師 生活情境中找到等量關(guān)系 就可以找到方程的影子 教師請(qǐng)一名學(xué)生和自己站在 一起 問(wèn) 我們兩個(gè)在這兒一站 有方程嗎 1 指名讓學(xué)生為站在一起的老師和學(xué)生構(gòu)造方程 師在其中有目的地追問(wèn)相應(yīng)的等 量關(guān)系 2 同學(xué)身高 x 厘米 我們兩個(gè)相差 32 厘米 陳老師身高 180 厘米 師 這次你都能列出哪些方程 x 32 180 180 x 32 180 32 x 教師創(chuàng)設(shè)看似尋常不過(guò)的情境 在學(xué)生尋找方程的過(guò)程中 讓學(xué)生不僅再一次加深了 對(duì)方程意義的理解 更重要的是讓學(xué)生感受到方程就在我們的身邊 生活中處處有方程 片段片段 3 3 在講故事中理解方程在講故事中理解方程 陳老師的課堂別開(kāi)生面 學(xué)生在講故事中感悟理解方程的意義 也給我們帶來(lái)了新的 思考即 面對(duì)著抽象的數(shù)學(xué)概念 小學(xué)生需要什么樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 20 x 100 賦予生活意義 講個(gè)故事 生 1 有 20 個(gè)黑雞蛋 黑雞蛋和白雞蛋共 100 個(gè) 白雞蛋多少個(gè) 生 2 有 100 個(gè)饅頭 陳老師吃了 20 個(gè) 還剩多少個(gè) 生 3 到超市買(mǎi)東西 付給售貨員 100 元 售貨員找回 20 元 花了多少元 生 4 叔叔要去 100 千米外的河北出差 還剩 20 千米 已經(jīng)行了多少千米 生 5 一個(gè)動(dòng)畫(huà)片兩集全場(chǎng) 100 分鐘 已經(jīng)播了 20 分鐘 還剩多少分鐘就播完 從具體事件中尋找等量關(guān)系 列出方程 可以說(shuō)是一種建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程 老師 讓學(xué)生親自經(jīng)歷這個(gè)建模的過(guò)程 使學(xué)生自然接受這個(gè)數(shù)學(xué)模型 他引導(dǎo)學(xué)生從生活中提 取數(shù)學(xué)模型 又將數(shù)學(xué)模型回歸于生活他說(shuō) 建立數(shù)學(xué)模型應(yīng)該是提取加還原的過(guò)程 因此他在在教學(xué)中 引導(dǎo)學(xué)生搜集豐富的生活資源 不斷地經(jīng)歷提取等量關(guān)系 列方程的 過(guò)程 從而理解方程得意義 最后把抽象的方程與生活情境建立聯(lián)系 讓學(xué)生換個(gè)思路理 解方程 為方程增添些許生命力 從而加深和豐富學(xué)生對(duì)方程意義地理解 2 2 乘法分配律是個(gè)建模的過(guò)程乘法分配律是個(gè)建模的過(guò)程 在學(xué)習(xí)乘法分配律時(shí) 我們可以先通過(guò)學(xué)生熟悉的生活情景 買(mǎi)套服 買(mǎi)桌椅 買(mǎi)套 餐等情景入手 體會(huì)乘法的意義 進(jìn)一步列出算式 接著可以根據(jù)這些算式的特點(diǎn) 試著 寫(xiě)幾個(gè)這樣的等式 通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證它們結(jié)果相等 最后分析算式的特點(diǎn) 進(jìn)而總結(jié)出乘法 分配律 在學(xué)生理解運(yùn)算律的過(guò)程中 將圖 式 數(shù) 情景進(jìn)行溝通和聯(lián)系 體現(xiàn)多重表 達(dá)方式 除此之外 我們還可以利用圖形的直觀性 幫助學(xué)生理解乘法分配律 當(dāng)然 在 學(xué)生理解了乘法分配律后還可以讓學(xué)生根據(jù)算式編故事 例如 北師大版教材的例題 給廚房貼瓷磚 正面是一個(gè)長(zhǎng)方形 橫著貼 6 塊 豎著 貼 9 行 側(cè)面也是一個(gè)長(zhǎng)方形 橫著貼 4 塊 豎著貼 9 行 一共需要多少塊瓷磚 方法 1 6 9 4 9 90 塊 方法 2 6 4 9 90 塊 對(duì)于解決生活中的實(shí)際問(wèn)題 可以直接用平面圖形求面積和或面積差 應(yīng)用的也是 乘法分配律 先讓學(xué)生說(shuō)明每個(gè)算式的意義 接著讓學(xué)生在圖中指一指每個(gè)算式所對(duì)應(yīng)的面積 最后把兩種方法書(shū)寫(xiě)在一起 讓學(xué)生進(jìn)行比較 進(jìn)一步明確等式左邊和右邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn) 這樣采用多種表征去認(rèn)識(shí)乘法分配律 能夠加深學(xué)生對(duì)運(yùn)算律的認(rèn)識(shí)與把握 對(duì)于 乘法分配律 的內(nèi)容 通過(guò)學(xué)習(xí)新知 學(xué)生有了理解 但如何真正內(nèi)化理解 了呢 如何通過(guò)學(xué)習(xí)活動(dòng)讓不同水平的學(xué)生各有所獲呢 于是 教學(xué)時(shí)教師便提出 你能 用 4 3 6 3 說(shuō)一道實(shí)際問(wèn)題 表達(dá)出乘法分配律的內(nèi)容嗎 用自己喜歡的方式擺一 擺 畫(huà)一畫(huà) 寫(xiě)一寫(xiě) 可以用文字的 也可以用圖表的 怎樣把你的想法記錄下來(lái) 并讓 大家能一眼看懂 學(xué)生作品如下 文字式 實(shí)物圖式 圖文并茂式 抽象符號(hào)式 平面圖形式 線段圖式 總 結(jié)概括式 反饋時(shí) 依據(jù)思維程度的不同由低到高呈現(xiàn)學(xué)生的思考結(jié)果 讓學(xué)生交流幾種思路 這樣使不同思維層次的學(xué)生面臨不同的挑戰(zhàn) 促使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)物抽象到用數(shù)學(xué)符號(hào)表示 的過(guò)程 這就是解構(gòu)的過(guò)程 模型思想的建立需要一個(gè)循環(huán)往復(fù)的過(guò)程 從大量的生活實(shí)例 具體形象 舊知識(shí) 來(lái) 抽象出運(yùn)算定律 再用自己的方式解讀 這也是一個(gè)建構(gòu)和解構(gòu)的過(guò)程 這兩個(gè) 過(guò)程缺一不可 共同承擔(dān)學(xué)生建立模型思想的全過(guò)程 除方程 乘法分配律這兩個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容能夠幫助學(xué)生建立模型外 教材中還有很多內(nèi)容 植樹(shù)問(wèn)題 雞兔同籠及一些基本的數(shù)量關(guān)系 函數(shù)等 建議大家從低年級(jí)開(kāi)始就可以滲透 做到前有孕伏 后有照應(yīng) 三 如何在教學(xué)中體現(xiàn)幾何直觀 三 如何在教學(xué)中體現(xiàn)幾何直觀 幾何直觀是 標(biāo)準(zhǔn) 中新增的核心概念 主要是指 利用圖形描述和分析問(wèn)題 借助 幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明 形象 有助于探索解決問(wèn)題的思路 預(yù)測(cè)結(jié)果 幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué) 在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用 運(yùn) 用圖來(lái)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題 運(yùn)用圖直觀表示正反比例關(guān)系 利用統(tǒng)計(jì)圖來(lái)直觀地描述數(shù) 據(jù)等 1 1 運(yùn)用圖分析問(wèn)題和解決問(wèn)題運(yùn)用圖分析問(wèn)題和解決問(wèn)題 把畫(huà)圖作為一種解決問(wèn)題的策略 由于孩子年齡的局限 他們對(duì)符號(hào) 運(yùn)算性質(zhì)的 推理可能會(huì)發(fā)生一些困難 如果適時(shí)的 讓孩子們自己在紙上涂一涂 畫(huà)一畫(huà) 可以拓展 學(xué)生解決問(wèn)題的思路 幫助他們找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵 因此我們認(rèn)為 畫(huà)圖應(yīng)該是孩子們 掌握的一種基本的解決問(wèn)題的策略 為什么說(shuō)畫(huà)圖很重要呢 主要是比較直觀 通過(guò)畫(huà)圖 能夠把一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化 把一些復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化 如 這個(gè)問(wèn)題是一道出現(xiàn)了不同單位 1 的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題 對(duì)學(xué)生的思維具有挑戰(zhàn)性 利 用線段圖理解分?jǐn)?shù)的意義 轉(zhuǎn)化單位 1 用份數(shù)來(lái)解答問(wèn)題 這道題轉(zhuǎn)化為把 52 本書(shū)平均分成 13 份 姐姐占 3 份 妹妹占 10 份 通過(guò)畫(huà)線段圖 把這種復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得簡(jiǎn)單明了 將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化 可視化 解決問(wèn)題的策 略也躍然紙上 2 2 運(yùn)用圖像表示正反比例關(guān)系 運(yùn)用圖像表示正反比例關(guān)系 函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)重要數(shù)學(xué)模型 它刻劃的是變量與變量之間依賴關(guān)系的模 型 函數(shù)是聯(lián)結(jié)兩類(lèi)對(duì)象的橋梁 體現(xiàn)了對(duì)應(yīng)關(guān)系 函數(shù)有多種表示形式 解析式 表格 圖像 自然語(yǔ)言 這就是人們通常所說(shuō)的函數(shù)的多重表示 多重表示的方法不僅可以加強(qiáng) 概念的理解 也是解決問(wèn)題的重要策略 如下圖所示 圖 1 圖 2 用都采用了表格形式反應(yīng)兩類(lèi)對(duì)象之間的關(guān)系 圖 1 表示的 是總量一定 每杯盛水的數(shù)量與杯數(shù)之間的關(guān)系 學(xué)生能夠知道 每杯水的數(shù)量越多 杯 數(shù)越少 可以表示為 xy 600 圖 2 表示汽車(chē)行駛的速度與時(shí)間之間的關(guān)系 速度不變 時(shí)間越長(zhǎng) 行的路程越長(zhǎng) 可以表示為 y 90 x 圖圖 1 1 圖圖 2 2 圖像對(duì)于理解變量之間的關(guān)系具有十分重要的意義 函數(shù)關(guān)系用圖像來(lái)表示 它的直 觀性是其他表示方式所不能替代的 它是 看見(jiàn) 兩種量之間的關(guān)系和變化情況的途徑之 一 圖 3 圖 4 采用了圖像反應(yīng)兩類(lèi)對(duì)象之間的關(guān)系 圖 3 反應(yīng)了正方形周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)的 變化情況圖 隨著邊長(zhǎng)的增加 周長(zhǎng)也增加 而且它們之間總是 4 倍關(guān)系 圖像是一條直 線 圖 4 反應(yīng)的是面積一定時(shí) 長(zhǎng)與寬這兩類(lèi)對(duì)象之間的關(guān)系 長(zhǎng)增大 寬就減少 它們之間 的積是固定不變的 圖像是一條曲線 圖圖 3 3 圖圖 4 4 北京實(shí)驗(yàn)一小郭雯硯老師執(zhí)教的 成正比例的量 這節(jié)課上郭老師緊緊抓住了 圖 像 作為幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解正比例的重要素材 圖像反應(yīng)的是我們學(xué)校給住宿的同學(xué)買(mǎi)蘋(píng)果的情況 給出數(shù)據(jù)和具體的情境 師 給出數(shù)據(jù)后 你又能從圖中發(fā)現(xiàn)哪些信息 12 千克蘋(píng)果 48 元 你怎么看出 來(lái)的 生 1 從橫軸上找到 12 千克 向上找到直線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn) 再向左找到縱軸上的值 生 2 還能看出 40 元可以買(mǎi) 10 千克蘋(píng)果 生 3 還有每千克蘋(píng)果 4 元 師 學(xué)校又買(mǎi)來(lái)一些香蕉 哪個(gè)更貴呢 學(xué)生覺(jué)得兩幅圖像分開(kāi)畫(huà)不太容易觀察 利用電腦把兩個(gè)圖像合在一起 這時(shí) 學(xué)生都認(rèn)為香蕉更貴 表示香蕉購(gòu)買(mǎi)情況的這條直線更陡一些 師 為什么直線越陡 價(jià)格就越貴 生 1 同樣的數(shù)量 比如都是 6 千克 從橫軸上 6 千克的位置向上看 香蕉的黃線在 蘋(píng)果的上面 說(shuō)明香蕉的總價(jià)比蘋(píng)果的多 所以香蕉更貴 生 2 同樣的總價(jià) 比如都是 48 元 向右看可以買(mǎi) 10 千克香蕉或 12 千克蘋(píng)果 買(mǎi) 的蘋(píng)果比香蕉多 所以香蕉比蘋(píng)果貴 師 如果還買(mǎi)了一些橙子 我們已經(jīng)知道橙子的價(jià)格比蘋(píng)果貴 你覺(jué)得這條直線應(yīng)該 畫(huà)在哪里 生 3 畫(huà)在蘋(píng)果的上面 生 4 畫(huà)在香蕉的上面 生 5 畫(huà)在蘋(píng)果和香蕉之間 由此可以看出 圖像已經(jīng)成為了學(xué)生分析變化關(guān)系 理解變化關(guān)系 呈現(xiàn)變化關(guān)系的 重要工具了 的確 圖像讓抽象的變化關(guān)系變得直觀 變得讓學(xué)生有更容易有 感覺(jué) 了 這是學(xué)生第一次接觸函數(shù)圖像 在此之前他們甚至都沒(méi)有見(jiàn)過(guò)圖像 不知道圖像是什 么樣的 教師應(yīng)在這部分內(nèi)容的教學(xué)中 大膽地為學(xué)生設(shè)計(jì)猜想 探究 實(shí)驗(yàn)和驗(yàn)證的活 動(dòng) 讓學(xué)生有機(jī)會(huì)將已有的舊知識(shí)與新形式建立聯(lián)系 在圖像的觀察 繪制和分析中豐富 對(duì)變化的認(rèn)識(shí) 讓零散的連起來(lái) 讓靜止的動(dòng)起來(lái) 讓具體數(shù)變得抽象起來(lái) 這個(gè)過(guò)程就 是函數(shù)思想滲透的重要過(guò)程 3 3 利用統(tǒng)計(jì)圖直觀描述數(shù)據(jù)利用統(tǒng)計(jì)圖直觀描述數(shù)據(jù) 第二學(xué)段 標(biāo)準(zhǔn) 例 38 對(duì)全班同學(xué)的身高的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和分析 說(shuō)明 在上面的例子中 已經(jīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)全班同學(xué)的身高數(shù)據(jù)進(jìn)行初步分析 在這個(gè) 學(xué)段中 要求學(xué)生結(jié)合以前積累的身高數(shù)據(jù) 進(jìn)行進(jìn)一步的整理 然后進(jìn)行分析 整理的 目的是為了便于分析 例如 條形統(tǒng)計(jì)圖有利于直觀了解不同