山大附中必考題型——斐波那契數(shù)列習(xí)題.doc

斐波那契數(shù)列 計算題有一列數(shù):1,1,2,3,5,8,13,21,.此數(shù)列的第2010項除以8的余數(shù)是_.從第三項起每一項是前2項的和 前6個數(shù)除以8的余數(shù)分別是1，1，2，3，5，0， 后面的數(shù)除以8的余數(shù)則用前兩個余數(shù)相加得到 即依次是5，5，2，7，1，0，1，1，2，3，5，0， 則循環(huán)周期是1，1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0， 共12個數(shù)一個周期，因為201012余數(shù)是6 就相當(dāng)于是第6個數(shù)的余數(shù)，即為0有一列數(shù)1，2，3，5，8.從左往右第100個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)。要算式這些數(shù)其實是有規(guī)律的，除了前兩位1和2之后，就是按：奇、奇、偶這樣的順序排列的，所以有：（100-2）/3=98/3=32余2所以第100個數(shù)是奇數(shù)。有一列數(shù)1、2、3、5、8、13、21.這列數(shù)中第1001個數(shù)除以3，余數(shù)是幾？依次算余數(shù)，發(fā)現(xiàn)8個數(shù)一組，是12022101，所以第1001個余數(shù)是1！有1列數(shù)1，2，3，5，8，13，21，34，55.從第三個數(shù)開始每個數(shù)是前兩個數(shù)的和，那么在前1000個數(shù)有多少奇每3個數(shù)當(dāng)中有2個奇數(shù)， 10003=333余1 一共333組多1個 多的那個是第334組的第一個，也是奇數(shù) 奇數(shù)一共有：3332+1=667個有一列數(shù)1,2,3,5,8,13,21.從第三個數(shù)起,每個數(shù)都是前面兩個數(shù)的和,在前20005個數(shù)中,偶數(shù)有多少個?1,2,3,5,8,13,21,34,55.規(guī)律：奇 偶 奇 / 奇 偶 奇 / 奇 偶 奇/.200053=6668余1所以在前20005個數(shù)中,偶數(shù)有6668個有一列數(shù)1，1，2，3，5，8，13，21，34，從第三個數(shù)開始每一個數(shù)都是它前面兩個數(shù)的和，求這一列數(shù)的第2006個除以4后所得的余數(shù)？如果硬算,那是算不出來的,所以,我們要找規(guī)律.14余1,14余1,24余2,34余3,54余1,84余0,134余1,214余1,344余2,554余3,894余1,1444余0余數(shù)是1,1,2,3,1,0這樣循環(huán)的,把20066=334余2,那么,1,1,2,3,1,0中的第2個是1,答第2006個除以4后所得的余數(shù)是1有一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，21，34.從第3個數(shù)開始，每一個數(shù)都是它前面2個數(shù)的和。那么在前2008個數(shù)中，有幾個奇數(shù)1339個，順序是:奇,奇，偶。最后一個也是奇數(shù)。 列式是：200836691 6692+1=1339.有一列數(shù)：1、1、2、3、5、8、13，即第一、第二個數(shù)都是1，從第三個數(shù)起，每個數(shù)都是前面兩個數(shù)的和,求第2003個數(shù)除以3的余數(shù)。找規(guī)律，每個數(shù)除以3的余數(shù)分別是1、1、2、0、2、2、1、0、%1、1、2，可以看出循環(huán)節(jié)長度是8，,第2003個就是第3個，余數(shù)是21235813213455+89? 答案是231.3455891442333776109871597+2584 答案是6710斐波那契數(shù)列前a1+a2+a3+a4+a5.+a10=11a7下圖是一個樹形圖的生長過程，依據(jù)圖中所示的生長規(guī)律，第16行的實心圓點的個數(shù)是 610 （新兔子數(shù)=上月成年兔 成年兔數(shù)=上月成年兔+上月新生兔） 空心代表幼兔，實心代表成年兔。臺階問題：一個樓梯共有10級臺階，規(guī)定每步可以邁一級臺階或二級臺階，從地面到最上面一級臺階，一共可以有多少種不同的走法？1級臺階，有1種；2級臺階，有1,1；2。2種3級臺階，有1,1,1；1,2；2,1。3種4級臺階，有1,1，1,1；1，1,2；2,1,1；1,2,1；2,2。5種5級臺階，若第一次邁1級臺階，還剩4級，有幾種？ 若第一次邁2級臺階，還剩3級，有幾種？一個樓梯共有10級臺階，規(guī)定每步可以邁一級臺階或二級臺階，最多可以邁三級臺階。從地面到最上面一級臺階，一共可以有多少種不同的走法？（89）一只青蛙從寬5米的水田的一邊要跳往另一邊,它每次只能跳0.5米,或1米,這只青蛙跳過水田共有多少種不同的方法? （89種）轉(zhuǎn)化為臺階問題 （1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144）有一堆火柴共12根，如果規(guī)定每次取13根，那么取完這堆火柴共有多少種不同取法？ （927種）轉(zhuǎn)化為臺階問題（1,2,4,7,13,24,44,81,149,274,504,927）如下圖，小方和小張進行跳格子游戲，小方從A跳到B，每次可跳1步或2步；小張從C跳到D，每次可跳1步、2步或3步。試比較：誰跳到目標(biāo)處的不同跳法多？多幾種？（小方144，小張149）ACBD在斐波那契數(shù)列的前2010項中，有多少個偶數(shù)？末尾數(shù)循環(huán)問題：在斐波那契數(shù)列的前2010項中，有多少項的末位數(shù)等于2？（斐波那契數(shù)列的個位數(shù)：一個60步的循環(huán)：11235，83145，94370，77415，61785.38190，99875，27965，16730，33695，49325，72910，每個循環(huán)中有4個個位是2的數(shù)，分別是3個，第36個，第54個，第57個）需要記憶：斐波那契數(shù)列的個位數(shù)為60步的循環(huán)，最后兩位數(shù)是一個300步的循環(huán)，最后三位數(shù)是一個1500步的循環(huán)，最后四位數(shù)是一個15000步的循環(huán)，最后五位數(shù)是一個150000步的循環(huán)蜜蜂進蜂房問題：一次蜜蜂從蜂房A出發(fā)，想爬到、n號蜂房，只允許它自左向右（不許反方向倒走）。則它爬到各號蜂房的路線多少？斐氏推算：蜂從A爬到1號蜂房有一條路；爬到2號蜂房又2條路（A2和A12）爬到n號蜂房的路線可分成兩類：1.不經(jīng)過n-1號蜂房，而從n-2號蜂房直接爬進n號蜂房；2.經(jīng)n-1蜂房而爬進n號蜂房。 仿前例推算知：從A到n-2號蜂房路線有fn-1條，而從A到n-1號蜂房路線有fn-1，這樣蜂從A爬到n號蜂房的路線條數(shù)有：fn=fn-2+fn-1,(n2)這恰恰與生小兔問題的結(jié)論一致，1,2,3,5,8,13,21,34,55， 假定有一排蜂房，形狀如圖，一只蜜峰在左下角，由于受了點傷，只能爬行，不能飛，而且始終向右方（包括右上、右下）爬行，從一間蜂房爬到右邊相鄰的蜂房中去例如，蜜蜂爬到1號蜂房的爬法有：蜜蜂1號；蜜蜂0號1號共有2種不同的爬法，若蜜蜂從最初位置爬到4號蜂房共有n種不同爬法，則n等于_斐波那契數(shù)列與蜜蜂的家譜問題： 蜜蜂的“家譜”：蜜蜂的繁殖規(guī)律十分有趣。雄蜂只有母親，沒有父親，因為蜂后所產(chǎn)的卵，受精的孵化為雌蜂（即工蜂或蜂后），未受精的孵化為雄蜂。人們在追溯雄蜂的家譜時，發(fā)現(xiàn)1只雄蜂的第n代子孫的數(shù)目剛好就是Fibonacci數(shù)列的第n項fn。 0 | 1 1 | 2 | 3 5 斐波那契數(shù)列與三角形問題：現(xiàn)有長為144cm的鐵絲，要截成n小段(n2),每段的長度不小于1cm,如果其中任意三小段都不能拼成三角形，則n的最大值為10。分析：由于形成三角形的充要條件是任何兩邊之和大于第三邊，因此不構(gòu)成三角形的條件就是任意兩邊之和不超過最大邊。截成的鐵絲最小為1，因此可以放2個1，第三條線段就是2(為了使得n最大，因此要使剩下來的鐵絲盡可能長，因此每一條線段總是前面的相鄰2段之和)，依次為：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各數(shù)之和為143，與144相差1，因此可以取最后一段為56，這時n達(dá)到最大為10。有8個自然數(shù)（可以相同），其中從中任意選3個作為長度，均不能構(gòu)成三角形，那么這8個自然數(shù)的和的最小值54.大多數(shù)