中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)案例.doc

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)案例任意角的三角函數(shù)（第1課時）鉛山三中 俞旭安一、 情境描述第一部分情景引入問題1:如圖是一個摩天輪，假設(shè)它的中心離地面的高度為，它的直徑為2R，逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動一周需要360秒，若現(xiàn)在你坐在座艙中，從初始位置OA出發(fā)（如圖1所示），過了30秒后，你離地面的高度為多少？過了45秒呢？過了秒呢？【設(shè)計(jì)意圖】：高中學(xué)生已經(jīng)具有豐富的生活經(jīng)驗(yàn)和一定的科學(xué)知識，因此選擇感興趣的、與其生活實(shí)際密切相關(guān)的素材，此情景設(shè)計(jì)應(yīng)該有助于學(xué)生對知識的發(fā)生發(fā)展的理解。這個數(shù)學(xué)模型很好融合初中對三角函數(shù)的定義，也能放在直角坐標(biāo)系中，很好地將銳角三角函數(shù)的定義向任意角三角函數(shù)過渡，揭示函數(shù)的本質(zhì)。第二部分復(fù)習(xí)回顧銳角三角函數(shù)讓學(xué)生自主思考如何解決問題：“過了30秒后，你離地面的高度為多少？”【分析】：作圖如圖2很容易知道：從起始位置OA運(yùn)動30秒后到達(dá)P點(diǎn)位置，由題意知，作PH垂直地面交OA于M，又知MH，所以本問題轉(zhuǎn)變成求PH，再次轉(zhuǎn)變?yōu)榍驪M。要求PM就是回到初中所學(xué)的解直角三角形的問題即銳角的三角函數(shù)。問題2：銳角的正弦函數(shù)如何定義？【學(xué)生自主探究】：學(xué)生很容易得到所以學(xué)生很自然得到“過了30秒后，過了45秒,你離地面的高度為多少？”【教師總結(jié)】：在銳角的范圍中，第三部分引入新課問題3：請問的范圍呢？隨著時間的推移，你離地面的高度為多少？能不能猜想？【分析】：若想做到這一點(diǎn)，就得把銳角的正弦推廣到任意角的正弦。今天我們就要來學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)。問題4：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來表示銳角的正弦函數(shù)的定義嗎？能否也定義其它函數(shù)（余弦、正切）？【學(xué)生自主探究】：，問題5：改變終邊上的點(diǎn)的位置，這三個比值會改變嗎？為什么？【分析】：先由學(xué)生回答問題，教師再引導(dǎo)學(xué)生選幾個點(diǎn)，計(jì)算比值，獲得具體認(rèn)識，并由相似三角形的性質(zhì)證明?！驹O(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生深刻理解體會三角函數(shù)值不會隨著終邊上的點(diǎn)的位置的改變而改變，只與角有關(guān)系。通過摩天輪的演示，讓學(xué)生感受到第一象限角的正弦可以跟銳角正弦的定義一樣。問題6：大家根據(jù)第一象限角的正弦函數(shù)的定義，能否也給出第二象限角的正弦函數(shù)的定義呢？【學(xué)生自主探究】：學(xué)生通過上面已知知識得到學(xué)生定義好第二象限角后，讓學(xué)生自己算出摩天輪座艙在第150秒時，離地面的高度？通過摩天輪知道：由此得到：【設(shè)計(jì)意圖】：通過這個，讓學(xué)生檢驗(yàn)在第二象限角是否正確？問題7：在第三象限角或第四象限能成立嗎？【設(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生通過模型，檢驗(yàn)定義是否正確，從中讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)正、負(fù)符號的偏差。（可以讓學(xué)生取，從而得到，發(fā)現(xiàn)這與不相符，實(shí)際上是）【教師總結(jié)】：我們通過這個模型知道如何在某些范圍內(nèi)如何計(jì)算自已此時離地面的高度，用數(shù)學(xué)模型來表示，當(dāng)摩天輪轉(zhuǎn)動，角度的概念也不知不覺地推廣到任意角，對于任意角的正弦不能只是依賴于角所在的直角三角形中的對邊的長度比斜邊長度了，我更應(yīng)該用點(diǎn)P的橫坐標(biāo)來代替或，那么這樣就能夠很好表示出任意角的正弦函數(shù)的定義。第三部分給出任意角三角函數(shù)的定義如圖3,已知點(diǎn)為角終邊上的點(diǎn)，點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為R，則 （） （） （）【分析】：讓學(xué)生通過剛才的模型進(jìn)一步體驗(yàn)任意角三角函數(shù)的定義要點(diǎn)：點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)、點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離。問題8：當(dāng)摩天輪的半徑R1時，三角函數(shù)的定義會發(fā)生怎樣的變化。【學(xué)生自主探究】：，。教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對比，學(xué)生通過對比發(fā)現(xiàn)取到原點(diǎn)的距離為1的點(diǎn)可以使表達(dá)式簡化。教師進(jìn)一步給出單位圓的定義給出下列表格，讓學(xué)生自己補(bǔ)充完整。三角函數(shù)定義一：定義二：定義域及時歸納總結(jié)有利學(xué)生對所學(xué)知識的鞏固和掌握。第三部分例題講解例1.（課本P14例2）已知角終邊經(jīng)過點(diǎn)，求角的正弦、余弦和正切值?！痉治觥浚鹤寣W(xué)生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)賣，得用上面的定義二就可以得到答案。例2.（課本P14例1）求的正弦、余弦和正切值?！緦W(xué)生自主探究】：讓學(xué)生自己思考并獨(dú)立完成。然后與課本的解答相對比一下，發(fā)現(xiàn)本題的難點(diǎn)。【教師講解】：本題題意很簡單，但是如何入手卻是難點(diǎn)，關(guān)鍵是對本節(jié)課的三角函數(shù)定義的要點(diǎn)有沒有領(lǐng)會清楚（任意角三角函數(shù)的定義要點(diǎn)：點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)、點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離），因此本題的重點(diǎn)之處是如何利用單位圓找到這個點(diǎn)P，如圖4可以知道，又點(diǎn)P在第四象限，得到，這樣就可以很容易得到本題答案。不妨讓學(xué)生取，能否也得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，得到的三角函數(shù)值是否與單位圓的一樣。這樣可以讓學(xué)生更深刻體驗(yàn)三角函數(shù)的定義。第四部分鞏固練習(xí)練習(xí)1.例2變式求的正弦、余弦和正切值。練習(xí)2.問題9：通過觀察摩天輪的旋轉(zhuǎn)，三角函數(shù)的角的終邊所在象限不同，請說說三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的三角函數(shù)值的符號?獨(dú)立完成課本P15的“探究”?！驹O(shè)計(jì)意圖】：練習(xí)1、練習(xí)2的設(shè)計(jì)與例2、例3銜接，主要目的是幫助學(xué)生鞏固三角函數(shù)的本質(zhì)特征，引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā)利用坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征自主探究三角函數(shù)的有關(guān)問題的思想方法。并在特殊情形中體會數(shù)形結(jié)合的思想方法。第五部分小結(jié)與作業(yè)學(xué)生自我總結(jié)作業(yè)：P23習(xí)題1.2A組 1,2,3二、 教學(xué)反思和分析上述教學(xué)設(shè)計(jì)及具體教學(xué)實(shí)施過程我認(rèn)為有以下幾點(diǎn)意義：1. 教學(xué)設(shè)計(jì)緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，重點(diǎn)放在任意角的三角函數(shù)的理解上。背景創(chuàng)設(shè)是學(xué)生熟悉的摩天輪，認(rèn)知過程符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律具體到抽象，現(xiàn)象到本質(zhì)，特殊到一般，這樣有利學(xué)生的思考。2. 情景設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型很好地融合初中對三角函數(shù)的定義，也能很好地引入到直角坐標(biāo)系中，很好將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡，同時能夠揭示函數(shù)的本質(zhì)。3. 通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，讓學(xué)生在情境中活動，在活動中體驗(yàn)數(shù)學(xué)與自然和社會的聯(lián)系、新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，在體驗(yàn)中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的價值，它滲透了蘊(yùn)涵在知識中的思想方法和研究性學(xué)習(xí)的策略，使學(xué)生在理解數(shù)學(xué)的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。這和課程標(biāo)準(zhǔn)的理念是一致的。4. 標(biāo)準(zhǔn)把發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識作為其目標(biāo)之一, 在教學(xué)中不僅要突出知識的來龍去脈還要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)應(yīng)用實(shí)踐的空間, 促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)和實(shí)踐過程中形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,提高學(xué)生的直覺猜想、歸納抽象、數(shù)學(xué)地提出、分析、解決問題的能力, 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識,使其上升為一種數(shù)學(xué)意識,自覺地對客觀事物中蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式作出思考和判斷。在解答問題的過程中體