必修4教學(xué)問答.doc

數(shù)學(xué)地研究現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)范例高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修數(shù)學(xué)4（蘇教版）教學(xué)問答樊亞東（蘇州中學(xué)園區(qū)校 215021）問：怎樣理解和把握數(shù)學(xué)必修4全書的整體結(jié)構(gòu)？答：數(shù)學(xué)（必修4）共有三章內(nèi)容，第1章“三角函數(shù)”，第2章“平面向量”，第3章“三角恒等變換”。各章內(nèi)容均圍繞著對同一個(gè)背景進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的過程而逐層展開，教材結(jié)構(gòu)新穎獨(dú)特，整體互通，密切相連。全書的整體結(jié)構(gòu)如下：背景（圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動）三角函數(shù)點(diǎn)的表示(r, a)，(x, y)引導(dǎo)出建構(gòu)刻畫r, a, x, y之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型并研究和運(yùn)用這一模型平面向量點(diǎn)的表示(r, a)的延伸導(dǎo)出既有大小(r) 又有方向(a) 的“量”， 建構(gòu)刻畫這種“量”的數(shù)學(xué)模型并研究和運(yùn)用這一模型三角恒等變換圓周運(yùn)動的延伸，周期運(yùn)動的疊加問題經(jīng)過向量方法的解析而引導(dǎo)出兩角和與差的三角函數(shù)點(diǎn)的表示(r, a)，(r, l)，(x, y)問：能具體地闡述各章節(jié)是以怎樣的模式而“生成長大”？答：第1章三角函數(shù)，首先從自然界廣泛的周期性現(xiàn)象中聚焦到圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動，這是一個(gè)簡單又基本的例子，是一個(gè)待解剖的“小麻雀”。于是問題自然地提出：用什么樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫周期性運(yùn)動？這就明確了任務(wù)：建構(gòu)這樣的數(shù)學(xué)模型，同時(shí)也指明了教學(xué)起點(diǎn)：對周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)（分析）研究； 即建構(gòu)刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型的（思維）過程。本章定位為“展示建構(gòu)刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型的（思維）過程”，作為定位的具體體現(xiàn)，教材有如下鮮明的特點(diǎn)：特點(diǎn)1 采用以問題鏈為線索的呈現(xiàn)方式“生長知識”教材要展示“思維過程”，而思維是從問題開始的，思維的過程就是不斷地提出問題，解決問題的過程。教材采用了以問題鏈展開的呈現(xiàn)方式，在提出問題的環(huán)節(jié)，問題間的邏輯遞進(jìn)，以及問題對強(qiáng)化目標(biāo)（建構(gòu)刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型）的指向作用等方面進(jìn)行了精心設(shè)計(jì)。例如，教材P12在提出：“怎樣將銳角三角函數(shù)推廣到任意角？”之前，還安排了一個(gè)問題：“用怎樣的數(shù)學(xué)模型模型建立(x, y)與(r, a)之間的關(guān)系？”這就是考察銳角三角函數(shù)的“理由”。那么，怎么又想到要研究(x, y)與(r, a)間的關(guān)系的呢？這是因?yàn)橛?r, a)(x, y)都可以表示圓周上的點(diǎn)。那么，為什么要表示圓周上的點(diǎn)呢？這是為了刻畫圓周上點(diǎn)的運(yùn)動。那么為什么要刻畫圓周上點(diǎn)的運(yùn)動呢？這是因?yàn)樗侵芷诂F(xiàn)象的“一個(gè)簡單又基本的例子”。為什么要研究周期現(xiàn)象呢？因?yàn)槲覀兊娜蝿?wù)就是要“建構(gòu)刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型?！边@里的問題串，揭示了建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的思維過程，揭示了數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系。在問題串的指引下，師生可以真正主動地參與建構(gòu)數(shù)學(xué)的活動。特點(diǎn)2 以“數(shù)學(xué)地研究”的一般程序來組織、選取教學(xué)內(nèi)容（1）教材展開的主線如下：現(xiàn)實(shí)世界中的問題建立數(shù)學(xué)模型對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究利用數(shù)學(xué)模型解決問題（2）教材充分發(fā)揮學(xué)習(xí)“函數(shù)”一章的經(jīng)驗(yàn)在建構(gòu)“刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型”中的作用，在結(jié)構(gòu)上盡可能地與“函數(shù)”一章相同。（3）為了突出“建構(gòu)研究應(yīng)用”這一主線，教材對傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容做了“強(qiáng)干削技”的處理。如，抽出“三角變換”的內(nèi)容，另立一章；把6種三角函數(shù)減為3種，突出了基本的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)地研究問題的方法。特點(diǎn)3 突出周期性（1）本章的研究對象是周期性現(xiàn)象，建構(gòu)的是“刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型”，教材突出了周期性，它是教材的出發(fā)點(diǎn)和歸屬。（2）首先研究“三角函數(shù)的周期性”，為此專門列了一節(jié)。三角函數(shù)的周期性，不是由圖象得到的，而是從三角函數(shù)的定義，從終邊位置周而復(fù)始的出現(xiàn)，從誘導(dǎo)公式，即從以前的研究過程中得到的。相反，三角函數(shù)周期性的研究為后續(xù)圖象與性質(zhì)的研究起了鋪墊作用。（3）在正式研究三角函數(shù)的性質(zhì)之前，教科書就從總體上作出了判斷：“周而復(fù)始的基本性質(zhì)必然蘊(yùn)含在三角函數(shù)的性質(zhì)之中”，因?yàn)槿呛瘮?shù)就是我們?yōu)榭虅澲芷谶\(yùn)動而建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。這樣的判斷對不對呢？這就促使我們來研究三角函數(shù)具有哪些性質(zhì)？首先什么是“周而復(fù)始的基本性質(zhì)？“這樣就提出了本小節(jié)的問題：如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)的周期性？這樣的設(shè)計(jì)，不僅為三角函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)提供了問題背景，突出了本章“建立刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型”這一主題，而且充分地發(fā)揮了理性思維的作用。周期函數(shù)的定義是學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)。同學(xué)們可以從“周而復(fù)始的重復(fù)出現(xiàn)”出發(fā)，如“白天黑夜、白天黑夜”，一步步地使語言精確化，通過“每隔一定時(shí)間出現(xiàn)”、“自變量每增加或減少一個(gè)值函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)”等逐步抽象出函數(shù)周期性的定義。特點(diǎn)4 加強(qiáng)幾何直觀，強(qiáng)調(diào)形數(shù)結(jié)合的思想三角函數(shù)的基礎(chǔ)是幾何中的相似形和圓，而研究方法又主要是代數(shù)的，因此三角函數(shù)集中地體現(xiàn)了形數(shù)結(jié)合的思想，在代數(shù)和幾何之間建立了初步的聯(lián)系。在本章中，充分滲透了數(shù)形結(jié)合的思想一方面是以形助數(shù)，突出了幾何直觀對理解抽象數(shù)學(xué)概念的作用如在三角函數(shù)及其性質(zhì)的學(xué)習(xí)中，注意充分發(fā)揮單位圓的直觀作用，借助單位圓認(rèn)識任意角、任意角的三角函數(shù)，理解三角函數(shù)的周期性、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式以及三角函數(shù)的圖象；通過角終邊之間的對稱關(guān)系來研究誘導(dǎo)公式；借助三角函數(shù)的圖象理解三角函數(shù)在一個(gè)周期上的單調(diào)性、最大和最小值、圖象與軸的交點(diǎn)等性質(zhì)；另一方面以數(shù)助形，例如，應(yīng)用三角函數(shù)的周期性來簡化函數(shù)圖象的作圖值得一提的是誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)。首先提出問題：“由三角函數(shù)的定義可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等。除此以外還有一些角，它們的終邊具有某種特殊關(guān)系，如關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)對稱等，那么它們之間的三角函數(shù)值之間具有什么樣的關(guān)系呢？”導(dǎo)出公式的程序如下：問題終邊的的位置關(guān)系三角函數(shù)值之間的關(guān)系終邊的位置關(guān)系(對稱)誘導(dǎo)公式上述推導(dǎo)方式本意有三點(diǎn)：（1）問題是“從對三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究”這個(gè)主題中派生出來的，是對“模型”研究的一個(gè)有機(jī)的組成部分，而不是為了將任意角轉(zhuǎn)化為銳角以便查表求值才來討論誘導(dǎo)公式。（2）三角函數(shù)的值是由角的終邊的位置決定的，因此從終邊的位置關(guān)系提出問題就更為合理。（3）突出了形數(shù)結(jié)合思想。特別是教材中，在小結(jié)時(shí)，更是深刻地揭示了誘導(dǎo)公式的本質(zhì)：“誘導(dǎo)公式所揭示的是終邊有某種對稱關(guān)系的兩個(gè)角三角函數(shù)之間的關(guān)系。換句話說，誘導(dǎo)公式實(shí)質(zhì)是將終邊對稱的圖形關(guān)系”翻譯“成三角函數(shù)之間的代數(shù)關(guān)系。第2章平面向量仍然從圓周上一點(diǎn)的表示(r, a)出發(fā)，導(dǎo)出“既要考慮大?。╮），又要考慮方向（a）”；而自然界廣泛地存在著“既要考慮大小，又要考慮方向”的現(xiàn)象，如力、速度。接著提出問題：用什么樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫力、速度這樣的量；這就明確了任務(wù)：建構(gòu)這樣的數(shù)學(xué)模型，同時(shí)也指明了教學(xué)起點(diǎn)：對向量的數(shù)學(xué)（分析）研究。本章作為展示對向量進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的過程，即建構(gòu)刻畫“既有大小，又有方向”的量的數(shù)學(xué)模型的（思維）過程。有下列主要特點(diǎn)：特點(diǎn)1 主背景源于第一章。另外，本章特別注意從豐富的物理背景和幾何背景中引人向量概念。章頭圖中矯健的銀燕連同它身后的航跡，像利箭直插天穹。它使人聯(lián)想到下面的問題：怎樣表示運(yùn)動物體的位移和速度呢？于是建構(gòu)向量的思維活動就此展開了。引言首先說明了本章的研究課題是第1章研究內(nèi)容的拓展。三角函數(shù)可以看成是圓周上一點(diǎn)P繞圓周運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型。而向量則是為了刻畫更一般的運(yùn)動而建立的數(shù)學(xué)模型。這時(shí)，只有同時(shí)考慮點(diǎn)P的方向和大小才能確定點(diǎn)P的位置。接著引言又指出，在生活中，既有大小又有方向的量是很多的，如位移、速度、力等等都是。這樣就從知識結(jié)構(gòu)和現(xiàn)實(shí)生活兩個(gè)方面為向量的研究提供了廣闊的背景。在此基礎(chǔ)上，引言提出了問題：用什么樣的數(shù)學(xué)模型來刻劃位移、速度、力這樣的量？這個(gè)數(shù)學(xué)模型有什么性質(zhì)與應(yīng)用？這就是本章的中心問題，也是本章的知識增長點(diǎn)。特點(diǎn)2 采用以問題鏈為線索的呈現(xiàn)方式例如，“用什么樣的數(shù)學(xué)模型來刻劃位移，速度、力這樣的量？”，“這樣的數(shù)學(xué)模型有什么性質(zhì)與應(yīng)用？”（教材P56），“這里的向量，之間什么關(guān)系？”（教材P61）。特點(diǎn)3 按照數(shù)學(xué)模型研究的一般程序展開教材（1）和函數(shù)、三角函數(shù)類似，本章也是對一種數(shù)學(xué)模型的研究。教材也是按照對數(shù)學(xué)模型研究的一般程序即“建構(gòu)模型研究模型應(yīng)用模型”的順序展開的。這樣的順序不僅符合向量知識的發(fā)展過程，而且可以喚起學(xué)生在函數(shù)、三角函數(shù)學(xué)習(xí)中獲得的經(jīng)驗(yàn)，在助于發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主動權(quán)。（2）本章首先現(xiàn)實(shí)根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，從實(shí)際背景中抽象出向量的概念（數(shù)學(xué)模型），然后用數(shù)學(xué)的方法研究向量及其運(yùn)算的性質(zhì)，最后再運(yùn)用數(shù)學(xué)模型去解決實(shí)際問題這樣處理體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程，突出了數(shù)學(xué)的來龍去脈，有助于同學(xué)們理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，形成對數(shù)學(xué)完整的認(rèn)識，達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)新思維和理性思維的目的，同時(shí)也有助于數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的發(fā)展特點(diǎn)4 承前啟后，在延伸第一章的同時(shí)，為第三章作好鋪墊例如，教材P83：“設(shè)向量a = (cos75, sin75)，b = (cos15, sin15)，試分別計(jì)算a b = | a | cosq及a b = x1x2 + y1y2比較兩次計(jì)算的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么？”在第1章中，我們邁出了對周期現(xiàn)象研究的第一步：建立了一種描述和刻劃周期現(xiàn)象的重要的數(shù)學(xué)模型，并初步探討了它的性質(zhì)。而在第3章中，我們又將以向量為工具來進(jìn)一步探討三角函數(shù)的性質(zhì)。因此，從整體上看，向量的學(xué)習(xí)應(yīng)該放在對周期性現(xiàn)象的研究這一大背景下進(jìn)行。這樣可以更好地體現(xiàn)向量這工具價(jià)值。第3章三角恒等變換又回到第一章的主背景：圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動。并提出引向縱深的另一個(gè)基本基本問題：周期運(yùn)動的疊加；經(jīng)過向量方法的解析引出本章的主問題：cos(a - b) 能否用a的三角函數(shù)和b的三角函數(shù)來表示？這就明確了任務(wù)：導(dǎo)出用單角的三角函數(shù)來表示和（差）角的三角函數(shù)的公式；進(jìn)而展示“用演繹方法，建立數(shù)學(xué)知識體系的一個(gè)范例”。本章的教學(xué)起點(diǎn)是：“對刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型的進(jìn)一步的研究”。與其他教材相比，這一點(diǎn)很不一樣。本章的主要特點(diǎn)如下：特點(diǎn)1 主背景仍源于第一章。從章頭圖中我們又看到了大海浩瀚的大海中朵朵卷起的浪花，潮漲潮落。這暗示著本章和第1章三角函數(shù)的聯(lián)系。事實(shí)上，本章討論的主題是三角函數(shù)的運(yùn)算，它是笫1章的延伸和發(fā)展。循著第1章的軌跡，在引言中，提出了“周期運(yùn)動的疊加”的問題。（兩個(gè)簡諧運(yùn)動疊加后是否還是簡諧運(yùn)動？）接著，課本以向量為工具對一個(gè)特例進(jìn)行了分析，提出了一個(gè)具體的問題：sin x + cos x能夠恒等變形為Asin(wx + j)的形式嗎？這不僅引出了用向量方法推導(dǎo)cos(a - b)公式的“預(yù)演”，而且由此提出了本節(jié)的研究課題：cos(a - b)能否用a的三角函數(shù)與b的三角函數(shù)來表示？這樣就抓住了本章知識的增長點(diǎn)，從此展開了探索活動。這樣的安排，就為三角變換的學(xué)習(xí)提供了一個(gè)源頭，使它不僅僅是一種抽象的形式變換，而且成為“對周期性現(xiàn)象建立數(shù)學(xué)模型”（這正是本教學(xué)模塊的這樣一個(gè)大課題）的研究中的重要組成部分。這就把演繹的知識結(jié)構(gòu)放在“對周期性現(xiàn)象作數(shù)學(xué)研究”的大背景下展開，使得全書三章內(nèi)容密切相連，渾然一體。Ca - bCa + bSa - bSa + bC2aT2aTa - bTa + bS2a在這個(gè)引言中，突出了向量的工具作用，既緊密地聯(lián)系著第二章，又為用向量方法推導(dǎo)兩角差的余弦公式做好鋪墊。特點(diǎn)2 按照三角變換公式之間的邏輯聯(lián)系展開這是一個(gè)邏輯的演繹的體系，為了突出三角函數(shù)的主干內(nèi)容，特別是突出三角函數(shù)作為描述周期變化的數(shù)學(xué)模型這一本質(zhì)，這個(gè)演繹的體系是放在對周期現(xiàn)象進(jìn)行研究的大背景下建立的。首先，在引言中就從周期運(yùn)動合成的角度提出三角變換的課題，在討論了和差角公式以后，課本又通過“鏈接”，給出了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)疊加的問題的結(jié)論。本章就構(gòu)成了一個(gè)相對完整的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用的過程。這樣有助于同學(xué)們從總體上理解三角變換。特點(diǎn)3 刪繁就簡，強(qiáng)干削枝在過去的課本中，往往把三角變換單純地視為基本的技能訓(xùn)練，強(qiáng)調(diào)反復(fù)的練習(xí)和操作，強(qiáng)調(diào)三角變換的具體方法和技巧，造成了公式頭緒多，練習(xí)習(xí)題難，技巧方法刁的現(xiàn)象。和過去相比，本章突出公式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過程，重視在三角變換中的思維活動和過程，以及指導(dǎo)這些活動的思想方法。同時(shí)降低了對三角變換的要求。特別是不再要求用積化和差、和差化積、半角公式等作復(fù)雜的恒等變形，而把推導(dǎo)積化和差、和差化積、半角公式作為三角恒等變換的基本訓(xùn)練，避免任意加大三角變換的難度，防止了在三角變換中深挖洞的現(xiàn)象。這些和過去的教材是有明顯區(qū)別的。問：教師在具體的教學(xué)過程中應(yīng)注意哪些問題？答：（1）要突出數(shù)學(xué)模型思想。充分利用章引言提供的情境，利用學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，自覺地參與建構(gòu)刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型的活動，在學(xué)習(xí)之初就建立起從數(shù)學(xué)模型的角度看三角函數(shù)的意識。（2）以問題為中心。以“問題串”為載體，充分發(fā)揮理性思維在建構(gòu)數(shù)學(xué)模型中的作用。在感悟和理解通過問題串，揭示建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的思維過程，揭示數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系的同時(shí)，學(xué)會提出問題，注重學(xué)會發(fā)現(xiàn)。例如，余弦的差角公式的推導(dǎo)是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，它不僅是推導(dǎo)正弦的和（差）角公式、正切的和（差）角公式以及倍角公式的基礎(chǔ)，而且其推導(dǎo)過程本身就具有重要的教育價(jià)值。它是怎么被發(fā)現(xiàn)的？等式cos x + sin x = cos(x - )有著怎樣的多維景觀？（3）加強(qiáng)相關(guān)知識的聯(lián)系，注意章節(jié)之間的鋪墊與呼應(yīng)，形與數(shù)的結(jié)合。發(fā)揮單位圓、三角函數(shù)線、圖象的直觀作用。（4）運(yùn)用和深化函數(shù)思想方法。三角函數(shù)是高中階段系統(tǒng)學(xué)習(xí)的又一個(gè)基本初等函數(shù)，應(yīng)當(dāng)注意運(yùn)用數(shù)學(xué)（必修l）中學(xué)到的研究函數(shù)的方法為指導(dǎo)來學(xué)習(xí)本章知識，即在函數(shù)觀點(diǎn)的指導(dǎo)下，學(xué)習(xí)三角函數(shù)。例如：用集合與對應(yīng)的函數(shù)觀點(diǎn)看三角函數(shù)，這是一種“多對一”的函數(shù)；用函數(shù)研究中的基本問題（對應(yīng)關(guān)系、定義域、值域、