解二元一次方程組.docx

8.1二元一次方程組教材分析本節(jié)課是在學生對一元一次方程已有認識的基礎(chǔ)上，學習二元一次方程與二元一次方程組的相關(guān)概念.由于求多個未知數(shù)的問題是普遍存在的，而方程組是解決這些問題的有力工具，因此有必要研究未知數(shù)多于一個的方程或方程組。本節(jié)教學的重點是使學生了解二元一次方程、二元一次方程組以及二元一次方程組的解的含義，會檢驗一對數(shù)值是否是某個二元一次方程組的解為使學生順利掌握新知識，教學中利用實際問題背景，將抽象概念具體化，類比一元一次方程的相關(guān)概念學習，重點研究二元一次方程的定義及其解的意義、求法，這樣處理有利于學生掌握二元一次方程組的相關(guān)概念.本節(jié)教學難點是求二元一次方程的特殊解，如正整數(shù)解，非負整數(shù)解等由于二元一次方程有無數(shù)個解，而實際問題中常常需要求滿足條件的部分解.為此，需要在理解二元一次方程解的定義的基礎(chǔ)上，結(jié)合具體問題引導學生探索“不重不漏”的求法.找到解決問題的通法后，再結(jié)合題目特點、個人的經(jīng)驗尋找更簡捷的方法，努力做到：嘗試次數(shù)少，方程的解丟不了.本課的教學首先從學生熟悉的實際問題入手，引導學生直接用x和y表示兩個未知數(shù)，并進一步表示問題中的等量關(guān)系，列出方程。然后，以這兩個具體方程為例，讓學生類比一元一次方程的特征分析歸納二元一次方程的特征，得出二元一次方程的定義，并進一步探究二元一次方程的解。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合實例說明二元一次方程組及其解的含義，并在應(yīng)用中逐步加深對概念的理解。【課時分配】1課時【教學重點與難點】教學重點：二元一次方程、二元一次方程組、二元一次方程組的解的意義，以及檢驗一對數(shù)值是不是某個二元一次方程組的解教學難點：求二元一次方程的特殊解【教學目標】1. 能說出二元一次方程、二元一次方程組和它的解的概念，會檢驗所給的一組未知數(shù)的值是否是二元一次方程、二元一次方程組的解2. 通過實例認識二元一次方程和二元一次方程組都是反映數(shù)量關(guān)系的重要數(shù)學模型，能設(shè)兩個未知數(shù)并列方程組表示實際問題中的兩種相關(guān)的等量關(guān)系3通過對本課知識的探究與應(yīng)用，提高學生的邏輯思維能力和分析、解決問題的能力。設(shè)計方案（一）【教學方法】以學生熟悉的問題為背景設(shè)計問題，引領(lǐng)學生積極思考、認真探究，在探索問題解決途徑的過程中類比學習新概念.問題的解決采取以學生獨立思考、相互交流為主，教師講解點撥、歸納提煉為輔的方式進行，使教學過程成為在教師指導下學生自主探索的學習活動過程.【教學過程】一、創(chuàng)設(shè)情境 提出問題（設(shè)計說明：從學生熟悉的文具、藍球比賽中提出問題，引導學生思考，自然進入新課）問題：1.文具盒中有紅、黃兩種顏色的彩筆共10支，請猜一猜紅色、黃色彩筆各多少支?2. 籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負.在一次比賽中， 甲隊共參加了22場比賽，你知道在這次比賽中甲隊勝、負場數(shù)分別是多少嗎?先放開讓學生說，接著提出下面的問題：思考：（1）第1題中，若用x,y分別表示紅色彩筆、黃色彩筆的支數(shù)，則可以得到怎樣的一個方程? xy=10第2題中，若用x,y分別表示甲隊在全部比賽中的勝、負場數(shù)，則可以得到怎樣的一個方程?xy=22（2）你得到的兩個方程是一元一次方程嗎?與一元一次方程比較有什么不同?如果讓你給它起名字，你認為應(yīng)該叫它什么合適?（教學說明：學生對這兩個問題的猜想會有多種答案，教師盡量讓學生多說，為下一步理解二元二次方程解的不唯一性做準備，思考中的兩個問題引導學生初步體會二元一次方程的特點）二、探索新知 解決問題1.二元一次方程的概念（設(shè)計說明：由實際問題引導學生開始對二元一次方程概念的探索。學生自己歸納總結(jié)出方程的特點之后給出二元一次方程的概念，比直接定義印象會更深刻，有助于學生對概念的理解）學生給方程xy=10,xy=22命名之后，類比一元一次方程進一步討論下面的問題：問題1：請你寫出幾個二元一次方程，和同桌交流，判斷寫出的方程是否符合要求問題2：請找出二元一次方程的特點含有兩個未知數(shù) 含未知數(shù)項的次數(shù)是一次 是整式方程問題3：二元一次方程的定義(類比一元一次方程的定義由學生歸納得出)含有兩個未知數(shù)且含未知數(shù)項的最高次數(shù)都是1的方程叫二元一次方程練一練：請判斷下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是?并說明理由2x5y=10 2xyz=1 y=20 （4） x22x1=0 2a3b=5 2x10xy =0解析：（2）中含有三個未知數(shù)，（3）中含有分式，（4）中 x2的次數(shù)是2，（5）中10xy的次數(shù)是2，所以，（2）、（3）、（4）、（6）都不是二元一次方程，(1)、(5)是二元一次方程（教學說明：本環(huán)節(jié)設(shè)計的問題引導學生用類比法分析二元一次方程的特征，逐步得出二元一次方程的定義，并在應(yīng)用中進一步鞏固對定義的理解）2. 二元一次方程的解（設(shè)計說明：用類比的方法學習二元一次方程解的意義，在求解的過程中體會二元一次方程解的不唯一性，在正確理解的基礎(chǔ)上歸納出解決問題的一般方法）問題1 ：滿足方程xy=22且符合問題實際意義的x,y的值有哪些?把它們填入表中xy問題2：二元一次方程的解結(jié)合問題1中的表格信息，類比一元一次方程解的意義歸納出二元一次方程的解的意義：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.同時指出：(1)一元一次方程只有一個解，而二元一次方程有無限多解（本題中需要考慮x,y的實際意義），其中一個未知數(shù)（x或y）每取一個值，另一個未知數(shù)（x或y）就有惟一的值與它相對應(yīng) x=a(2) 二元一次方程的每一個解是一對數(shù)值，記為 y=b（教學說明：用填表的方式學生容易找到x,y的值，然后結(jié)合表格數(shù)據(jù)得出二元一次方程解的意義，并進一步體會二元一次方程解的不唯一性）3.二元一次方程組（設(shè)計說明：利用兩個問題進一步熟悉如何列二元一次方程，如何找二元一次方程的解，同時為下面探究方程組的解做好準備，在此基礎(chǔ)上利用問題3學習二元一次方程組的意義，學生很容易理解）問題1:：籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得2分,負一場得1. 已知甲隊在一次比賽中共得40分，若用x,y分別表示甲隊在全部比賽中的勝負場數(shù),可以得出怎樣的方程?2xy=40問題2: 請將方程2xy=40的解填入表格中xy問題3：籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得2分.負一場得1分，某隊為了爭取較好的名次，想在全部22場比賽中得到40分，那么這個隊勝負場數(shù)分別是多少?思考：（1）設(shè)勝的場數(shù)是x，負的場數(shù)是y，你能用方程把題目中的相等關(guān)系表示出來嗎?xy=22 2xy=40（2）在上面的方程xy=22和2xy=40中,x的含義相同嗎?y呢?x,y的含義分別相同.因而x,y必須同時滿足方程xy=22和2xy=40.把它們聯(lián)立起來,得:xy=222xy=40像這樣，把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.說明：方程組各方程中，同一字母必須代表同一數(shù)量，才能合在一起練習 已知x、y都是未知數(shù)，判別下列方程組是否為二元一次方程組?解析：是二元一次方程組，中第一個方程是二元二次方程，中的兩個方程共含有3個未知數(shù)，所以不是二元一次方程組（教學說明：學生獨立思考列出方程，找出方程的解，結(jié)合實際問題逐步體會二元一次方程組的概念，做練習時不僅要得出結(jié)論還要說明理由，借此進一步加深對概念的理解）4.二元一次方程組的解（設(shè)計說明：結(jié)合實例體會二元一次方程組解的意義的，表示方法）問題1: 請找出同時滿足方程xy=22與2xy=40的x,y的值.指導學生利用前面的表格找出x,y的值，并進一步說明這一組數(shù)值就是方程組的解問題2：二元一次方程組的解二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解xy62x31y11結(jié)合實例說明二元一次方程組的解的含義、表示方法，并利用下面的問題歸納找方程組的解的步驟.練習： 方程組 的解是 （ ）x6 x10 x10y9 y6 y1（教學說明：利用前面的兩個表格，學生能很快解決問題，此時教師進一步引導學生得出二元一次方程組的解的定義并歸納找方程組解的步驟，做練習時要讓學生說明自己的具體做法，比較得出那種做法更好）三、鞏固訓練 熟練技能（設(shè)計說明：通過形式不同的練習，從不同的角度幫助學生進一步加深對相關(guān)觀念的理解，形成初步技能。）1. 若方程有一解則的值等于（ ）C答案：2. （2007湖南株州）二元一次方程組的解是：（ ）A.B.C.D.答案：A3. （1）方程（a2）x (b-1)y = 3是二元一次方程，試求a、b的取值范圍.(2)若方程x2 m1 5y3n 2= 7是二元一次方程.求m、n的值答案：（1）a-2,b1 (2)m1,n14. 買支鉛筆和5本練習本，其中鉛筆每支x元，練習本每本y元，共需用4.9元列出關(guān)于x,y的二元一次方程為_；若再買同樣的鉛筆支和同樣的練習本本，價錢是2.2元，列出關(guān)于x,y的二元一次方程為_；若鉛筆每支元，則練習本每本_元答案：12x5y=4.9 6x2y=2.2 0.55. 列出二元一次方程組，并根據(jù)問題的實際意義，找出問題的解.（1）香蕉的售價為5元千克，蘋果的售價為3元千克，小華共買了香蕉和蘋果9千克，付款33元，香蕉和蘋果各買了多少千克?解：設(shè)香蕉買了x千克，蘋果買了y千克，根據(jù)題意得xy=9 x=35x3y=33 解得 y=6答：香蕉買了3千克，蘋果買了6千克（2）教材94頁練習四、反思總結(jié) 情意發(fā)展（設(shè)計說明：圍繞三個問題，師生以談話交流的形式，共同總結(jié)本節(jié)課的學習收獲。）問題1：本節(jié)課你學習了什么?問題2：本節(jié)課你有哪些收獲?問題3：通過今天的學習，你想進一步探究的問題是什么?（教學說明：通過對三個問題的思考引導學生回顧自己的學習歷程，梳理主要知識、方法，構(gòu)建知識體系）五、課堂小結(jié)1.本課主要內(nèi)容：二元一次方程、二元一次方程組、二元一次方程組的解，以及檢驗一對數(shù)值是不是某個二元一次方程組的解2. 主要學習方法：類比法 類比一元一次方程的知識學習二元一次方程的有關(guān)概念，在與二元一次方程解的比較中理解二元一次方程組的解的意義.3.學習本課需要注意的幾個問題（1）二元一次方程必須同時符合三個條件:這個方程中有且只有兩個未知數(shù);含求知數(shù)項的次數(shù)是1；對未知數(shù)來說，構(gòu)成方程的代數(shù)式是整式。（2）與一元一次方程相比，二元一次方程的解是成對出現(xiàn)的且有無數(shù)個解.六、布置作業(yè)1、必做題：課本95頁習題8.1中的1、2、3；2.選做題：習題8.1 中的4，5題（教學說明：及時作業(yè)是鞏固課堂學習知識的重要環(huán)節(jié)，練習題主要訓練找方程（組）的解，分析數(shù)量關(guān)系列二元一次方程組）七、拓展練習1.方程xa 1(a-2)y = 2是二元一次方程，試求a的值答案：a=-22.求二元一次方程3x2y19的正整數(shù)解答案： x=1 x=3 x=5y=8 y=5 y=23. （2007廣州）以為解的二元一次方程組是（ ）ABCD答案：C4 .（2007山東淄博）若方程組的解是則方程組的解是（ ）（A）（B）（C）（D）答案：A5. 甲乙兩個牧羊人放牧歸來，甲說：“把你的羊給我3只，那么我的羊就是你的羊的2倍了.”乙說：“不，還是把你的羊分3只給我，那么我們的羊就一樣多了.”你知道他們原來各有幾只羊?答案：設(shè)甲原來有x只羊，乙原來有y只羊，根據(jù)題意得x3=2(y-3) x=21x-3=y3 解得 y=15答：甲原來有21只羊，乙原來有15只羊（設(shè)計說明：利用上述題目，一方面提高利用概念分析解答問題的能力，同時進一步體會涉及多個未知量的問題是廣泛存在的，體會學習二元一次方程組的必要性，激發(fā)學生探究二元一次方程組解法的積極性）【評價與反思】1.概念課教學模式：本節(jié)課的主要內(nèi)容是二元一次方程（組）的有關(guān)概念，設(shè)計時按照“實例研究，初步體會-比較分析，把握實質(zhì)-歸納概括，形成定義-應(yīng)用提高，發(fā)展能力”的思路進行，讓學生體會到是因為“需要”而學習新知識，逐步滲透應(yīng)用意識.2.類比法的運用：二元一次方程及其解的意義類比一元一次方程進行學習，一方面加深學生對方程中“元”與“次”的理解，另一方面易于理清一元一次方程與二元一次方程“解”的相關(guān)知識的異同，同時為二元一次方程組相關(guān)概念的學習掃清障礙。3.分層遞進，循環(huán)上升：學生對知識的理解，教師對學生的要求，都是由低到高，逐步提升。題目設(shè)計從單一知識點的直接運用，逐漸到多個知識點的靈活運用，給學生設(shè)置必要的臺階，使其一步步向前，最終達到教學目標。設(shè)計者：任秀英設(shè)計方案二【教學方法】本節(jié)課采取“動（探究）看（觀察）議（交流）講（點撥）”結(jié)合法，并且問題貫穿教學活動過程，合作探究共同解決問題?！窘虒W活動過程】一創(chuàng)設(shè)情景，導入新課（設(shè)計說明：由學生熟悉的問題引入，能激發(fā)學生的學習興趣，提高學習的積極性，同時，也為本節(jié)課的引入作好鋪墊）問題1：教師規(guī)定學生座位中的行和列，讓學生自己座位所在的行、列。問題2：請列與行的和為6的同學站起來?師板書：列行=6問題3：請列與行的差為2的同學站起來?師板書：列-行=2問題4：如果用x表示列，用y表示行，上述式子怎樣表示呢?師板書：xy=6x-y=2問題5：請觀察兩個方程的共同特點，給他們起一個名字。學生：二元一次方程，這就是我們學習的內(nèi)容，由此導入新課。（教學說明：設(shè)計學生熟悉的座位中的行和列作為問題情景，讓學生由生活中的問題抽象出二元一次方程，使學生感到數(shù)學就在身邊，同時為本節(jié)課的學習做了鋪墊）二探索新知：1二元一次方程和二元一次方程解的概念的探索：（設(shè)計說明：讓學生經(jīng)歷命名、舉例和下定義的過程，深層次體會二元一次方程和二元一次方程解的概念）問題1：你能舉幾個二元一次方程的例子嗎?問題2：什么叫二元一次方程呢?學生回答：含有兩個未知數(shù)，且未知項次數(shù)是1的方程，叫做二元一次方程問題3：你能找到滿足xy=6的未知數(shù)x、y的值嗎?填表：xy學生填表，并從中總結(jié)二元一次方程的解的概念。學生：滿足二元一次方程左、右兩邊相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解問題4：二元一次方程與一元一次方程有什么區(qū)別?（教學說明：先讓學生命名、舉例、總結(jié)概念的過程，通過填表、觀察、類比、討論、歸納體會二元一次方程的解的概念，讓學生體會到二元一次方程的解有無數(shù)個）2二元一次方程組的解概念的探索：（設(shè)計說明：讓學生經(jīng)歷二元一次方程組的解的探索過程）問題1：發(fā)動全班同學尋找同時滿足列與行和為6 （xy=6），列與行的差為2（y-x=2）的同學。順勢引導，得出二元一次方程組的概念。問題2：（1）你能給它取個名字嗎?（2）什么叫二元一次方程組?學生定義：由兩個二元一次方程方程組成的方程組叫二元一次方程組。問題3：（1）請其他同學驗證自己的坐標是否同時滿足兩個方程。（2）請畫圖表示上述方程的解與的解的關(guān)系。由此得到二元一次方程組的解的概念學生：二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。（教學說明：先從學生熟悉的列和行入手，尋找符合xy=6和y-x=2的學生，從而體會二元一次方程組（解）的意義，深層次體會二元一次方程組的解就是兩個方程的公共解的含義。三、典例分析，深化應(yīng)用（設(shè)計說明：通過典型例題，深刻體會概念的含義）例1： xy=9 x-y=5判斷下列各對數(shù)值中, 不是的解? 不是的解? 是的解?x=4 x=1 x=6 x=0y=-1 y=8 y=1 y=9例2： xy=152xy=20的解是Ax=5B. y=10C. x=5或y=10D. x=7y=8（教學說明：從正面的角度，從解的意義和形式兩方面強化對方程組的解的理解）四 、鞏固訓練 熟練技能（設(shè)計說明：通過形式不同的練習，從不同的角度幫助學生進一步加深角的認識，形成初步技能。）1.把面值為10元的人民幣換成1元或 5元人民幣有 種換法。2.寫出一個以 X=5 為解的方程組y=43.某籃球賽中，勝一場得3分，負一場得1分。咱們班共勝x場,負y場（無平局）.共得 20分。且勝場數(shù)是負場數(shù)的2倍。你能算出勝負場數(shù)各是多少嗎?(列出方程組)（教學說明：第1題換零錢：引導