“換元法”在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.doc

“換元法”在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用大理學(xué)院JOURNALOFDALIUNIVERSHY第1O卷第4期201lff4lVo1.10No.4Apr.2011“換元法”在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用和洪云(麗江師范高等?？茖W(xué)校數(shù)理系,云南麗江674100)摘要換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中較為重要也是常見的方法,對局部換元,三角換元,均值換元等進(jìn)行深入探究是教學(xué)中的一個重要環(huán)節(jié).巧妙地運(yùn)用換元法將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化和化歸,使問題的解答更加簡潔明了.關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)教育;數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)換元法中圖分類號0122.2文獻(xiàn)標(biāo)志碼A文章編號16722345(2011)04001704ApplicationofSubstitutionMethodinMathematicalProblemSolvingHEHongyun(DepartmentofMathematicsandPhysics,LijiangTeachersCollege,Lijiang,Yunnan6741O0,China)AbstractSubstitutionmethodisfrequentlyusedtosolvemathematicalproblemsinmiddleschoolteaching.Researchesintopartialsubstitution,triangularsubstitutionandmeansubstitutionareimportantpartsofmathematicsteaching.Byusingsubstitutionmethods,problemscouldbetransformedandsolutionscouldbecomeclear.Keywordsmathematicsteaching;mathematicalthinking;substitutionmethod美國著名數(shù)學(xué)教育家G.波利亞在怎樣解題中說過:”數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力”,”掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題”,而”數(shù)學(xué)解題就是命題的連續(xù)變換”.數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識相比較,處于較高的地位和層次.數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)內(nèi)容,可以用文字和符號來記錄和描述,而數(shù)學(xué)思想方法則是一種數(shù)學(xué)意識,屬于思維的范疇.對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識,處理和解決,學(xué)習(xí)掌握數(shù)學(xué)思想方法,是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本.數(shù)學(xué)新課程”標(biāo)準(zhǔn)”中明確指出,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的首要目標(biāo)是”獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能,理解基本的數(shù)學(xué)概念,數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì),了解概念,結(jié)論等產(chǎn)生的背景,應(yīng)用,體會其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法,以及它們在后續(xù)學(xué)習(xí)中的作用.通過不同形式的自主學(xué)習(xí),探究活動,體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程.”數(shù)學(xué)思想中,數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn),是數(shù)學(xué)的行為,具有模式化與可操作性的特征,是數(shù)學(xué)解題的具體手段b.本文將結(jié)合實(shí)例,對數(shù)學(xué)基本方法中的”換元法”在數(shù)學(xué)解題中的地位和作用作一探討評析.l換元法的概念一般而言,在數(shù)學(xué)問題中,把某個式子看成一個整體,用一個變量去代替它,從而使問題得到簡化,這叫換元法.換元的實(shí)質(zhì)就是”轉(zhuǎn)化與化歸”的數(shù)學(xué)思想,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化,復(fù)雜問題簡單化,獲得問題的解決.換元法又稱輔助元素法,變量代換法,其特點(diǎn)是通過引進(jìn)新的變量,可以把分散的條件聯(lián)系起來,隱含的條件顯露出來,把條件與結(jié)論聯(lián)系起來,把陌生的形式轉(zhuǎn)變?yōu)槭煜さ男问?把復(fù)雜的計(jì)算和推證得以簡化.換元法可以化高次為低次,化分式為整式,化無理式為有理式,化超越式為代數(shù)式,因此在研究方程,不等式,函數(shù),數(shù)列,三角,微積分等問題中有著廣泛的應(yīng)用.2換元的基本方法換元的基本方法有:局部換元,三角換元,均值換元等總第88期自然科學(xué)大理學(xué)院2.1局部換元又稱整體換元,是在已知或者未知中,某個代數(shù)式幾次出現(xiàn),而用一個字母來代替它從而簡化問題,有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn).例如解不等式:4+2一2>10,先變形為設(shè)2=(f>0),而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題.2.2三角換元應(yīng)用于去根號,或者變換為三角形式易求時,主要利用已知代數(shù)式中與三角知識中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元.如求函數(shù)Y=+的值域時,易發(fā)現(xiàn)O,1,設(shè)=sin儀,ol0,qT,厶問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域.為什么會想到如此設(shè),其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系,又有去根號的需要.又如變量X,Y適合條件X+Y=r(r>0)時,則可作三角代換X=rcos0,Y=rsinOf為三角問題.2.3均值換元如遇到X+Y=S形式時,設(shè)X=罷+,Y=要一f等等.我們使用換元法時,要遵循有利于運(yùn)算,有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則,換元后要注重新變量范圍的選取,一定要使新變量范圍對應(yīng)于原變量的取值范圍,不能縮小也不能擴(kuò)大.如上幾例中的t>O和儀0,”iT.厶3換元法在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用例1.實(shí)數(shù)X,Y滿足一5xy+4y=5(式),設(shè)=.+Y,求+的值.(93年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)【分析】由S=+Y聯(lián)想1COS僅+sinol=1,r于是進(jìn)行三角換元,設(shè)zc代人式求lY3sin幣.的值.(【解】設(shè)zc代人式得:4S一5S.I-4sinsinacosot=5解得:麗10;.一1sin2c1.385sin2ct13.?.器.上上:豎:晝一SS1010105此種解法后面求最大值和最小值,還司由in2:的有界性而求,即解不等式:lIl.這種方法是求函數(shù)值域時經(jīng)常用到的”有界法”.【另解】由S=+Y,設(shè)=魚9+f,Y=軎一r,一軎,害,則=J罷一代人式得:5等一2=5,移項(xiàng)平方整理得lOOt.+39S.一160S+100=0.39S一160S+100<0解得:101_9_o.上+上:立+堡:晝.5ax.510.l0105【評析】此題第一種解法屬于”三角換元法”,主要是利用已知條件S=x.+Y與i角公式COS0【+sin=1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元,將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問題.第二種解法屬于“均值換元法”,主要是由等式S=X.+Y而按照均值換元的思路,設(shè)=要+,Y=要一f,減少了元的個數(shù),問題且容易求解.和”均值換元法”類似,我們還有一種換元法,即在題中有兩個變量,Y時,可以設(shè)=a+b,Y=ab,這稱為”和差換元法”,換元后有可能簡化代數(shù)式.本題設(shè)=a+易,Y=ab,代人式整理得3a+l3.=5,求得0,曇,所以S:(一b)(+易)=2(以+b)=10+2O2器,弩,再求+的值.例2.AABC的=三個內(nèi)角A,B,C滿足:A+C=2B,+一,枷s的值.(96年全國高考理科試卷)【分析】由已知”A+C:2B”和”三角形內(nèi)角和等于l80.的性質(zhì),可得含品;由”A+C:120.進(jìn)行均值換元,則設(shè)舍,再代入可.【另解】由A+C:2B,得A+C=120.,B=60.所以+一_2,設(shè)=一+m,麗1COS=一一m,ACOSL/所以cosA:L一一,cosC-一,兩式分一2+77z一2一別相加,相減得:c.sA+cosC一2scoss:墮一2c.sAc.C:一2sinin:.Ar一mTm2-2gl:sin一,一,代入?z+z:1SlI1COS整理得:一3m一一十一攔埋1哥:一16,z一12:0,解出m2:6,代人eo:生:222.【評析】本題兩種解法由”A+C=120.,“1+1=一242”分別進(jìn)行均值換元,隨后結(jié)合三角形角的關(guān)系與三角公式進(jìn)行運(yùn)算,除由已知想到均值換元外,還要求對三角公式的運(yùn)用相當(dāng)熟練.例3.設(shè)a>O,求f(x):2a(sinx+COSX)一sinx?COSX一2a.的最大值和最小值.【解】設(shè)sinx+COSX=t,貝0t一,f,f,由(sinx+COSX)=1+2sinx?COSX得:sinx?COSX:19t.一1一.?.):g(f)=一(卜2.)+(),t一,如圖1:=一時,取最小值:一2口22日一當(dāng)2口時,t=,取最大值:一2a+2n一.2當(dāng)0<2a時,f:2以,取最大值:.Y27;T圖l函數(shù)的最大值最小值廠()的最小值為一222一,最大值為【評析】此題屬于局部換元法,設(shè)sinx+COSX=t后,抓住sinx+COSY與sinx?COSX的內(nèi)在聯(lián)系,將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題,使得容易求解.換元過程中一定要注意新的參數(shù)的范圍(t一2,2)與sinx+COSX對應(yīng),否則將會出錯.本題解法中還包含了含參問題時分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,即由對稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系而確定參數(shù)分兩種情況進(jìn)行討論.一般地,在遇到題目已知和未知中含有sinx與COSX的和,差,積等而求三角式的最大值和最小值的題型時,即函數(shù)為.廠(sinxCOSX,sinxcosx),可用這樣設(shè)元的方法,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或一次函數(shù).例4.設(shè)對于所有實(shí)數(shù)X,不等式一34一一一OCII一一S34一一OC一14八I12一2J_<0.u12一總第88期自然科學(xué)大理學(xué)院log+gzgz>.恒成立,求a的取值范圍.(87年全國高考理科試卷)【分析】不等式中l(wèi).g.,1.g.,l.gz三項(xiàng)有何聯(lián)系?進(jìn)行對數(shù)式的有關(guān)變形后不難發(fā)現(xiàn),再實(shí)施換元法.【解】設(shè)l.g.2a_【,=log=3+-og.=3g:3l0g.一2,代入后原不等式簡化為(3一f)+2tx一2t>O,它對一切實(shí)數(shù)恒成立,所以:t4>fO+8鄭一)<0,解得t<<03或>6.?.f<0即<00<<l,解得0<n<1.十l【評析】應(yīng)用局部換元法,起到了化繁為簡,化難為易的作用.為什么會想到換元及如何設(shè)元,關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)已知不等式中l(wèi).g,log22_(2,l.g三項(xiàng)之問的聯(lián)系.一般地,解指數(shù)與對數(shù)的不等式,方程,有可能使用局部換元法,換元時也可能要對所給的已知條件進(jìn)行適當(dāng)變形,發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系而實(shí)施換元.例5.已知sin0:cos,且cosO+sin20:37Y37Y10(式),求墨Y的值.【解】設(shè)_=sinO=足,則sin:,c0s=ks,且sin.+COS=k.(.+),.)=l,代入式得:k2f+k2.2=I0=10,解得:=3或:或【另解】由號:=tan,將等式兩邊同時除以coseO,再表示成含tan的式子:l+tan0:(1+tan)=10=10tan2,1.tan2=,3(+).則3t一lOt+3=0.t=3或,解得互=或霉.【評析】第一種解法由_sin87=而進(jìn)行等量代換,進(jìn)行換元,減少了變量的個數(shù).第二種解法將已知變形為一32=,不難發(fā)現(xiàn)進(jìn)行結(jié)果為VCOStan,再進(jìn)行換元和變形.一般的,解高次方程時,可使用換元法使方程次數(shù)降低.例6.實(shí)數(shù),)滿足丁(x-if+去=l,若+vk>O恒成立,求k的范圍.【分析】由已知條件丁(x-If+去=1,可以發(fā)現(xiàn)它與a+b.=1有相似之處,于是實(shí)施三角換元.【解】由丁(x-1#+設(shè)丁,2”r1=cos,=si即:cc:=一l+1+34cossinO代人不等式+).一>0得:3c0s+4sin一k>O,耳口k<3cos+4sin=5sin(+)所以,<一5時不等式恒成立.【評析】本題進(jìn)行三角換元,將代數(shù)問題(或者是解析幾何問題)化為了含參j角不等式恒成立的問題,再轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題,從而求出參數(shù)范圍.一般地,在遇到與圓,橢圓,雙曲線的方程相似的代數(shù)式時,或者在解決圓,橢圓,雙曲線等有關(guān)問題時,經(jīng)常使用”三角換元法”.另:本題的另一種解題思路:如圖2:在平面直角坐標(biāo)系,不等式似+by+c>O(n>0)所表示的區(qū)域?yàn)橹本€ax+by+C=oN分平面成兩部分(下轉(zhuǎn)第29頁).I3=一貝+ll一即沒總第88期李俊華基于Web文本挖掘的高校教師個人主頁系統(tǒng)研究與開發(fā)第1O卷科研合作與學(xué)術(shù)交流,展示科研成果的技術(shù)支撐平臺,同時也能夠?yàn)楦咝Ｌ峁┮粋€宣傳本校教師隊(duì)伍,吸引廣大考生,評價教師教學(xué)與研究生培養(yǎng)質(zhì)量,監(jiān)督本校教師學(xué)術(shù)活動狀況的技術(shù)服務(wù)平臺,但如何構(gòu)建一個性能穩(wěn)定,用戶使用便捷的高校教師個人主頁系統(tǒng)仍需進(jìn)一步探究.參考文獻(xiàn)1鐘艷花,余偉紅,余永權(quán).Web文本挖掘系統(tǒng)及其關(guān)鍵技術(shù)研究J計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2003,34(17):167169.2唐菁,沈記全,楊炳儒.基于Web的文本挖掘系統(tǒng)的研究與實(shí)現(xiàn)J.計(jì)算機(jī)科學(xué),2003,30(1):6062.3鄒臘梅,肖基毅,龔向堅(jiān).Web文本挖掘技術(shù)研究J.情報雜志,2007(2):5355.【4SahonG,WongA,YangCS.AVectorSpaceModelforAutomaticIndexingJj.CommunicationsofACM,197518(11):613620.5YangY,PedersonJ.O.AComparativeStudyonFeatureSelectioninTextCategorizationc.InProc.ofICML.1997:412-420.6BernersLee,HendlerJA,LassilaO.TheSemanticwebJ.ScientificAmerican.2001.284(5):3443.7盛秋艷,印桂生.一種基于本體的語義檢索算法J.計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2009,45(36):148150.【8JASHOKI,VINODJ,MICHELEC.WebsphereBusinessIn.tegrationPrimer:Processserver,BPEL.SCA.andSOAM.NewYork:IBMPress.2007.9陳泳,林世平.基于本體的語義檢索技術(shù)(JJ.計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2006(1):7880.10顧連忠,董博清,劉建軍,等.概念圖與循環(huán)概念圖研究J.中國電化教育,2010(2):111-114.11張會平,周寧,陳勇躍.概念圖在知識組織中的應(yīng)用研究J.情報科學(xué),200725(10):15701574.12曾憲權(quán),馮玉東.移動中間件研究J.計(jì)算機(jī)與數(shù)字工程,2008,36(7):8284.13中海,吳麗娟,齊維毅.移動事務(wù)處理中間件的研究與設(shè)計(jì)J.小型微型計(jì)算機(jī)系統(tǒng),2008,29(8):1511-1515.14丁月華,楊樂,范