高考數(shù)學專題復習精課件全集合導數(shù)的應用(1)(文).ppt

導數(shù)的應用 一 復習目標 理解極大值 極小值 最大值 最小值的概念 并會用導數(shù)求多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 極值及閉區(qū)間上的最值 會利用導數(shù)求最大值和最小值的方法 解決某些簡單實際問題 二 重點解析 4 用f x 0的根將f x 的定義域分成若干個區(qū)間 列表考查各區(qū)間上f x 的符號 進而確定f x 的單調(diào)區(qū)間 注意若f x 在 a b b c 單調(diào)遞增 減 且f x 在x b處連續(xù) 則f x 在 a c 單調(diào)遞增 減 1 利用導數(shù)判斷單調(diào)性的一般步驟 1 確定函數(shù)的定義域 2 求導數(shù)f x 3 求f x 0的根 2 求函數(shù)極值的步驟 3 檢查上面求出的x的兩側導數(shù)的符號 如果左正右負 那么f x 在該點處取極大值 如果左負右正 那么f x 在該點處取極小值 1 求導數(shù)f x 2 求出f x 0或f x 不存在的所有的點 3 連續(xù)函數(shù)f x 在 a b 上有最大值和最小值 求最值的一般步驟 4 解決實際應用問題的關鍵在于建立數(shù)學模型和目標函數(shù) 把 問題情景 譯為數(shù)學語言 找出問題的主要關系 并把問題的主要關系近似化 形式化 抽象成數(shù)學問題 再化歸為常規(guī)問題 選擇合適的數(shù)學方法求解 1 求極值 2 把極值和f a f b 相比較 最大的一個為最大值 最小的一個為最小值 1 函數(shù)的單調(diào)性 三 知識要點 1 函數(shù)單調(diào)性的充分條件 設函數(shù)y f x 在某個區(qū)間內(nèi)可導 如果f x 0 則y f x 為增函數(shù) 如果f x 0 則y f x 為減函數(shù) 2 函數(shù)單調(diào)性的必要條件 設函數(shù)y f x 在某個區(qū)間內(nèi)可導 如果f x 在該區(qū)間單調(diào)遞增 或減 則在該區(qū)間內(nèi)f x 0 或f x 0 注當f x 在某個區(qū)間內(nèi)個別點處為零 在其余點處均為正 或負 時 f x 在這個區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增 或遞減 的 例f x x3在 1 1 內(nèi) f 0 0 f x 0 x 0 顯然f x x3在 1 1 上仍舊是增函數(shù) 極大值與極小值統(tǒng)稱為極值 是函數(shù)f x 的一個極小值 記作 y極小值 f x0 如果對x0附近的所有點 都有f x f x0 就說f x0 2 函數(shù)極值的定義 設函數(shù)f x 在點x0及其附近有定義 如果對x0附近的所有點 都有f x f x0 我們就說f x0 是函數(shù)f x 的一個極大值 記作 y極大值 f x0 3 判斷f x0 是極值的方法 1 如果在x0附近的左側f x 0 右側f x 0 那么f x0 是極大值 2 如果在x0附近的左側f x 0 那么f x0 是極小值 一般地 當函數(shù)f x 在點x0處連續(xù)時 4 求可導函數(shù)f x 的極值的步驟 1 確定函數(shù)的定義域 3 求方程f x 0的根 5 函數(shù)的最大值與最小值 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù)的函數(shù)f x 在 a b 上必有最大值與最小值 但在開區(qū)間 a b 內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f x 不一定有最大值與最小值 例如f x x x 1 1 6 設函數(shù)f x 在 a b 上連續(xù) 在 a b 內(nèi)可導 求f x 在 a b 上的最大值與最小值的步驟如下 1 求f x 在 a b 內(nèi)的極值 2 將f x 的各極值與f a f b 比較 其中最大的一個是最大值 最小的一個是最小值 2 求導數(shù)f x 4 檢查f x 在方程f x 0的根左右的值的符號 如果左正右負 那么f x 在這個根處取得極大值 如果左負右正 那么f x 在這個根處取得極小值 典型例題1 已知函數(shù)f x ax3 3x2 x 1在r上是減函數(shù) 求a的取值范圍 解 由已知 f x 3ax2 6x 1 而3ax2 6x 1 0 x r 當f x 0 x r 時 f x 是減函數(shù) 由y x3在r上為增函數(shù)知 a 3時 f x x r 是減函數(shù) a 3 又當a 3時 f x 3x3 3x2 x 1 當a 3時 在r上存在一個區(qū)間 其上有f x 0 當a 3時 f x 不是減函數(shù) 綜上所述 a的取值范圍是 3 典型例題2 求下列函數(shù)的最值 1 f x x3 3x2 6x 2 x 1 1 解 1 f x 3x2 6x 6 3 x2 2x 2 3 x 1 2 1 0恒成立 f x 在 1 1 上單調(diào)遞增 f x min f 1 12 f x max f 1 2 2 y 3x2 3 令y 0 得x 1或1 當x 1時 ymin 1 典型例題3 已知a為實數(shù) f x x2 4 x a 1 求導函數(shù)f x 2 若f 1 0 求f x 在 2 2 上的最大值和最小值 3 若f x 在 2 和 2 上都是遞增的 求a的取值范圍 解 1 由已知f x x3 ax2 4x 4a f x 3x2 2ax 4 f x 3x2 x 4 3 f x 的圖象為開口向上的拋物線且過點 0 4 由題設得f 2 0且f 2 0 8 4a 0且8 4a 0 2 a 2 故a的取值范圍是 2 2 典型例題4 又f x 的圖象過點p 0 1 此時f x ax4 cx2 1 偶函數(shù)f x ax4 bx3 cx2 dx e的圖象過點p 0 1 且在x 1處的切線方程為y x 2 1 求y f x 的解析式 2 求y f x 的極大 小 值 函數(shù)在x 1處的切線方程為y x 2 切線的斜率為1 解 1 f x 是偶函數(shù) b d 0 e 1 f x 4ax3 2cx 1 f 1 4a 2c 即4a 2c 1 切線的切點在曲線上 a c 1 1 典型例題4 由f x 0得 當x變化時 f x f x 的變化情況如下表 解 2 由 1 知 f x 10 x3 9x 當x 0時 f x 極大值 1 極小值 極大值 極小值 偶函數(shù)f x ax4 bx3 cx2 dx e的圖象過點p 0 1 且在x 1處的切線方程為y x 2 1 求y f x 的解析式 2 求y f x 的極大 小 值 典型例題5 設t 0 點p t 0 是函數(shù)f x x3 ax與g x bx2 c的圖象的一個公共點 兩函數(shù)的圖象在點p處有相同的切線 1 用t表示a b c 2 若函數(shù)y f x g x 在 1 3 上單調(diào)遞減 求t的取值范圍 解 1 函數(shù)f x 的圖象過點p t 0 f t 0 t3 at 0 t 0 a t2 又 函數(shù)g x 的圖象也過點p t 0 g t 0 bt2 c 0 c ab 兩函數(shù)的圖象在點p處有相同的切線 f t g t 而f x 3x2 a g x 2bx 3t2 a 2bt 將a t2代入上式得b t c ab t3 綜上所述 a t2 b t c t3 2 方法一 y f x g x x3 tx2 t2x t3 y 3x2 2tx t2 3x t x t 當y 3x t x t 0時 y f x g x 為減函數(shù) 函數(shù)y f x g x 在 1 3 上單調(diào)遞減 t 3或t 9 t的取值范圍是 9 3 2 方法二 y f x g x x3 tx2 t2x t3 y 3x t x t 函數(shù)y f x g x 在 1 3 上單調(diào)遞減 y 3x t x t 的圖象是開口向上的拋物線 y 3x t x t 0對于x 1 3 恒成立 則y x 1 0且y x 3 0 即 3 t 1 t 0且 9 t 3 t 0 解得t 3或t 9 t的取值范圍是 9 3 典型例題6 已知函數(shù)f x ax3 cx d a 0 是r上的奇函數(shù) 當x 1時 f x 取得極值 2 1 求f x 的單調(diào)區(qū)間和極大值 2 證明 對任意x1 x2 1 1 不等式 f x1 f x2 4恒成立 1 解 函數(shù)f x 是r上的奇函數(shù) f x f x 即 ax3 cx d ax3 cx d對x r恒成立 d 0 f x ax3 cx f x 3ax2 c 當x 1時 f x 取得極值 2 f 1 2且f 1 0 a c 2且3a c 0 a 1 c 3 f x 3x2 3 由f x 0得 1 x 1 由f x 0得x1 f x 在 1 上是增函數(shù) 在 1 1 上是減函數(shù) 在 1 上是增函數(shù) 當x 1時 f x 取得極大值f 1 2 故函數(shù)f x 的單調(diào)遞減區(qū)間是 1 1 單調(diào)遞增區(qū)間是 1 和 1 f x 的極大值為2 典型例題6 已知函數(shù)f x ax3 cx d a 0 是r上的奇函數(shù) 當x 1時 f x 取得極值 2 1 求f x 的單調(diào)區(qū)間和極大值 2 證明 對任意x1 x2 1 1 不等式 f x1 f x2 4恒成立 2 證 由 1 知f x x3 3x在 1 1 上是減函數(shù) 且f x 在 1 1 上的最大值m f 1 2 f x 在 1 1 上的最小值m f 1 2 對任意x1 x2 1 1 不等式 f x1 f x2 4恒成立 解 1 由已知f x 3ax2 2bx 3 依題意得 f 1 f 1 0 解得a 1 b 0 3a 2b 3 0且3a 2b 3 0 f x 3x2 3 由f x 0得 1 x 1 課后練習1 已知函數(shù)f x ax3 bx2 3x在x 1處取得極值 1 討論f 1 和f 1 是函數(shù)f x 的極大值還是極小值 2 過點a 0 16 作曲線y f x 的切線 求此切線方程 2 由 1 知f x x3 3x 由f x 0得x1 f x 在 1 上是增函數(shù) 在 1 1 上是減函數(shù) 在 1 上是增函數(shù) f 1 2是極大值 f 1 2是極小值 點a 0 16 不在曲線上 設切點為m x0 y0 則y0 x03 3x0 f x0 3x02 3 切線方程為y x03 3x0 3x02 3 x x0 點a 0 16 在切線上 16 x03 3x0 3x02 3 x0 化簡得x03 8 x0 2 切線方程為y 8 6 9 x 2 即9x y 16 0 課后練習2 解 由題設f x x2 1 x t x 1 x3 x2 tx t f x 3x2 2x t 函數(shù)f x 在區(qū)間 1 1 是增函數(shù) f x 0 即 3x2 2x t 0 亦即t 3x2 2x對x 1 1 恒成立 考慮函數(shù)g x 3x2 2x x 1 1 故t 3x2 2x對x 1 1 恒成立等價于t g 1 即t 5 而當t 5時 f x 在 1 1 上滿足f x 0 故t的取值范圍是 5 即f x 在 1 1 是增函數(shù) 課后練習3 已知函數(shù)f x x3 bx2 cx d的圖象過點p 0 2 且在點m 1 f 1 處的切線方程為6x y 7 0 1 求函數(shù)y f x 的解析式 2 求函數(shù)y f x 的單調(diào)區(qū)間 解 1 函數(shù)f x 的圖象過點p 0 2 f 0 2 d 2 f x x3 bx2 cx 2 f x 3x2 2bx c f x 圖象在點m 1 f 1 處的切線方程為6x y 7 0 6 f 1 7 0 即f 1 1 且f 1 6 3 2b c 6 且 1 b c 2 1 即2b c 3 且b c 0 b c 3 f x x3 3x2 3x 2 2 由 1 知f x 3x2 6x 3 課后練習4 解 1 由已知f x 3ax2 2bx 2 函數(shù)f x 在x 2 x 1處取得極值 12a 4b 2 0且3a 2b 2 0 由f x 0得 2 x 1 已知函數(shù)f x ax3 bx2 2x在x 2 x 1處取得極值 1 求函數(shù)y f x 的解析式 2 求函數(shù)y f x 的單調(diào)區(qū)間 由f x 0得x1 y f x 的單調(diào)遞減區(qū)間是 2 1 單調(diào)遞增區(qū)間是 2 和 1 f 2 f 1 0 2 由 1 知f x x2 x 2 課后練習5 設函數(shù)f x x3 ax2 bx c的圖象如圖所示 且與x軸在原點相切 若函數(shù)極小值為 4 1 求a b c的值 2 求函數(shù)的遞減區(qū)間 解 1 函數(shù)f x 的圖象過原點 c 0 函數(shù)f x 的圖