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本 科 畢 業(yè) 論 文 題 目 數(shù)學(xué)課堂教學(xué) 系 別 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)教師 （姓名居中） 評閱教師 （姓名居中） 班 級 2003級1班 姓 名 （姓名居中） 學(xué) 號 （學(xué)號居中） 年 月 日內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）目 錄摘要(四號黑體不加粗)Abstract(四號Times New Roman體加粗)1引言(四號黑體不加粗)11.1(小四號黑體不加粗)11.1.1(小四號仿宋體加粗)12閉區(qū)間套定理在的推廣23閉區(qū)間套定理在一般度量空間上的推廣44閉區(qū)間套定理在上的推廣55閉區(qū)間套定理的應(yīng)用舉例6結(jié)束語8參考文獻(xiàn)8致謝9（注：目錄不加頁碼； 中、英文摘要加頁碼，用羅馬數(shù)字：，； 正文另行加頁碼，用阿拉伯?dāng)?shù)字：1，2，3，）摘 要(四號黑體不加粗)：在介紹了閉區(qū)間套定理的基礎(chǔ)上，通過綜合應(yīng)用類比法、分析法、演繹推理法將閉區(qū)間套定理進(jìn)行了推廣，得到了嚴(yán)格開區(qū)間套定理和嚴(yán)格半開半閉區(qū)間套定理以及一般完備度量空間上的閉集套定理和常用完備度量空間上的閉集套定理，并給出了這些定理的證明結(jié)合典型例題，分析、討論了閉區(qū)間套定理及推廣后的閉集套定理的實(shí)際應(yīng)用，說明了閉區(qū)間套定理不僅具有重要的理論意義，而且還有很好的應(yīng)用價值(小四號仿宋體不加粗,“摘要”字?jǐn)?shù)須300字以上)關(guān)鍵詞(四號黑體不加粗)：閉區(qū)間套定理；嚴(yán)格開區(qū)間套定理；推廣；應(yīng)用(小四號仿宋體不加粗，關(guān)鍵詞的個數(shù)：35個)Abstract(四號Times New Roman體加粗): The theorem of nested closed interval was extended on the basis of its definition with synthetic application of analogy analysis and deductive reasoning, and got a series of theorems such as the theorem of strict open nested interval, the theorem of strict open and closed nested interval and the theorem of closed nested set on ordinary and popular metric space, which were also testified. The real application of the theorem of nested closed interval and the theorem of closed nested set after extension was discussed by analysis of some typical examples so as to demonstrate its important theoretical meaning and useful application. (小四號Times New Roman體不加粗)Key words (四號Times New Roman體加粗): theorem of nested closed interval; theorem of strict open nested interval; extension; application (小四號Times New Roman體不加粗，每個關(guān)鍵詞開頭字母均不大寫，結(jié)尾處無標(biāo)點(diǎn)符號)1 引言（一級標(biāo)題四號黑體不加粗，段前斷后空0.5行）1.1 小四號黑體不加粗 （二級標(biāo)題小四號黑體不加粗，段前斷后不空行）1.1.1 小四號仿宋體加粗 （三級標(biāo)題小四號仿宋體加粗，段前斷后不空行）說明：（1）全文要求：行距：最小值22磅；頁邊距：上2.2cm、左2.5cm、右2.3cm、下1.8cm、頁眉1.2cm、頁腳1.5cm；頁眉中，若是論文就刪去“設(shè)計”二字，若是設(shè)計就刪去“論文”二字（2）各級標(biāo)題一律頂格，標(biāo)題末尾不加標(biāo)點(diǎn)符號（3）正文中所引用的文獻(xiàn)應(yīng)加尾注，以文獻(xiàn)在文中出現(xiàn)的先后順序依次編號為：1，2，某種文獻(xiàn)中的內(nèi)容被多次引用時以第一次出現(xiàn)時的序號為準(zhǔn)，即一種文獻(xiàn)只有一個序號，可以重復(fù)出現(xiàn)添加尾注的格式如下：愛因斯坦說：提出一個問題往往比解決一個問題更重要1愛因斯坦說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要”1愛因斯坦說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要” 1 （4）正文中出現(xiàn)的圖象與表格以編號（依出現(xiàn)的先后順序編號）的方式分別加以命名圖象：圖1，圖2，表格：表一，表二，（5）行文要符合文法格式，每段開頭應(yīng)空兩個漢字的位置若一行中只有符號表達(dá)式，則可以居中或居中偏左（6）正文中所有的標(biāo)點(diǎn)符號，一律用全角；句號用“”閉區(qū)間套定理是實(shí)分析中的一個重要定理,它同聚點(diǎn)定、有限覆蓋定理、確界原理、數(shù)列的單調(diào)有界定理和Cauchy收斂準(zhǔn)則一樣都反映了實(shí)數(shù)的完備性，也是學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)等課程的基礎(chǔ)由于它具有較好的構(gòu)造性，因此閉區(qū)間套定理在證明與實(shí)數(shù)相關(guān)的命題中有廣泛的應(yīng)用，如證明閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大值和最小值、閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必定一致連續(xù)1、閉區(qū)間的連續(xù)函數(shù)的介值性定理等故閉區(qū)間套定理不僅有重要的理論價值，而且具有很好的應(yīng)用價值為了增大閉區(qū)間套定理的應(yīng)用范圍，從閉區(qū)間套定理的概念出發(fā)，綜合運(yùn)用類比分析法、演繹推理法推廣該定理首先，將閉區(qū)間套定理在一維空間加以推廣，形成嚴(yán)格開區(qū)間套定理和嚴(yán)格半開半閉區(qū)間套定理，增大了區(qū)間套定理的應(yīng)用范圍緊接著結(jié)合一般完備度量空間的特性，即正定性、對稱性、三角不等式性和完備性，把閉區(qū)間套定理在一般完備度量空間上推廣，形成一般完備度量空間上的閉集套定理，從而把一維空間上的情景推廣到了更一般化的完備度量空間，使得區(qū)間套定理的應(yīng)用范圍更為廣泛，并且給出了常用度量空間上的閉集套定理最后結(jié)合一些實(shí)例分析說明閉區(qū)間套定理的應(yīng)用，比如證明閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有界、單調(diào)有界定理等，通過構(gòu)造滿足題意的閉區(qū)間列，再應(yīng)用閉區(qū)間套定理證明存在滿足題意的點(diǎn)從實(shí)際例題中還可以看出閉區(qū)間套定理反映了實(shí)數(shù)的稠密性，所以閉區(qū)間套定理連同其在一般完備度量空間上推廣后的閉集套定理在證明與實(shí)數(shù)理論相關(guān)命題時發(fā)揮著重要的作用2 閉區(qū)間套定理在的推廣康托給分析建立了嚴(yán)格的集合論基礎(chǔ)而在對實(shí)數(shù)連續(xù)性的描述中，閉區(qū)間套定理是一個基本的定理因此，在對該定理推廣前有必要先回顧一下閉區(qū)間套定理的內(nèi)容定義2.1設(shè)()是中的閉區(qū)間列，如果滿足：(1) ，；(2) ；則稱為中的一個閉區(qū)間套，或簡稱區(qū)間套定理2.12(閉區(qū)間套定理)若是一個閉區(qū)間套，則存在惟一一點(diǎn)，使得()，且 推論2.13若()是區(qū)間套確定的點(diǎn)，則對任意正數(shù)，存在自然數(shù)，當(dāng)時，總有定義2.2設(shè)()是中的開區(qū)間列，如果滿足：(1) ，；(2) ；則稱為中的一個嚴(yán)格開區(qū)間套定理2.2 (嚴(yán)格開區(qū)間套定理)若是中的一個嚴(yán)格開區(qū)間套，則存在惟一一點(diǎn)，使得，且證明 由定義2.2條件(1)，是一個嚴(yán)格遞增且有上界的數(shù)列由單調(diào)有界定理，有極限，不妨設(shè)，且，同理嚴(yán)格遞減有下界的數(shù)列也有極限由定義2.2條件(2)應(yīng)有，且，從而存在()最后證明唯一性假如另有，使得，那么有，在上述不等式兩邊取極限，有即故原命題成立定義2.345設(shè)()是中的半閉半開區(qū)間列，如果滿足：(1) ，；(2) ；則稱為中的一個嚴(yán)格半閉半開區(qū)間套注：類似可以定義嚴(yán)格半開半閉區(qū)間套定理2.3 (嚴(yán)格半開半閉區(qū)間套定理)如果是中的一個嚴(yán)格半開半閉區(qū)間套，則存在惟一一點(diǎn)，使得，且仿定理2.2的證明即可2 閉區(qū)間套定理在一般度量空間上的推廣完備度量空間具有正定性、對稱性、三角不等式性和完備性具體到序列，指的是該序列除了滿足一般度量空間的要求，還應(yīng)在該空間上收斂這樣閉區(qū)間套定理就可以在一般度量空間上進(jìn)行推廣定義3.1設(shè)是一個非空集合，在上定義一個雙變量的實(shí)值函數(shù)，對任意的，有：(1)(正定性)0，并且當(dāng)且僅當(dāng)成立；(2)(對稱性)；(3)(三角不等式)；則稱為一個度量空間定義3.2設(shè)是度量空間中的一個子集，對于中的任意點(diǎn)列，若當(dāng)，有，則稱為閉集定義3.36設(shè)是一度量空間中的一個序列，若對任意的實(shí)數(shù)，存在整數(shù)，使得當(dāng)時，有，則稱為一個序列定義3.47如果對度量空間中的每一個序列都收斂，則稱是一個完備度量空間定理3.17設(shè)是完備度量空間上的閉集列，如果滿足：(1) ()；(2) ；則在中存在唯一一點(diǎn)，使得，證明任意取中的點(diǎn)列，當(dāng)時，有，所以，)即對于任意給定的實(shí)數(shù)，存在整數(shù)，使得當(dāng)時，有，所以是序列又因為是閉集列，故收斂于一點(diǎn)，且有，現(xiàn)證唯一性如果另有一點(diǎn)，使得，則由定義3.1條件(3)，有，從而故在中存在唯一一點(diǎn)，使得，3 閉區(qū)間套定理在上的推廣進(jìn)一步還可以將閉區(qū)間套定理在常用度量空間實(shí)數(shù)空間上推廣為此，先給出一個有用的概念定義4.1對于任意的，令，則稱為空間上的距離下面驗證對于如上定義的，做成完備的度量空間證明對于任意的，(1) ，并且=0當(dāng)且僅當(dāng)()，即(2) (3)令和由不等式可以得到2則，即所以滿足度量的定義，又是完備的6，故是一個完備的度量空間于是根據(jù)前面的論述，可以得到實(shí)數(shù)空間的閉集套定理：定理4.1設(shè)是上的閉集列，如果：(1) ，；(2) ()；則在中存在唯一一點(diǎn)，使得，4 閉區(qū)間套定理的應(yīng)用舉例閉區(qū)間套定理證明命題的基本思路是分劃區(qū)間構(gòu)成閉區(qū)間套，從而找到屬于每一個區(qū)間的公共點(diǎn)下面就舉幾個例子說明這一思路例1證明：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必有界分析這個命題如果從正面入手利用閉區(qū)間套定理證明比較困難，但是如果從反面著手，即假設(shè)在上無界，即對任意0，存在，有則等分區(qū)間后至少有一個子區(qū)間上無界，記為性質(zhì)繼續(xù)等分那個無界的區(qū)間，可得到如上的性質(zhì)無限次重復(fù)上述步驟可構(gòu)造一個滿足題意的閉區(qū)間套，由閉區(qū)間套定理可以推出，這與假設(shè)矛盾，從而證明原命題成立證明 我們用反證法.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，假設(shè) 在閉區(qū)間上無界將區(qū)間二等分，即取的中點(diǎn)，則和中至少有一個區(qū)間使得在其上無界(若兩個都使無界，則任取其中一個)，記為，且再將等分為兩個區(qū)間，同樣其中至少有一個子區(qū)間上無界，記為，且，無限次重復(fù)上述步驟，便得到一個閉區(qū)間列，其中每一個區(qū)間有如下特性：，且及在上無界由區(qū)間套定理，存在一點(diǎn)（），且又在連續(xù)，則對任意的，存在，當(dāng)時，有，即令，則由推論1，取n充分大可使，上述不等式與在閉區(qū)間上無界矛盾故在閉區(qū)間上有界以下內(nèi)容省略結(jié)束語通過對閉區(qū)間套定理的簡單分析探究，掌握了該定理的結(jié)構(gòu)形式，學(xué)習(xí)了運(yùn)用類比的思維方法推廣該定理的過程，分析討論了閉區(qū)間套定理的實(shí)際應(yīng)用首先將閉區(qū)間套定理在推廣，即在一維空間上將條件減弱為，得到嚴(yán)格開區(qū)間套定理緊接著，聯(lián)想到一般完備度量空間的特性和閉區(qū)間套定理良好的構(gòu)造性，從而推廣得到閉集套定理最后，應(yīng)用閉區(qū)間套定理和推廣后的閉集套定理證明了證明連續(xù)函數(shù)必有界、數(shù)列的單調(diào)有界定理、一個不動點(diǎn)問題以及上的開區(qū)域套定理至于能否將閉區(qū)間套定理推廣到空間以及能否在一般度量空間推廣聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理，并且運(yùn)用推廣得到的閉集套定理證明它們兩個問題未做討論參考文獻(xiàn)1 李宗鐸，陳娓再談閉區(qū)間套定理的推廣及其應(yīng)用J長沙大學(xué)學(xué)報，2000，14(4)：4-52 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編數(shù)學(xué)分析M北京：高等教育出版社，1991，第2版3 陳傳璋數(shù)學(xué)分析M北京：高等教育出版社，1983，第2版4 毛一波閉區(qū)間套定理的推廣J渝西學(xué)院學(xué)報，2005，14(2)：26275 朱俊恭關(guān)于閉區(qū)間套定理J遵義師范學(xué)院學(xué)報2002，4(1)：72-736 熊金城點(diǎn)