2021版江蘇高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)含答案.doc

教學(xué)資料范本2021版江蘇高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)含答案編 輯：_時 間：_最新考綱1.能畫出ysin x、ycos x、ytan x的圖象、了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0,2上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點等)、理解正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性1用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖正弦函數(shù)ysin x、x0,2圖象的五個關(guān)鍵點是：(0,0)、(、0)、(2、0)余弦函數(shù)ycos x、x0,2圖象的五個關(guān)鍵點是：(0,1)、(、1)、(2、1)2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)ysin xycos xytan x圖象定義域RR值域1,11,1R單調(diào)性遞增區(qū)間：、kZ、遞減區(qū)間：、kZ遞增區(qū)間：2k、2k、kZ、遞減區(qū)間：2k、2k、kZ遞增區(qū)間、kZ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱性對稱中心(k、0)、kZ對稱中心、kZ對稱中心、kZ對稱軸xk (kZ)對稱軸xk(kZ)周期性221對稱與周期(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個周期、相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是個周期(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期2函數(shù)具有奇偶性的充要條件函數(shù)yAsin(x)(xR)是奇函數(shù)k(kZ)；函數(shù)yAsin(x)(xR)是偶函數(shù)k(kZ)；函數(shù)yAcos(x)(xR)是奇函數(shù)k(kZ)；函數(shù)yAcos(x)(xR)是偶函數(shù)k(kZ)一、思考辨析(正確的打“”、錯誤的打“”)(1)函數(shù)ysin x的圖象關(guān)于點(k、0)(kZ)中心對稱()(2)正切函數(shù)ytan x在定義域內(nèi)是增函數(shù)()(3)已知yksin x1、xR、則y的最大值為k1.()(4)ysin |x|與y|sin x|都是周期函數(shù)()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1函數(shù)ytan 2x的定義域是()A.B.C.D.D由2xk、kZ、得x、kZ、ytan 2x的定義域為.2函數(shù)f(x)cos的最小正周期是 T.3ysin的單調(diào)減區(qū)間是 (kZ)由2k2x2k、kZ得kxk、kZ.4y3sin在區(qū)間上的值域是 考點1三角函數(shù)的定義域和值域1.三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組)、常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解2求三角函數(shù)最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解(2)化一法：把所給三角函數(shù)化為yAsin(x)k的形式、由正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域(3)換元法：把sin x、cos x、sin xcos x或sin xcos x換成t、轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解1.函數(shù)f(x)2tan的定義域是()D由正切函數(shù)的定義域、得2xk、kZ、即x(kZ)、故選D.2(20xx全國卷)函數(shù)f(x)sin3cos x的最小值為 4f(x)sin3cos xcos 2x3cos x2cos2x3cos x1、令cos xt、則t1,1f(t)2t23t12、易知當(dāng)t1時、f(t)min2123114.故f(x)的最小值為4.3已知函數(shù)f(x)2asinab(a0)的定義域為、值域為5,1、則ab .1因為x、所以2x、所以sin.因為a0、所以f(x)3ab、b因為函數(shù)的值域為5,1、所以3ab5、b1、所以a2、所以ab1.4函數(shù)ysin xcos xsin xcos x的值域為 設(shè)tsin xcos x、則t2sin2xcos2x2sin xcos x、sin xcos x、且t.yt(t1)21、t、當(dāng)t1時、ymax1；當(dāng)t時、ymin.函數(shù)的值域為.求解三角函數(shù)的值域(最值)常見的幾種類型(1)形如yasin xbcos xc的三角函數(shù)化為yAsin(x)c的形式、再求值域(最值)(2)形如yasin2xbsin xc的三角函數(shù)、可先設(shè)sin xt、化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)(3)形如yasin3xbsin2xcsin xd、類似于(2)進行換元、然后用導(dǎo)數(shù)法求最值考點2三角函數(shù)的單調(diào)性(1)形如yAsin(x)的函數(shù)的單調(diào)性問題、一般是將x看成一個整體、再結(jié)合圖象利用ysin x的單調(diào)性求解；(2)如果函數(shù)中自變量的系數(shù)為負(fù)值、要根據(jù)誘導(dǎo)公式把自變量系數(shù)化為正值、再確定其單調(diào)性求三角函數(shù)的單調(diào)性(1)函數(shù)f(x)tan的單調(diào)遞增區(qū)間是()(2)(20xx大連模擬)函數(shù)ysin xcos x的單調(diào)遞增區(qū)間是 (1)B(2) (1)由k2xk(kZ)、得x(kZ)、所以函數(shù)f(x)tan的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)、故選B.(2)ysin xcos xsin、由2kx2k(kZ)、解得2kx2k(kZ)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (kZ)、又x、單調(diào)遞增區(qū)間為.本例(2) 在整體求得函數(shù)ysin xcos x的增區(qū)間后、采用對k賦值的方式求得x上的區(qū)間根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(1)已知0、函數(shù)f(x)sin在上單調(diào)遞減、則的取值范圍是()A(0,2B.C. D.(2)(20xx全國卷)若f(x)cos xsin x在0、a 是減函數(shù)、則a的最大值是()A.B. C.D(1)D(2)C(1)由2kx2k、得x、kZ、因為f(x)sin在上單調(diào)遞減、所以解得因為kZ、0、所以k0、所以、即的取值范圍為.故選D.(2)f(x)cos xsin xsin、當(dāng)x、即x時、sin單調(diào)遞增、sin 單調(diào)遞減、是f(x)在原點附近的單調(diào)遞減區(qū)間、結(jié)合條件得0、a、a、即amax、故選C.已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍的3種方法子集法求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間、由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集、列不等式(組)求解反子集法由所給區(qū)間求出整體角的范圍、由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個單調(diào)區(qū)間的子集、列不等式(組)求解周期性法由所給區(qū)間的兩個端點到其相應(yīng)對稱中心的距離不超過周期列不等式(組)求解1.若函數(shù)f(x)sin x(0)在區(qū)間上單調(diào)遞增、在區(qū)間上單調(diào)遞減、則 .由已知得、T、.2函數(shù)f(x)sin的單調(diào)減區(qū)間為 由已知、得函數(shù)為ysin、欲求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間、只需求ysin的單調(diào)增區(qū)間即可由2k2x2k、kZ、得kxk、kZ.故所求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為 (kZ)考點3三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性求解三角函數(shù)ysin(x)(0)的周期性、奇偶性、對稱性問題、其實質(zhì)都是根據(jù)ysin x的對應(yīng)性質(zhì)、利用整體代換的思想求解三角函數(shù)的周期性(1)(20xx全國卷)下列函數(shù)中、以為周期且在區(qū)間單調(diào)遞增的是()Af(x)|cos 2x| Bf(x)|sin 2x|Cf(x)cos|x| Df(x)sin|x|(2)若函數(shù)f(x)2tan的最小正周期T滿足1T2、則自然數(shù)k的值為 (1)A(2)2或3(1)對于選項A、作出y|cos 2x|的部分圖象、如圖1所示、則f(x)在上單調(diào)遞增、且最小正周期T、故A正確對于選項B、作出f(x)|sin 2x|的部分圖象、如圖2所示、則f(x)在上單調(diào)遞減、且最小正周期T、故B不正確對于選項C、f(x)cos|x|cos x、最小正周期T2、故C不正確對于選項D、作出f(x)sin|x|的部分圖象、如圖3所示顯然f(x)不是周期函數(shù)、故D不正確故選A.圖1圖2圖3(2)由題意得、12、k2k、即k、又kZ、k2或3.公式莫忘絕對值、對稱抓住“心”與“軸”(1)公式法求周期正弦型函數(shù)f(x)Asin(x)B的周期T；余弦型函數(shù)f(x)Acos(x)B的周期T；正切型函數(shù)f(x)Atan(x)B的周期T.(2)對稱性求周期兩對稱軸距離的最小值等于；兩對稱中心距離的最小值等于；對稱中心到對稱軸距離的最小值等于.(3)特征點法求周期兩個最大值點之差的最小值等于T；兩個最小值點之差的最小值等于T；最大值點與最小值點之差的最小值等于.特征點法求周期實質(zhì)上就是由圖象的對稱性求周期、因為最值點與函數(shù)圖象的對稱軸相對應(yīng)(說明：此處的T均為最小正周期)三角函數(shù)的奇偶性已知函數(shù)f(x)3sin、(0、)(1)若f(x)為偶函數(shù)、則 ；(2)若f(x)為奇函數(shù)、則 .(1)(2)(1)因為f(x)3sin為偶函數(shù)、所以k、kZ、又因為(0、)、所以.(2)因為f(x)3sin為奇函數(shù)、所以k、kZ、又(0、)、所以.若f(x)Asin(x)(A、0)、則f(x)為偶函數(shù)的充要條件是k(kZ)；f(x)為奇函數(shù)的充要條件是k(kZ)三角函數(shù)的對稱性(1)已知函數(shù)f(x)2sin(0)的最小正周期為4、則該函數(shù)的圖象()A關(guān)于點對稱B關(guān)于點對稱C關(guān)于直線x對稱D關(guān)于直線x對稱(2)已知函數(shù)ysin(2x)的圖象關(guān)于直線x對稱、則的值為 (1)B(2)(1)因為函數(shù)f(x)2sin(0)的最小正周期是4、而T4、所以、即f(x)2sin.令k(kZ)、解得x2k(kZ)、故f(x)的對稱軸為x2k(kZ)、令k(kZ)、解得x2k(kZ)故f(x)的對稱中心為(kZ)、對比選項可知B正確(2)由題意得fsin1、k(kZ)、k(kZ)、.三角函數(shù)圖象的對稱軸和對稱中心的求解方法若求f(x)Asin(x)(0)圖象的對稱軸、則只需令xk(kZ)、求x；若求f(x)Asin(x)(0)圖象的對稱中心的橫坐標(biāo)、則只需令xk(kZ)、求x.1.設(shè)函數(shù)f(x)cos、則下列結(jié)論錯誤的是()Af(x)的一個周期為2Byf(x)的圖象關(guān)于直線x對稱Cf(x)的一個零點為xDf(x)在上單調(diào)遞減DA項、因為f(x)cos的周期為2k(kZ)、所以f(x)的一個周期為2、A項正確；B項、因為f(x)cos圖象的對稱軸為直線xk(kZ)、所以yf(x)的圖象關(guān)于直線x對稱、B項正確；C項、f(x)cos.令xk(kZ)、得xk、當(dāng)k1時、x、所以f(x)的一個零點為x、C項正確；D項、因為f(x)cos的單調(diào)遞減區(qū)間為2k、2k(kZ)、單調(diào)遞增區(qū)間為2k、2k(kZ)、所以是f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間、是f(x