直線、平面平行的判定和性質(zhì).ppt

考綱下載 以立體幾何的定義 公理和定理為出發(fā)點(diǎn) 認(rèn)識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理 2 能運(yùn)用公理 定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的平行關(guān)系的簡單題 第4講直線 平面平行的判定及其性質(zhì) 直線和平面平行的判定與性質(zhì) 1 判定定理 a 2 性質(zhì)定理 平面和平面平行的判定與性質(zhì) 1 判定定理 a b a b a b M 1 2 2 性質(zhì)定理 提示 兩平面平行時(shí) 一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個(gè)平面 而分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線 它們可能平行 也可能異面 l a a b 1 下列條件中 能判斷兩個(gè)平面平行的是 A 一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行于另一個(gè)平面B 一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面C 一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面D 一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面解析 由面面平行的判定定理易知選D項(xiàng) A B C三項(xiàng)中的兩個(gè)平面可能相交 如圖所示 答案 D 2 如果直線a 平面 則 A 平面 內(nèi)有且只有一條直線與a平行B 平面 內(nèi)無數(shù)條直線與a平行C 平面 內(nèi)不存在與a平行的直線D 平面 內(nèi)的任意直線與a都平行解析 過直線a可作無數(shù)個(gè)平面與平面 相交 得無數(shù)條交線 這些交線都互相平行 答案 B 已知兩個(gè)不同的平面 和兩條不重合的直線m n 有下列四個(gè)命題 若m n n 則m 若m n 且m n 則 m n 則m n 若 m 則m 其中正確命題的個(gè)數(shù)是 A 1B 2C 3D 4解析 有可能m 只有當(dāng)m與n相交時(shí) 才有命題正確 m n還可能是異面直線 正確 故正確答案是A 答案 A 3 過三棱柱ABC A1B1C1任意兩條棱的中點(diǎn)作直線 其中與平面ABB1A1平行的直線共有 條 解析 如圖所示 過任意兩條棱中點(diǎn)的直線與平面ABB1A1平行的直線有 DE DD1 DE1 D1E1 D1E EE1共6條 答案 6 4 證明線面平行的問題通常轉(zhuǎn)化為證明兩條直線平行的問題 通過對數(shù)據(jù)的計(jì)算構(gòu)造平行四邊形 利用三角形的中位線性質(zhì)是證明兩條直線平行的常見方法 2009 山東卷 如圖 在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 底面ABCD為等腰梯形 AB CD AB 4 BC CD 2 AA1 2 E E1 F分別為棱AD AA1 AB的中點(diǎn) 求證 直線EE1 平面FCC1 思維點(diǎn)撥 在平面FCC1中找一條線平行于EE1或證平面ADD1A1 平面FCC1均可 例1 證明 證法一 取A1B1的中點(diǎn)為F1 連結(jié)FF1 C1F1 由于FF1 BB1 CC1 所以F1 平面FCC1 因此平面FCC1即為平面C1CFF1 連結(jié)A1D F1C 由于A1F1D1C1CD 所以四邊形A1DCF1為平行四邊形 因此A1D F1C 又EE1 A1D 得EE1 F1C 而EE1 平面FCC1 F1C 平面FCC1 故EE1 平面FCC1 證法二 因?yàn)镕為AB的中點(diǎn) CD 2 AB 4 AB CD 所以CDAF 因此四邊形AFCD為平行四邊形 所以AD FC 又CC1 DD1 FC CC1 C FC 平面FCC1 CC1 平面FCC1 所以平面ADD1A1 平面FCC1 又EE1 平面ADD1A1 所以EE1 平面FCC1 如圖所示 在正方體ABCD A1B1C1D1中 O為正方形ABCD的中點(diǎn) 求證 B1O 平面A1C1D 變式1 證明 分別連結(jié)BD和B1D1 則O BD且A1C1 B1D1 O1 BB1綊DD1 BB1D1D是平行四邊形 BD綊B1D1 OD綊O1B1 連結(jié)O1D 則四邊形B1ODO1是平行四邊形 B1O DO1 DO1 平面A1C1D B1O 平面A1C1D 且B1O DO1 B1O 平面A1C1D 證明線線平行常用方法 1 利用定義 證明兩線共面且無公共點(diǎn) 2 利用公理4 證兩線同時(shí)平行于第三條直線 3 利用線面平行的性質(zhì)定理把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行 轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中 貫穿始終 轉(zhuǎn)化的途徑是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題 已知ABCD是平行四邊形 點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn) M是PC的中點(diǎn) 在DM上取一點(diǎn)G 過G和AP作平面交平面BDM于GH 求證 AP GH 思維點(diǎn)撥 先將三角形中位線的線線平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為線面平行 然后由線面平行轉(zhuǎn)化為所要證明的線線平行 例2 證明 如圖所示 連結(jié)AC 交BD于O 連結(jié)MO 由ABCD是平行四邊形得O是AC的中點(diǎn) 又M是PC的中點(diǎn) 知AP OM AP 平面BMD DM 平面BMD 故PA 平面BMD 由平面PAHG 平面BMD GH 知PA GH 證明面面平行的方法有 1 面面平行的定義 2 面面平行的判定定理 如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面 那么這兩個(gè)平面平行 3 利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行 4 兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面 那么這兩個(gè)平面平行 5 利用 線線平行 線面平行 面面平行 的相互轉(zhuǎn)化 如圖所示 正方體ABCD A1B1C1D1中 1 求證 平面A1BD 平面B1D1C 2 若E F分別是AA1 CC1的中點(diǎn) 求證 平面EB1D1 平面FBD 思維點(diǎn)撥 1 證BD 平面B1D1C A1D 平面B1D1C 2 證BD 平面EB1D1 DF 平面EB1D1 例3 證明 1 由B1B綊DD1 得四邊形BB1D1D是平行四邊形 B1D1 BD 又BD 平面B1D1C B1D1 平面B1D1C BD 平面B1D1C 同理A1D 平面B1D1C 而A1D BD D 平面A1BD 平面B1D1C 2 由BD B1D1 得BD 平面EB1D1 取BB1中點(diǎn)G 得AE綊B1G 從而B1E AG 又GF綊AD AG DF B1E DF DF 平面EB1D1 又BD DF D 平面EB1D1 平面FBD 如圖所示 三棱柱ABC A1B1C1中 D是BC上一點(diǎn) 且A1B 平面AC1D D1是B1C1的中點(diǎn) 求證 平面A1BD1 平面AC1D 變式3 證明 如圖所示 連結(jié)A1C交AC1于E 四邊形A1ACC1是平行四邊形 E是A1C的中點(diǎn) 連結(jié)ED A1B 平面AC1D 平面A1BC 平面AC1D ED A1B ED E是A1C的中點(diǎn) D是BC的中點(diǎn) D1是B1C1的中點(diǎn) BD1 C1D A1D1 AD 又A1D1 BD1 D1 平面A1BD1 平面AC1D 面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用問題 往往涉及面面平行的判定 線面平行的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 解題時(shí) 要準(zhǔn)確地找到解題的切入點(diǎn) 靈活地運(yùn)用相關(guān)定理來解決問題 注意三種平行關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化 如圖所示 平面 平面 點(diǎn)A C 點(diǎn)B D 點(diǎn)E F分別在線段AB CD上 且AE EB CF FD 1 求證 EF 2 若E F分別是AB CD的中點(diǎn) AC 4 BD 6 且AC BD所成的角為60 求EF的長 例4 證明 1 當(dāng)AB CD在同一平面內(nèi)時(shí) 由 平面 平面ABDC AC 平面 平面ABDC BD AC BD AE EB CF FD EF BD 又EF BD EF 當(dāng)AB與CD異面時(shí) 設(shè)平面ACD DH 且DH AC 平面ACDH AC AC DH 四邊形ACDH是平行四邊形 在AH上取一點(diǎn)G 使AG GH CF FD 又 AE EB CF FD GF HD EG BH 又EG GF G 平面EFG 平面 EF 平面EFG EF 綜上 EF 2 解 如圖所示 連接AD 取AD的中點(diǎn)M 連接ME MF E F分別為AB CD的中點(diǎn) ME BD MF AC 且ME BD 3 MF AC 2 EMF為AC與BD所成的角 或其補(bǔ)角 EMF 60 或120 在 EFM中由余弦定理得 方法規(guī)律 1 直線和平面平行時(shí) 注意把直線和平面的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線和直線的位置關(guān)系 直線和平面平行的性質(zhì)在應(yīng)用時(shí) 要特別注意 一條直線平行于一個(gè)平面 就平行于這個(gè)平面的一切直線 的錯誤結(jié)論 2 以求角為背景考查兩個(gè)平行平面間的性質(zhì) 也可以是已知角利用轉(zhuǎn)化和降維的思想方法求解其他幾何參量 3 線面平行和面面平行的判定和性質(zhì) 4 要能夠靈活地作出輔助線或輔助平面來解題 對此需強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn) 第一 輔助線 輔助面不能隨意作 要有理論根據(jù) 第二 輔助線或輔助面有什么性質(zhì) 一定要以某一性質(zhì)定理為依據(jù) 決不能憑主觀臆斷 否則謬誤難免 高考真題 2009 福建卷 設(shè)m n是平面 內(nèi)的兩條不同直線 l1 l2是平面 內(nèi)的兩條相交直線 則 的一個(gè)充分而不必要條件是 A m 且l1 B m l1且n l2C m 且n D m 且n l2 規(guī)范解答 解析 選項(xiàng)A作條件 由于這時(shí)兩個(gè)平面中各有一條直線與另一個(gè)平面平行 不能得到 但 卻能得到選項(xiàng)A 故選項(xiàng)A是必要而不充分條件 選項(xiàng)B作條件 此時(shí)m n一定是平面 內(nèi)的兩條相交直線 否則 則推出直線l1 l2 與已知矛盾 這就符合兩個(gè)平面平行的判定定理的推論 一個(gè)平面內(nèi)如果有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線 則這兩個(gè)平面平行 故條件是充分的 但是在 時(shí) 由于直線m n在平面 內(nèi)的位置不同 只能得到m n與平面 平行 得不到m l1 n l2的結(jié)論 故條件是不必要的 故選項(xiàng)B中的條件是充分而不必要的 選項(xiàng)C作條件 由于m n只是平面 內(nèi)的兩條不同直線 這兩條直線可能相互平行 故得不到 的必然結(jié)論 這個(gè)條件是不充分的 但 卻能得到選項(xiàng)C 故選項(xiàng)C是必要而不充分條件 選項(xiàng)D作條件 由n l2可得n 平面 內(nèi)的直線m n分別與平面 平行 由于m n可能平行 得不到 的必然結(jié)論 故這個(gè)條件是不充分的 當(dāng) 時(shí) 只能得到m 但得不到n l2 故條件也不是必要的 故選項(xiàng)D中的條件是既不充分也不必要的 答案 B 本題是教材上兩個(gè)平面平行的判定定理的推論 隱含了一個(gè)必然關(guān)系 m n為相交直線 而設(shè)計(jì)出來的 目的是考查考生對兩個(gè)平面平行關(guān)系及充分必要關(guān)系的掌握 探究與研究 解本題很容易出現(xiàn)把充分而不必要條件判斷為必要而不充分條件的錯誤 問題的根源是作為選擇題 在題目的敘述上和一般問題中的敘述正好相反 在一般問題的敘述中往往是給出條件P Q后 設(shè)問P是Q的什么條件 其解決方法是看P Q Q P能不能成立 確定問題的答案 但在選擇題中卻把 P是Q的什么條件