量子力學(xué)習(xí)題集及答案.pdf

09光信息量子力學(xué)習(xí)題集 一 填空題 1 設(shè)電子能量為4電子伏 其德布羅意波長為 6 125 2 索末菲的量子化條件為 應(yīng)用這量子化條件求得一 維諧振子的能級 3 德布羅意假說的正確性 在1927年為戴維孫和革末所做 的 電 子衍射實驗所證實 德布羅意關(guān)系 公式 為 和 4 三維空間自由粒子的歸一化波函數(shù)為 5 動量算符的歸一化本征態(tài) 6 t 0時體系的狀態(tài)為 其中為一維線性諧振子的定態(tài)波函 數(shù) 則 7 按照量子力學(xué)理論 微觀粒子的幾率密度 幾率 流密度 8 設(shè)描寫粒子的狀態(tài) 是 粒子的幾率密度 在中的 平均值為 9 波函數(shù)和是描寫 同一 狀態(tài) 中的稱為 相因子 不影響波函數(shù)的歸一化 因為 10 定態(tài)是指 能量具有確定值 的狀態(tài) 束縛態(tài)是指 無窮遠處波函數(shù)為零 的狀態(tài) 11 是定態(tài)的條件是 這時幾率密度和 幾率密度 都與時間無關(guān) 12 粒子在能量小于勢壘高度時仍能貫穿勢壘的現(xiàn)象 稱為隧道效應(yīng) 13 無窮遠處波函數(shù)為零 的狀態(tài)稱為束縛態(tài) 其能量 一般為 分立 譜 14 3 t 0時體系的狀態(tài)為 其中為一維線性諧振子的定態(tài) 波函數(shù) 則 15 粒子處在的一維無限深勢阱中 第一激發(fā)態(tài)的能量為 第一激發(fā)態(tài)的波函數(shù)為 16 基態(tài)是指 能量最低 的狀態(tài) 寫出一維線性諧振子 的基態(tài)波函數(shù) 17 一維線性諧振子的第一激發(fā)態(tài)的能量為 第一激發(fā) 態(tài)的波函數(shù)為 18 對應(yīng)于同一本征值的本征函數(shù)的數(shù)目 稱為簡并 度 不考慮電子自旋時 氫原子的第n個能級的簡并度為 n2 19 一維無限深勢阱第n個能級的簡并度為 1 不考慮 電子自旋時 氫原子的第n個能級的簡并度為 n2 20 一維線性諧振子第n個能級的簡并度為 1 考慮電 子自旋以后 氫原子的第n個能級的簡并度為 2n2 21 氫原子的狀態(tài)為 角動量平方是 角動量分量是 22 厄密算符的定義是 對于兩任意函數(shù)和 等式 成 立 23 力學(xué)量算符的本征值必為 實數(shù) 力學(xué)量算符的屬 于兩個不同本征值的本征態(tài)必 相互正交 24 力學(xué)量算符的屬于 不同本征值 的本征函數(shù)必相互 正交 25 量子力學(xué)中 力學(xué)量算符都是 厄米 算符 力學(xué)量 算符的本征函數(shù)組成 完全 系 26 算符在其自身表象中的矩陣為 對角 矩陣 例如在 表象中 27 如果 0 則存在組成 完全 系的共同本征態(tài) 的 共同本征態(tài)是 28 如果存在有組成 完全 系的共同本征態(tài) 則 0 的共同本征態(tài)是 29 對易子 30 31 0 32 能量與時間的測不準關(guān)系是 和的測不準關(guān)系是 33 在一維情況下 若粒子處于狀態(tài)中 則在動量表象中的 波函數(shù)為 34 一維線性諧振子處在的本征態(tài)的迭加態(tài)中 則在表象中 一維線性諧振子的波函數(shù)為 0 0 3 5 0 4 5 0 35 斯特恩 革拉赫證實電子具有 自旋 角動量 它在 任何方向上投影只能取兩個值 和 36 37 0 0 38 在表象中 粒子處在自旋態(tài)中 39 在表象中 粒子處在自旋態(tài)中 40 在表象中 則在狀態(tài)中 41 全同性原理的內(nèi)容是 在全同粒子組成的體系中 兩 全同粒子相互代換不引起物理狀態(tài)的改變 42 泡里原理的內(nèi)容是 不能有兩個或兩個以上的費密子 處于同一狀態(tài) 43 描寫電子體系的波函數(shù)只能是 反對稱 波函 數(shù) 而電子體系的自旋波函數(shù)則可以是 對稱 或者 反對稱 的 44 電子是 費密 子 服從 費密 狄拉克 統(tǒng)計 描 寫電子體系的波函數(shù)只能是 反對稱 波函數(shù) 45 描寫玻色子體系的波函數(shù)只能是 對稱 波函數(shù) 而 玻色子體系的自旋波函數(shù)則可以是 對稱 或者 反 對稱 的 46 描寫費密子體系的波函數(shù)只能是 反對稱 波函數(shù) 而費密子體系的自旋波函數(shù)則可以是 對稱 或者 反對稱 的 47 光子是 玻色 子 服從 玻色 愛因斯坦 統(tǒng)計 描寫光子體系的波函數(shù)只能是 對稱 波函數(shù) 二 計算 證明題 1 粒子在一維勢場中運動 試從薛定諤方程出發(fā)求出粒子的定態(tài)能 級和歸一化波函數(shù) 解 當 當 令 得 2 一粒子在一維勢場中運動 試求粒子的能級和歸一化定態(tài)波函數(shù) 準確解 解 令 則 3 一粒子在硬壁球形空腔中運動 勢能為 試從薛定諤方程出發(fā)求粒子在態(tài)中的能級和定態(tài)波函數(shù) 不必歸一 化 提示 在態(tài)中 解 當 當 令 得 有限 4 粒子在一維勢場中運動 試從薛定諤方程出發(fā)求出粒子的定態(tài) 能級和歸一化波函數(shù) 解 1 當 當 令 得 5 利用力學(xué)量算符本征函數(shù)的正交歸一完全性 證明 式中 為本征值 解 6 求證 如果算符和有一組共同本征態(tài) 而且組成完全系 則算符 和對易 解 設(shè)任一波函數(shù)可展開為 7 求證 力學(xué)量算符的屬于兩個不同本征值的本征態(tài)相互正交 解 設(shè)當時 代入 得 8 證明力學(xué)量算符的本征值必為實數(shù) 解 設(shè) 在 中 令 得 9 證明 力學(xué)量在任意態(tài)中的平均值為實數(shù) 解 設(shè)已歸一化 則 10 粒子處在的一維無限深勢阱中的基態(tài) 設(shè)t 0時阱壁突然運動 到 求此時粒子處于基態(tài)的幾率 解 11 設(shè)粒子的狀態(tài)為 求粒子動量和動能的可能值及相應(yīng)的幾率 解 由 得 動量的可能值為 對應(yīng)幾率為 動能的可能值為 對應(yīng)幾率為 12 求證 證明 13 求證 解 3分 14 求證 解 15 求的本征值和歸一化本征態(tài) 解 16 在表象中 1 求出的本征值和本征態(tài) 2 求在態(tài)中測得的幾 率 解 1 對應(yīng)的本征為 2 17 設(shè) 1 為的本征態(tài) 對應(yīng)的本征值為 求證 也是的本征 態(tài) 并求出對應(yīng)的本征值 解 所以 也是的本征態(tài) 對應(yīng)的本征值為 18 一維線性諧振子處于基態(tài) 求該諧振子的動量處于內(nèi)的幾率 提示 解 內(nèi)的幾率為 19 一維線性諧振子處于基態(tài) 求該諧振子在動量表象中的波函數(shù) 提示 解 20 在表象中 1 求出的本征值和本征態(tài) 2 求在態(tài)中測得的幾 率 解 1 對應(yīng)的本征為 2 21 設(shè)氫原子的狀態(tài)為 求 1 能量 的可能值和相應(yīng)幾率 2 能量 的平均值 解 由得 能量有兩種可能值 相應(yīng)幾率分別為 有兩種可能值 相應(yīng)幾率分別為 有兩種可能值 相應(yīng)幾率分別為 22 設(shè)氫原子的狀態(tài)為 求 1 氫原子能量 角動量平方 角動量分量的可能值和相應(yīng)幾 率 2 氫原子能量 角動量平方 角動量分量的平均值 解 由得 1 能量有兩種可能值 相應(yīng)幾率分別為 有兩種可能值 相應(yīng)幾率分別為 有兩種可能值 相應(yīng)幾率分別為 2 23 設(shè)氫原子的狀態(tài)為 求 1 能量E 軌道角動量z分量自旋角動量z分量的可能值和相應(yīng)幾 率 2 能量E 軌道角動量z分量自旋角動量z分量的平均值 解 1 能量有兩種可能值 相應(yīng)幾率分別為 有兩種可能值 相應(yīng)幾率分別為 有兩種可能值 相應(yīng)幾率分別為 2 24 設(shè)氫原子的狀態(tài)為 求 1 能量 的可能值和相應(yīng)幾率 2 能量 的平均值 由得 1 能量有兩種可能值 相應(yīng)幾率分別為 有兩種可能值 相應(yīng)幾率分別為 有兩種可能值 相應(yīng)幾率分別為 2 25 一量子體系沒有受微擾作用時有三個非簡并能級 假設(shè)微擾矩 陣為 試用微擾論計算體系的能級至二級修正 解 n 1 2 3 26 一量子體系沒有受微擾作用時有三個非簡并能級 假設(shè)微擾矩 陣為 試用微擾論計算體系的能級至二級修正 解 n 1 2 3 27 一量子體系沒有受微擾作用時有三個非簡并能級