數(shù)形結合思想在小學數(shù)學中的應用.doc

學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考德宏師范高等?？茖W校畢業(yè)論文系部：數(shù)學系姓名：李 宏學號：20130732103 班級：2013級初等教育理科1班目錄【摘 要】1【關鍵詞】數(shù)形結合；小學數(shù)學；教學應用1引 言11數(shù)學結合思想的簡要概述11.1數(shù)形結合思想的涵義11.2數(shù)形結合在數(shù)學中的應用范圍22數(shù)形結合在小學數(shù)學中的意義和價值22.1數(shù)形結合是開啟數(shù)學大門的金鑰匙22.1.1數(shù)形結合是形成概念的好幫手22.1.2數(shù)形結合深化課堂知識目標化解難點32.2數(shù)形結合有助于知識的理解和記憶42.3數(shù)學結合有利于培養(yǎng)小學生的數(shù)學能力52.3.1“數(shù)形結合形”發(fā)展學生的空間觀念，培養(yǎng)學生初步的邏輯思維能力52.32數(shù)形結合提高了小學生學習數(shù)學的趣味性52.3.3能夠增強學生學習數(shù)學的自信心63數(shù)形結合在小學數(shù)學中的應用73.1巧用數(shù)形結合，形成概念教學73.2巧用數(shù)形結合，突破幾何難點93.3巧用數(shù)形結合，解決實際問題94在運用數(shù)形結合教學中，應注意的問題104.1教師應更新教學觀念104.2要培養(yǎng)學生運用數(shù)形結合思想的學習習慣114.3充分發(fā)揮多媒體技術的作用11【參考文獻】12學習資料數(shù)形結合思想在小學數(shù)學教學中的應用【摘 要】數(shù)形結合思想是一種重要的數(shù)學思想，數(shù)形結合在數(shù)學中應用廣泛，新教材也在結合數(shù)形結合思想來編寫。本文主要研究了四個方面的問題：一是數(shù)學結合思想的簡要概述；二是數(shù)形結合在小學數(shù)學中的意義和價值；三是數(shù)形結合在小學數(shù)學中的應用；四是在運用數(shù)形結合教學中，應注意的問題?！娟P鍵詞】數(shù)形結合；小學數(shù)學；教學應用引 言：小學數(shù)學教學的根本任務是全面提高學生素質，其中最重要的是思維素質，而數(shù)學思想方法是增強學生數(shù)學觀念、形成良好思維素質的關鍵。隨著小學數(shù)學教學改革的不斷深入，小學數(shù)學的教學模式更加多樣化，傳統(tǒng)的教學模式已經(jīng)逐漸被取代。在多媒體教學的加入下，小學數(shù)學中的抽象概念變得形象，生動學生的數(shù)學邏輯思維能力以及創(chuàng)新能力也是顯著提升。數(shù)形結合思想在數(shù)學中得到了充分的重視。運用數(shù)形結合的方法，可以直現(xiàn)感知抽象的理論及概念，避免機械記憶，使枯燥的名詞真正地活起來，看得見，更有助于學生掌握知識。新課程標準修改后,將“雙基”改為了“四基”，即基礎知識、基本技能、基本思想方法、基本活動經(jīng)驗1，說明人們已經(jīng)意識到數(shù)學思想方法的重要性。這一轉變并不是偶然，而是縱觀小學數(shù)學學習內(nèi)容和小學生的認知特點而決定的。常用的數(shù)學思想方法：對應思想、假設思想、比較思想、符號化思想、類比思想、轉化思想、分類思想、集合思想及數(shù)形結合思想等。本文就數(shù)形結合思想進行討論。1數(shù)學結合思想的簡要概述 我國數(shù)學家張廣厚曾說過：“抽象思維如果脫離直觀，一般是很 有限度的。同樣，在抽象中如果看不出直觀，一般說明還沒有把握住問題的實質?！边@句話深刻闡明了“數(shù)形結合”的思想2。依據(jù)數(shù)學課程標準中“變注重知識獲得的結果為知識獲得的過程”的教育理念，我以學生發(fā)展為立足點，以自主探索為主線，以求異創(chuàng)新為宗旨，采用多媒體輔助教學，運用設疑激趣直觀演示，實際操作等教學方法，引導學生動手操作、觀察辨析、自主探究，讓學生全面、全程地參與到每個教學環(huán)節(jié)中，充分調(diào)動學生學習的積極性，培養(yǎng)學生的自主學習、合作交流、解決實際問題的能力。1.1數(shù)形結合思想的涵義 數(shù)、形是一個數(shù)學事物兩個方面的基本屬性。數(shù)形結合思想的實質是數(shù)字與形狀一一對應的數(shù)學關系。數(shù)形結合能夠將抽象的數(shù)學語言、復雜的數(shù)量關系、直觀的數(shù)學圖形、清晰的位置關系一一結合起來，將抽象的數(shù)學問題具體化、形象化，將復雜的數(shù)學問題簡單化和明了化。并以此培養(yǎng)學生的抽象思維、空間想象思維和邏輯思維等。1.2數(shù)形結合在數(shù)學中的應用范圍數(shù)形結合思想在數(shù)學的解題方法中十分常見，在數(shù)學領域應用十分廣泛。數(shù)形結合思想可以應用于集合問題、函數(shù)問題、方程與不等式問題、三角函數(shù)問題、線性規(guī)劃問題、數(shù)列問題、解析幾何問題、立體幾何問題等諸多方面的數(shù)學問題。在小學數(shù)學中數(shù)形結合思想可以具體應用于相遇問題、追及問題、和差問題、和倍問題、工程問題、分數(shù)應用題、比例應用題、代數(shù)問題、圖形與幾何問題、簡單的統(tǒng)計問題、列方程解應用題等一系列的問題。2數(shù)形結合在小學數(shù)學中的意義和價值 我國的數(shù)學課程改革隨著教育改革的推進也在不斷發(fā)展與深入，因此數(shù)學方法的研究與應用對于數(shù)學教學研究意義重大。數(shù)形結合的數(shù)學思想則能很好地培養(yǎng)小學生的抽象思維能力與直觀推理能力，對于數(shù)學課堂教學意義重大。眾所周知，全球已經(jīng)漸漸進入了知識經(jīng)濟時代，我國迫切需要大量德才兼?zhèn)涞膭?chuàng)新型人才，這些人才來源于我國的基礎教育，因此我國應重視小學數(shù)學課堂，重視小學基礎教育，培養(yǎng)應該從小學開始。2.1數(shù)形結合是開啟數(shù)學大門的金鑰匙小學生的思維是以形象思維力主，逐步向抽象思維過渡的。有些數(shù)學內(nèi)容學習起來比較抽象，小學生不容易掌握，利用數(shù)形結合思想引導學生以“形”思“數(shù)”，可以幫助學生建立數(shù)感，構建直觀的知識概念體系，利用數(shù)形結合，開啟了學習數(shù)學的大門！2.1.1數(shù)形結合是形成概念的好幫手數(shù)形結合形成概念的好幫手,形成概念就是學生從許多具體事例中以歸納的方式概括出一類事例的本質屬性。學生不能形成概念主要是因為沒有經(jīng)歷“將豐富的感性材料加以去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里”的改造過程，數(shù)形結合能使比較抽象的概念轉化為清晰、具體的事物，從而讓學生更好地發(fā)現(xiàn)事例的本質屬性或規(guī)律?！景咐?】“三角形的認識”一課，可以這樣引導學生形成概念：交流：這節(jié)課重點研究三角形( 板書：三角形) ，你在哪里見過三角形? 你對三角形已經(jīng)有哪些了解?引導：你會畫三角形嗎? 請閉上眼睛用彩色筆在紙上畫一個大小適中的三角形。展示：選擇三幅典型的圖。分析：這三幅圖是你印象中的三角形嗎? 為什么?交流：圖形( 1) 中三條邊不是線段，圖形( 2) 不是封閉圖形，圖形( 3) 中 兩條線段的端點沒有重合。思考：你認為三角形是怎樣一種圖形? 三角形板書：由三條線段圍成的圖形 ( 每相鄰兩條線段的端點相連 ) 叫三角形。評析：利用數(shù)形結合，幫助學生很快形成了“三角形是怎樣一種圖形 ”的概念。2.1.2數(shù)形結合深化課堂知識目標化解難點教學目標的確定是教學設計的核心， 深化課堂目標往往要借助于形象直觀的事物，從教學實踐入手，達到具有可操作性、具體的目標。【案列1】如長方體的認識一課中，找找長方體的面、棱長、頂點的特征 分析：如圖出示長方體，讓學生通過小組合作， 找出長方體的特征：長寬高，6個面，12條棱，8個頂點。 學生在理解長方體特征后，對后來求長方體的表面積有很大的幫助，例如計算抽屜、柱子的表面積時，先弄清這樣的長方體有幾個面，就計算幾個面的面積。 在小學數(shù)學教學中，數(shù)形結合能不失時機地為學生提供恰當?shù)男蜗蟛牧?，可以將抽象的?shù)量關系具體化，把無形的解題思路形象化，不僅有利于學生順利地、高效率地學好數(shù)學知識，更有利于學生學習興趣的培養(yǎng)、智力的開發(fā)、能力的增強，為學生今后的數(shù)學學習打下堅實的基礎。2.2數(shù)形結合有助于知識的理解和記憶由于數(shù)學語言比較抽象，而圖形語言則比較形象。利用圖形語言進行記憶速度快，記得牢。笛卡爾曾說：“沒有任何東西比幾何圖形更容易印入腦際了。因此，用這種方式來表達事物是非常有益的?！蓖瑫r，由于圖象是“形象”的，語言是“抽象”的，因此對圖形的記憶往往保持得比較牢固?！景咐?】有輛汽車自甲地駛向乙地，先上坡后平地，然后下坡，汽車上坡速度為 20km/h，下坡速度為 40km/h，平地速度為 30km/h，汽車自甲地駛向乙地共用 6h，平地用2h，下坡用 4h，問汽車自乙地駛向甲地 需要花多少時間？分析：這道題當中有變量，也有不變量，不變量是平地及汽車的行駛速度，變量是上坡路和下坡路，當汽車自乙地駛向甲地時，原先的上坡路變?yōu)橄缕侣?，下坡路變?yōu)樯掀侣?。根?jù)此特點，教師可為學生畫以下圖形： 示意圖為：甲地到乙地 通過圖形學生就可迅速理解上坡路變?yōu)橄缕?路，下坡路變?yōu)樯掀侣罚瑥亩愠鲎砸业伛傁蚣椎氐纳掀聲r間為：（404）20=8h 下坡時間為：（206） 40=3h平地時間不變，因此汽車自乙地駛向甲地所用時間為 ：8+3+2=13h.評析：在此解題過程當中，首先圖形 就吸引了學生的眼球，激發(fā)了學生的學習興趣；其次利用圖形可幫助學生建立了數(shù)學情感，使學生更容易理解上、下坡的轉變，提高了學生的學習效率。一個簡單的圖象就能表達復雜的思想，因此圖象語言有助于數(shù)學思維的表達。在數(shù)學中，有時看到學生遇到難題百思不得其解時，如能畫個草圖稍加點拔，學生往往思路大開。充分發(fā)揮了圖象語言的優(yōu)越性。2.3數(shù)學結合有利于培養(yǎng)小學生的數(shù)學能力數(shù)形滲透思想有利于培養(yǎng)小學生的數(shù)學能力。首先，數(shù)形滲透思想能夠幫助提高小學生的算理能力。計算貫穿于小學生數(shù)學學習的整個過程，計算能力是小學生的必要基本技能。因此，教師必須在課堂中融入數(shù)形滲透的生運用感官對于抽象事物進行分析與理解，從而形成獨特的抽象思維能力【3】。2.3.1“數(shù)形結合形”發(fā)展學生的空間觀念，培養(yǎng)學生初步的邏輯思維能力數(shù)形滲透思想能夠培養(yǎng)小學生的數(shù)學抽象思維能力。小學階段的抽象思維能力的培養(yǎng)基本依賴于數(shù)學，是小學生數(shù)學能力的重要組成部分。而數(shù)形結合滿足了小學生對于直觀圖像進行觀察與分析的認知需求，能夠協(xié)助小學生運用感官對于抽象事物進行分析與理解，從而形成獨特的抽象思維能力?！景咐?】教學“體積”概念。 讓學生觀察一塊橡皮和一個鉛筆盒，提問：哪個大，哪個??？ 又出示一個魔方和一個骰子，提問：那個大，那個??？分析：通過觀察物體，學生對物體的大小有了感性認識。 接著我在一個盛有半杯水的玻璃杯里慢慢加入一塊石頭。 學生觀察到，隨著石頭的投入，杯中的水位不斷上升。評析：玻璃杯里的水位為什么會上升？學生從這一具體事例中獲得了物體占有空間的表象。學生很自然地領悟了“物體所占空間的大小叫體積”這一概念。 為了進一步使概念在應用中得到鞏固， 在盛滿水的玻璃杯里放石子，學生看到水溢了出來，然后啟發(fā)學生：你發(fā)現(xiàn)了什么？ 學生思考后提出：杯里溢出的水 的多少與放進去的石子有什么關系？ 經(jīng)過討論得出：從杯里溢出水的體積等于石子的體積。 至此，學生不僅認識了概念，而且學會了應用概念。一般來說是從直接感知到表象，再到形成科學概念的過程。 表象介于感知和形成科學概念之間，抓住這中間環(huán)節(jié)，在幾何初步知識教學中，發(fā)展學生的空間觀念， 培養(yǎng)初步的邏輯思維能力，具有十分重要意義。2.32數(shù)形結合提高了小學生學習數(shù)學的趣味性數(shù)形結合能夠提升數(shù)學教學的趣味性，便于學生理解面對一些較為繁瑣的數(shù)學問題，使用數(shù)形結合的方法，可以在很大程度上提高數(shù)學教學的趣味性，使繁瑣的數(shù)學問題變得更加簡單，這樣不但為學生解題提供了便利，而且還可以大大激發(fā)學生學習數(shù)學知識的興趣， 從而為提高數(shù)學成績打下扎實的基礎。 【案例1】在一次數(shù)學練習課中，老師出了如下一題: 一塊長 1 米 20 厘米、 寬 90 厘米的長方形鋁片，剪成直徑為 30 厘米的圓片，最多可以剪幾塊? 學生列式為 120903.14(30/2)215( 塊) 大家都以為這樣列式是對的。原因是學生從已有知識出發(fā)，按常規(guī)的解題思路，用長方形面積除以圓的面積。分析：師: 這個算式是錯誤的。請同學們想一想為什么錯了呢? 到底應該怎樣解?同學們陷入了沉思: 我們認為是對的，為什么老師說是錯誤的呢? 究竟應該怎樣解呢?當學生經(jīng)過苦苦思索，不得其解時，正是老師啟發(fā)誘導的極好時機。 這時教師予以點撥: 請同學們聯(lián)系生活實際進行思考，看看有沒有不同的解法? 這一誘導掀起了學生的思維浪潮，大家七嘴八舌，議論紛紛。幾分鐘后，一個學生舉手發(fā)言我列算式： (12030)(9030)=12(塊) 于是老師請這位學生說說是怎樣想的，他上講臺在黑板上邊畫圖邊說算理，說得思路清晰、算理明白。 解決此類問題，最好應用數(shù)形結合的方法，畫一下圖，這題算理是長方形的長120厘米是這個圓的直徑30厘米的4倍，寬90厘米是這個圓直徑30厘米的3倍，也就是在這個長方形里， 橫著剪，一排只能剪4個圓; 豎著剪，一列只能剪3個圓，這個長方形最多只 能剪 34 = 12(個) 這樣的圓。評析：在整個交流過程中，“數(shù)”借助“形”輕而易舉地解除了學生的困惑，使大家實實在在體驗到了數(shù)形結合方法的魔力。在上述案例中，用數(shù)形結合的方法，以圖形的方式展現(xiàn)出來。這樣處理，一方面使學生體會到數(shù)學的奇妙性和趣味性，另一方面也感受到數(shù)形結合的直觀性與便捷性。大大提高了小學生學習數(shù)學的趣味性。2.3.3能夠增強學生學習數(shù)學的自信心數(shù)學是一門抽象性及邏輯性較強的學科，在解決數(shù)學問題過程中，由于數(shù)學問題的復雜性，小學生往往很難及時找到有效的解題方法，從而導致小學生在很大程度上失去對學習數(shù)學知識的興趣。而充分利用好數(shù)學結合方法，不但可以為學生解決數(shù)學問題帶來便利，而且還能夠提高他們的思維能力，從而為今后的學習起到有效的推動作用。3數(shù)形結合在小學數(shù)學中的應用新課標明確表示要讓學生“經(jīng)歷運用數(shù)學符號和圖形描述現(xiàn)實世界的過程，形成初步的數(shù)學思想，掌握正確的解題方法，并加以運用”。由此可見新課標對學生實際運用能力培養(yǎng)的重視【4】。因此，還要注重對學生知識的遷移。在教學中，教師要善于引導學生培養(yǎng)數(shù)形結合思想，使學生在學習實踐中能夠化難為易，化繁為簡，讓看似繁瑣的問題變得簡潔，這樣，不僅對于學生解答數(shù)學問題具有積極的意義，對于發(fā)展學生的數(shù)學思維，提高學生的解題能力，促進學生思維的發(fā)展具有重要作用。3.1巧用數(shù)形結合，形成概念教學數(shù)學概念是知識教學中的重要組成部分，但它的抽象性、枯燥性使得教學效果不盡如人意。借助直觀的圖形可以將概念教學趣味化、形象化，從而幫助學生在輕松、愉快的學習氛圍中理解概念的形成過程。例如，“近似數(shù)”一課中，讓學生掌握用“四舍五入法”求一個數(shù)的近似數(shù)是本節(jié)課的教學重點。許多教師通常直接告訴學生“四舍五入法”這一概念，然后通過大量的練習強化求近似數(shù)的方法。這時，我們不妨反思：學生做對了是 否表明學生已經(jīng)很好地理解了“四舍五入法”的含義呢？是否有部分學生的解題活動完全建立在對概念的機械模仿上呢？事 實上，這種機械模仿的情況是客觀存在的。如何幫助學生從本質上理解“四要舍、五要入”的意義呢？想到把直觀簡單的圖形引入這節(jié)課，力求幫助學生搭建理解新知的腳手架。在學生初步感知了“近似數(shù)”的定義后，展開了如下的教學?！景咐?】師：請看大屏幕，31 到 39 這 9 個數(shù)選擇最近的路，它們分別去誰的家？33304 40 31 32 33 34 35 36 37 38 39分析：生 1：31 靠近 30，會去 30 的家。師：我們就說 31 的近似數(shù)是 30，記作 3130，讀作 31 約等于 30。（師板書：3130）師：在 31 與 39 之間，還有哪些數(shù)接近 30 呢？（生回答出32、33、34，師板書相應的式子） 師：哪些數(shù)靠近 40 呢？（生回答出 39、38、37、36，師也板書出相應的式子）師：35 呢？生 2：35 到 30 和 40 的家一樣近，兩個家都可以去。 師：有道理！有沒有不同的想法？生 3：我們在學習除數(shù)是兩位數(shù)的除法時，把 35 看作 40 來試商的。師：說得好！35 的近似數(shù)到底是多少呢？為了不讓 35 為難，數(shù)學家規(guī)定讓 35 去 40 家，3540（板書）。請大家仔細觀察這些式子，你有什么發(fā)現(xiàn)？ 生 4：當末尾是 1、2、3、4 時，舍去后變成 30；當末尾是 5、6、 7、8、9 時，就要進 1 變成 40。師：末尾數(shù)除了 1 到 9 之外，還可能是 0。這時，是直接舍 去還是往前進一呢？（師出示 601 到 609 這九個數(shù)，讓學生分別 說出它們接近哪個整百數(shù)，在此基礎上，引導學生概括出“四舍 五入法”的涵義）評析：在以上的教學環(huán)節(jié)中，通過給 31 到 39 這九個數(shù)找最近的家，把四舍五入放到數(shù)軸上展開學習，利用數(shù)形結合幫助學生建立一個形象的數(shù)學模型，從而加深了學生對“四舍五入法”的理解，更加充分理解了“四舍五入法”這一概念。3.2巧用數(shù)形結合，突破幾何難點“形”與“數(shù)”是相輔相成的，在很多圖形中往往都蘊含著一 定的數(shù)量關系，尤其在解答某些復雜的幾何圖形題時，用數(shù)量關系來表示就會簡單許多。這就需要教師運用到“轉化”的思想，運用數(shù)形結合的方法【5】，將待解決的問題轉化成容易解決的問題，幫助解答?！景噶?】 如圖，圓周長為 12.56 厘米，請你計算圓的面積是多少平方厘米？分析：師：同學們，想要求出圓的面積，需要知道哪些信息？生1：圓的半徑；生2：圓的直徑也可以；生3：知道圓的周長也能算出圓的面積；師：真巧，題目告訴你的正是圓周長為 12.56 厘米，請你計算圓的面積？列式：12.563.142=2（厘米） 3.1422=12.56（平方厘米）師：求三角形 AOB 面積呢？至少知道哪些條件？生 1：底和高師：可老師只知道底 AB 的長度為 5.4 厘米，三角形 AOB 的面 積怎么求？列式：5.422=5.4（厘米 2）評析：將圖形進行轉換，讓學生從不同的思路思考問題，不僅實現(xiàn)了“數(shù)”“形”互譯，更有助于逐步學生從最直接的感知發(fā)展到較為抽象的數(shù)學知識，提高解決實際幾何問題的能力。3.3巧用數(shù)形結合，解決實際問題 在解決數(shù)學問題時利用數(shù)形結合的思想，以圖形來表現(xiàn)出來，然后再利用圖形,來解決問題?！景咐?】解決小學數(shù)學數(shù)學廣角“雞兔同籠”，題目是今有雞兔同籠，上有 20 個頭、下有54 條腿，問雞、兔各幾只？分析：根據(jù)題目可引導學生畫如下圖：（1）畫20個頭 （2）每個頭上添上2只腿 （3）再添上剩余的14條腿由圖可明顯看出籠中有 7 只兔、13 只雞。接著可引導學生探究其中的數(shù)量關系；假設籠中所有的都是雞，那么總共就應有 40 條腿，那么剩余 14 條腿就可每兩條“按”在雞上變成 4 條腿的兔子。變樣就可知道兔子總共有14(4-2)=7（只），而雞有20-7=13（只）.綜合算式就為：54-202(4-2）.評析：對于此問題的解決教學策略書上采取的是列表嘗試法，但是若能采取“數(shù)形互譯”法，那么小學生也能解答此題，而且還能得出其中的數(shù)量關系。小學生認知水平和理解能力有限，對于數(shù)學方面的一些抽象的問題理解起來比較困難，而“數(shù)形結合”實現(xiàn)了數(shù)量與圖形的巧妙融合，把抽象數(shù)量關系用最恰當、最清晰的圖形表示出來，化抽象為直觀、化繁雜為簡單、化隱含為顯見，采用數(shù)形結合，讓學生通過想想畫畫再想想再畫畫，幫助學生理解，這樣問題就迎刃而解。4在運用數(shù)形結合教學中，應注意的問題在小學的數(shù)學課堂中，需要老師為學生講授晦澀難懂的數(shù)學知識。教師運用圖形將抽象的數(shù)量關系直觀化，可以幫助學生更好地運用數(shù)形結合思想。如何更好地在課堂中滲入數(shù)形結合思想呢？值得我們深思。數(shù)形結合思想的運用可幫助學生更易于理解所學知識，從而從根本上提高小學數(shù)學的課堂教學效率，但是在具體的運用過程當中還注意一些問題。4.1教師應更新教學觀念 首先，是教師要更新教學觀念。知識經(jīng)濟的發(fā)展對于青年人才提出了更高的素質要求，傳統(tǒng)的數(shù)學教育已經(jīng)不能滿足素質教育對于小學教學改革的需求了。這就要求教師擺脫傳統(tǒng)的教學觀念，不僅要為學生傳輸基礎知識，更要注重學生能力與品質的培養(yǎng)。要求數(shù)學教師從思想上不斷提高對滲透數(shù)學思想方法重要性的認識，把掌握數(shù)學知識和滲透數(shù)學思想方法同時納入教學目的，把數(shù)學思想方法教學的要求融入備課環(huán)節(jié)。4.2要培養(yǎng)學生運用數(shù)形結合思想的學習習慣 要想充分發(fā)揮數(shù)形結合思想的作用，不但需要教師在小學數(shù)學教學過程當中運用數(shù)形結合思想，還需要培養(yǎng)學生運用數(shù)形結合思想的學習習慣。有些小學生在做題時經(jīng)常會