含參數(shù)的一元二次不等式的解法以及含參不等式恒成立問題(專題).doc

含參數(shù)的一元二次不等式的解法 解含參數(shù)的一元二次不等式，通常情況下，均需分類討論，那么如何討論呢？對含參一元二次不等式常用的分類方法有三種： 一、按項的系數(shù)的符號分類，即;例1 解不等式： 分析：本題二次項系數(shù)含有參數(shù)，故只需對二次項系數(shù)進行分類討論。 解：解得方程 兩根當時,解集為當時，不等式為,解集為當時, 解集為 例2 解不等式分析 因為，所以我們只要討論二次項系數(shù)的正負。解 當時，解集為；當時，解集為二、按判別式的符號分類，即；例3 解不等式分析 本題中由于的系數(shù)大于0,故只需考慮與根的情況。解： 當即時，解集為；當即0時，解集為；當或即,此時兩根分別為，顯然, 不等式的解集為 例4 解不等式 解 因所以當，即時，解集為；當，即時，解集為；當，即時，解集為R。三、按方程的根的大小來分類，即；例5 解不等式分析：此不等式可以分解為：，故對應的方程必有兩解。本題只需討論兩根的大小即可。解：原不等式可化為：，令，可得：當或時， ，故原不等式的解集為；當或時，,可得其解集為；當或時, ,解集為。例6 解不等式， 分析 此不等式，又不等式可分解為，故只需比較兩根與的大小.解 原不等式可化為：，對應方程的兩根為 ，當時，即，解集為；當時，即，解集為含參不等式恒成立問題的求解策略“含參不等式恒成立問題”把不等式、函數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容有機地結(jié)合起來，其以覆蓋知識點多，綜合性強，解法靈活等特點而倍受高考、競賽命題者的青睞。另一方面，在解決這類問題的過程中涉及的“函數(shù)與方程”、“化歸與轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”等數(shù)學思想對鍛煉學生的綜合解題能力，培養(yǎng)其思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨到的作用。本文就結(jié)合實例談談這類問題的一般求解策略。一、判別式法若所求問題可轉(zhuǎn)化為二次不等式，則可考慮應用判別式法解題。一般地，對于二次函數(shù),有1）對恒成立; 2）對恒成立 例1：若不等式的解集是R，求m的范圍。解析：要想應用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項系數(shù)含有參數(shù)m，所以要討論m-1是否是0。（1）當m-1=0時，元不等式化為20恒成立，滿足題意；（2）時，只需，所以，。例2已知函數(shù)的定義域為R，求實數(shù)的取值范圍。解：由題設可將問題轉(zhuǎn)化為不等式對恒成立，即有解得。所以實數(shù)的取值范圍為。若二次不等式中的取值范圍有限制，則可利用根的分布解決問題。二、最值法 將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題的一種處理方法，其一般類型有：1）恒成立2）恒成立例3、若時，不等式恒成立，求的取值范圍。解：設，則問題轉(zhuǎn)化為當時，的最小值非負。（1） 當即：時， 又所以不存在；（2） 當即：時， 又 （3） 當 即：時， 又綜上所得：例4函數(shù)，若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：若對任意，恒成立，即對，恒成立，考慮到不等式的分母，只需在時恒成立而得而拋物線在的最小值得注：本題還可將變形為，討論其單調(diào)性從而求出最小值。例5：在ABC中，已知恒成立，求實數(shù)m的范圍。解析：由，恒成立，即恒成立，例6：求使不等式恒成立的實數(shù)a的范圍。解析：由于函，顯然函數(shù)有最大值，。三、分離變量法若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強。一般地有：1）恒成立2）恒成立。 例7、已知時，不等式恒成立，求的取值范圍。解：令， 所以原不等式可化為：，要使上式在上恒成立，只須求出在上的最小值即可。 例8、已知函數(shù)，若對任意恒有，試確定的取值范圍。解：根據(jù)題意得：在上恒成立，即：在上恒成立，設，則當時， 所以例9已知函數(shù)時恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解： 將問題轉(zhuǎn)化為對恒成立。令，則由可知在上為減函數(shù)，故即的取值范圍為。注：分離參數(shù)后，方向明確，思路清晰能使問題順利得到解決。四、變換主元法處理含參不等式恒成立的某些問題時，若能適時的把主元變量和參數(shù)變量進行“換位”思考，往往會使問題降次、簡化。例10對任意，不等式恒成立，求的取值范圍。分析：題中的不等式是關于的一元二次不等式，但若把看成主元，則問題可轉(zhuǎn)化為一次不等式在上恒成立的問題。解：令，則原問題轉(zhuǎn)化為恒成立（）。 當時，可得，不合題意。當時，應有解之得。故的取值范圍為。注：一般地，一次函數(shù)在上恒有的充要條件為。例11、若不等式對滿足的所有都成立，求的取值范圍。解：設，對滿足的，恒成立， 解得：五、數(shù)形結(jié)合法數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”，這充分說明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用。我們知道，函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系：1）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象上方；2）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象下上方。x-2-4yO-4例12設 , ,若恒有成立,求實數(shù)的取值范圍. 分析：在同一直角坐標系中作出及 的圖象 如圖所示，的圖象是半圓 的圖象是平行的直線系。要使恒成立，則圓心到直線的距離滿足 解得（舍去)由上可見，含參不等式恒成立問題因其覆蓋知識點多，方法也多種多樣，但其核心思想還是等價轉(zhuǎn)化，抓住了這點，才能以“不變應萬變”，當然這需要我們不斷的去領悟、體會和總結(jié)。例13：已知，求實數(shù)a的取值范圍。解析：由，在同一直角坐標系中做出兩個函數(shù)的圖象，如果兩個函數(shù)分別在x=-1和x=1處相交，則由得到a分別等于2和0.5，并作出函數(shù)的圖象，所以，要想使函數(shù)在區(qū)間中恒成立，只須在區(qū)間對應的圖象在在區(qū)間對應圖象的上面即可。當才能保證，而才可以，所以。例14、若不等式在內(nèi)恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：由題意知：在內(nèi)恒成立，在同一坐標系內(nèi)，分別作出函數(shù)和觀察兩函數(shù)圖象，當時，若函數(shù)的圖象顯然在