角平分線的四大模型(Word版).doc

角平分線四大模型模型一：角平分線上的點向兩邊作垂線如圖，P是MON的平分線上一點，過點P作PAOM于點A,PBON于點B,則PB=PA.模型分析：利用角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，構(gòu)造模型，為邊相等、角相等、三角形全等創(chuàng)造更多的條件，進而可以快速找到解題的突破口。例1：（1）如圖，在ABC,C=90，AD平分CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么點D到AB的距離是_cm(2)如圖，已知1=2，3=4，求證：AP平分BAC.練習(xí)1 如圖，在四邊形ABCD中，BCBA，AD=DC，BD平分ABC.求證：BAD+C=180練習(xí)2 如圖，ABC的外角ACD的平分線CP與內(nèi)角ABC的平分線BP交于點P，若BPC=40，則CAP=（）A. 40 B. 45 C. 50 D. 60模型二：截取構(gòu)造對稱全等如圖，P是MON的平分線上一點，點A是射線OM上任意一點，在ON上截取OB=OA，連接PB，則OPBOPA.模型分析：利用角平分線圖形的對稱性，在角的兩邊構(gòu)造對稱全等三角形，可以得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等、利用對稱性把一些線段或角進行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧。例2：(1)如圖所示，在ABC中，AD是BAC的外角平分線，P是AD上異于點A的任意一點，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說明理由 (2)如圖所示AD是ABC的內(nèi)角平分線，其他條件不變，試比較PC -PB與AC-AB的大小，并說明理由練習(xí) 3 已知：ABC中，A=2B，CD是ACB的平分線，AC=16，AD=8，求線段BC的長。練習(xí)4 已知,如圖AB=AC,A=108，BD平分ABC交AC于D，求證：BC=AB+CD.練習(xí)5 如圖,在ABC中,A=100,ABC=40，BD是ABC的平分線，延長BD至E，使DE=AD.求證：BC=AB+CE.模型三：角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形如圖，P是MON的平分線上一點，APOP于P點，延長AP交ON于點B,則AOB是等腰三角形。模型分析：構(gòu)造次模型可以利用等腰三角形的“三線合一”，也可以得到兩個全等的直角三角形，進而得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。這個模型敲門地把角平分線和三線合一聯(lián)系在一起。例3：如圖所示，已知等腰直角三角形ABC中，A=90，AB =AC，BD平分ABC，CEBD，垂足為點E，求證：BD=2CE練習(xí)6 如圖，在ABC中，BE是ABC的角平分線，ADBE，垂足為D，求證：2=1+C。練習(xí)7 如圖,在ABC中,ABC=3C,AD平分BAC,BEAD于E,求證：BE=12(ACAB).模型四：角平分線+平行線如圖，P是MON的平分線上一點，過點P作PA/ON,交OM于點Q.則POQ是等腰三角形.模型分析：有角平分線時，常過角平分線上一點作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形，為證明結(jié)論提供更多的條件，體現(xiàn)了角平分線與等腰三角形之間的密切關(guān)系。例4：閱讀并完成以下問題：已知,ABC中,ABC、ACB的平分線相交于點O,過點O作EFBC交AB、AC于點E. F. 當(dāng)AB=AC,易證BEO與CFO為等腰三角形,則有EF=BE+CF.(如圖1)當(dāng)ABAC,其他條件不變,如圖(2)，則EF=BE+CF還成立嗎?答：_.當(dāng)ABAC時,作ABC的平分線與ACB的外角ACD的平分線CO交于O,過O點作OEBC交AB于E,交AC于F. 如圖(3)，這時EF與BE、CF間的關(guān)系又如何呢?請寫出并證明你的結(jié)論?當(dāng)ABAC時，作ABC的外角平分線與ACB的外角平分線或延長線交于O，過O點作BC的平行線，交AB延長線于E，交AC的延長線于F. 請根據(jù)以上的要求畫出圖形，并直接寫出這時EF與BE、CF間的關(guān)系?練習(xí)8 如圖，在ABC中，ABC和ACB的平分線相交于點E，過點E作MNBC交AB于點M，交AC于點N.若BM+CN=9，則線段MN的長是.練習(xí)9 如圖,在ABC,AD平分BAC,E、F分別在BD、AD上,且DE=CD,EF=AC,求證：EFAB.練習(xí)10 如