數(shù)學(xué)人教版九年級下冊第十講 解直角三角形.doc

第十講 解直角三角形一、直角三角形中的邊角關(guān)系在RtABC中，C=90，a，b，c分別是A，B，C的對邊.1.三邊之間的關(guān)系：_ .2.兩銳角之間的關(guān)系：_ .3.邊角之間的關(guān)系：sinA= ，sinB= ，cosA= ，cosB= ， tanA= ，tanB= ，cotA= ， cotB= .二、 特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)銳角sincostancot304560三、 近幾年中考中關(guān)于解直角三角形的題目熱點考向一 銳角三角函數(shù)概念 【例1】(2014巴中中考)在RtABC中，C=90，sinA= ，則tanB的值為 ( )A. B. C. D. 【思路點撥】在RtABC中，根據(jù)sinA= ，設(shè)一條直角邊BC=5x，斜邊AB為13x，根據(jù)勾股定理求出AC的長度.再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求出tanB.【自主解答】選DsinA= ，設(shè)BC=5x，AB=13x，則AC= =12x，故tanB=【規(guī)律方法】根據(jù)定義求三角函數(shù)值的方法1.分清直角三角形中的斜邊與直角邊.2.正確地表示出直角三角形的三邊長，常設(shè)某條直角邊長為k(有時也可以設(shè)為1)，在求三角函數(shù)值的過程中約去k.3.正確應(yīng)用勾股定理求第三條邊長.4.應(yīng)用銳角三角函數(shù)定義，求出三角函數(shù)值.【真題專練】 1.(2014汕尾中考)在RtABC中，C=90，若sinA= ，則cosB的值是() A. B. C. D.【解析】選B.C=90，A+B=90，cosB=sinA，sinA= ，cosB= .2.(2014廣州中考)如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，ABC的三個頂點均在格點上，則tanA=() A. B. C. D. 【解析】選D.tanA= . 3.(2014重慶中考)如圖，ABC中，ADBC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tanBAD= ，求sinC的值. 【解析】ADBC，tanBAD= ，tanBAD= ，AD=12，BD=9，CD=BC-BD=14-9=5.在RtADC中，AC= =13，sinC= .熱點考向二 特殊角三角函數(shù)值的計算 【例2】(2013重慶中考)計算6tan45-2cos60的結(jié)果是( )A.4 B.4 C.5 D.5 【思路點撥】將cos60，tan45的值分別代入計算，即可得出答案. 【自主解答】選D. 6tan 45-2cos 60=61-2 =6-1=5. 【規(guī)律方法】熟記特殊角的三角函數(shù)值的兩種方法1.按值的變化：30，45，60角的正余弦的分母都是2，正弦的分子分別是1， ， ，余弦的分子分別是 ， ，1，正切分別是 ， ，1， .2.特殊值法：(1)在直角三角形中，設(shè)30角所對的直角邊為1，那么三邊長分別為1， ，2.(2)在直角三角形中，設(shè)45角所對的直角邊為1，那么三邊長分別為1，1， ，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義推導(dǎo)即可. 【方法技巧】銳角三角函數(shù)值的應(yīng)用(1)已知特殊角，求相應(yīng)角的三角函數(shù)值.(2)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，求相應(yīng)銳角的度數(shù).(3)15，75角的三角函數(shù)值，可通過構(gòu)造含30角或45角的直角三角形求出.1.(2014涼山州中考)在ABC中，若 +(1-tanB)2=0，則C的度數(shù)是()A.45 B.60 C.75 D.105【解析】選C.由題意得，cosA- =0，1-tanB=0，cosA= ，tanB=1，A=60，B=45， 故C=180-A-B=75.2.(2014賀州中考)計算：( -2)0+(-1)2014+ -sin45.【解析】原式=1+1+ - =2.熱點考向三 解直角三角形 【例3】(2013常德中考)如圖， 在ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，C=45，sinB= ，AD=1.(1)求BC的長.(2)求tanDAE的值. 【解題探究】(1)求BC的長的兩個思考：圖中有直角三角形嗎？若有，請寫出來.能求出BD，DC的長嗎？提示：圖中的直角三角形分別是RtABD，RtADC，RtADE.分別在RtABD，RtADC中，求BD，DC的長. (2)求tanDAE值的兩個思考：DAE在哪個直角三角形中？如何求DAE的對邊DE的長？提示：在RtAED中.先由AE是BC邊上的中線求出CE的長，再由DE=CE-CD求得DE的長.【嘗試解答】(1)AD是BC邊上的高，ADB=ADC=90.在RtABD中，sinB= ，AD=1，AB=3.BD= .在RtADC中，C=45，CD=AD=1.BC=BD+CD=2 +1.【規(guī)律方法】解直角三角形的兩點注意1.盡量用已知條件中的數(shù)據(jù)，防止誤差積累.2.遵循“有弦用弦、無弦用切，寧乘勿除”的原則.【真題專練】 1.(2014連云港中考)如下圖，若ABC和DEF的面積分別為S1，S2，則()A.S1= S2 B.S1= S2 C.S1=S2 D.S1= S2 【解析】選C.如圖，若都以長度為8的邊為底，則高都等于5sin40，所以兩三角形的底相等，高相等，所以S1=S2.2.(2013牡丹江中考)在RtABC中，CA=CB，AB=9 ，點D在BC邊上，連接AD，若tanCAD= ，則BD的長為. 【解析】在RtABC中，CA=CB，AB=9 . 由勾股定理，得CA2+CB2=AB2，即2CA2=2CB2=(9 )2，解得CA=CB=9.如圖，在RtCAD中，tanCAD= .CD=3，DB=9-3=6. 答案：6【知識歸納】解直角三角形的類型 熱點考向四 解直角三角形的應(yīng)用 【例4】(2014麗水中考)如圖，河壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1 (坡比是坡面的 鉛直高度BC與水平寬度AC之比)，壩高BC=3m，則坡面AB的長度是() A.9 m B.6 m C.6 m D.3 m 【思路點撥】根據(jù)坡比與BC求AC，再根據(jù)勾股定理求AB. 【自主解答】選B.河壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1 ，BCAC=1 .BC=3m， AB= = 6m.【規(guī)律方法】直角三角形解決實際問題的方法及注意點1.利用直角三角形或構(gòu)造直角三角形解決實際問題，一般先把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，若題中無直角三角形，需要添加輔助線(如作三角形的高等)構(gòu)造直角三角形，再利用解直角三角形的知識求解.2.解直角三角形時結(jié)合圖形分清圖