第14章 自相關(guān).ppt

第十四章自相關(guān) 1 自相關(guān)的性質(zhì)是什么 2 自相關(guān)的理論和實際結(jié)果是什么 3 實際中 如何診斷自相關(guān) 4 如果發(fā)現(xiàn)自相關(guān)的后果嚴(yán)重 有哪些補(bǔ)救措施 本章主要討論如果放松古典線性回歸模型的另一假定 總體回歸函數(shù) PRF 的誤差項ui無序列相關(guān)或無自相關(guān)時會發(fā)生什么情況 我們要探求如下問題的答案 14 1自相關(guān)的性質(zhì) 如果對于不同的樣本點 隨機(jī)誤差項之間不再是不相關(guān)的 而是存在某種相關(guān)性 則認(rèn)為出現(xiàn)了序列相關(guān)性 對于模型 隨機(jī)項互不相關(guān)的基本假設(shè)表現(xiàn)為 Cov i j 0i j i j 1 2 n 自相關(guān)又稱序列相關(guān) 原指一隨機(jī)變量在時間上與其滯后項之間的相關(guān) 這里主要是指回歸模型中隨機(jī)誤差項ui與其滯后項的相關(guān)關(guān)系 自相關(guān)也是相關(guān)關(guān)系的一種 一 自相關(guān)定義 稱為一階序列相關(guān) 或自相關(guān) autocorrelation 1 一階自回歸形式 通常假定誤差項的自相關(guān)是線性的 所以自相關(guān)往往可寫成如下形式 i i 1 i 1 1 二 自相關(guān)的類型 當(dāng)誤差項ui只與其滯后一期值有關(guān)時 即E i i 1 0i 1 2 n 1 則稱ut具有高階自回歸形式 2 高階自回歸形式 當(dāng)誤差項ut的本期值不僅與其前一期值有關(guān) 而且與其前若干期的值都有關(guān)系時 即ut f ut 1 ut 2 三 實際經(jīng)濟(jì)問題中自相關(guān)性的來源 大多數(shù)經(jīng)濟(jì)時間數(shù)據(jù)都有一個明顯的特點 慣性 表現(xiàn)在時間序列不同時間的前后關(guān)聯(lián)上 由于消費習(xí)慣的影響被包含在隨機(jī)誤差項中 則可能出現(xiàn)序列相關(guān)性 往往是正相關(guān) 1 經(jīng)濟(jì)變量固有的慣性 例如 絕對收入假設(shè)下居民總消費函數(shù)模型 Ct B1 B2Yt tt 1 2 n 2 模型設(shè)定的偏誤 所謂模型設(shè)定偏誤 Specificationerror 是指所設(shè)定的模型 不正確 主要表現(xiàn)在模型中丟掉了重要的解釋變量或模型函數(shù)形式有偏誤 例如 本來應(yīng)該估計的模型為 但在模型設(shè)定中做了下述回歸 因此 vt B4X4t t 如果X4確實影響Y 則出現(xiàn)序列相關(guān) Yt B1 B2X2t B3X3t B4X4t t Yt B1 B2X2t B3X3t ut 但建模時設(shè)立了如下模型 又如 如果真實的邊際成本回歸模型應(yīng)為 Yt B1 B2Xt B3Xt2 t 其中 Y 邊際成本 X 產(chǎn)出 Yt B1 B2Xt vt 因此 由于vt B3Xt2 t 包含了產(chǎn)出的平方對隨機(jī)項的系統(tǒng)性影響 隨機(jī)項也呈現(xiàn)序列相關(guān)性 3 數(shù)據(jù)的 編造 例如 季度數(shù)據(jù)來自月度數(shù)據(jù)的簡單平均 這種平均的計算減弱了每月數(shù)據(jù)的波動性 從而使隨機(jī)干擾項出現(xiàn)序列相關(guān) 還有就是兩個時間點之間的 內(nèi)插 技術(shù)往往導(dǎo)致隨機(jī)項的序列相關(guān)性 在實際經(jīng)濟(jì)問題中 有些數(shù)據(jù)是通過已知數(shù)據(jù)生成的 因此 新生成的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)間就有了內(nèi)在的聯(lián)系 表現(xiàn)出序列相關(guān)性 14 2序列相關(guān)性的后果 因為 在有效性證明中利用了 而且 在大樣本情況下 參數(shù)估計量雖然具有一致性 但仍然不具有漸近有效性 1 參數(shù)估計量非有效 E mm 2I 計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型一旦出現(xiàn)序列相關(guān)性 如果仍采用OLS法估計模型參數(shù) 會產(chǎn)生下列不良后果 而序列相關(guān)即意味著 在其他假設(shè)仍成立的條件下 2 變量的顯著性檢驗失去意義 在變量的顯著性檢驗中 統(tǒng)計量是建立在參數(shù)方差正確估計基礎(chǔ)之上的 這只有當(dāng)隨機(jī)誤差項具有同方差性和互相獨立性時才能成立 如果存在序列相關(guān)性估計的參數(shù)方差S2b出現(xiàn)偏誤 偏大或偏小 t檢驗就失去意義 其他檢驗也是如此 事實上 用OLS法估計的ut的方差常常會低估其真實的方差 也即低估了回歸參數(shù)估計量的方差 這等于夸大了回歸參數(shù)的抽樣精度 高估了統(tǒng)計量t的值 從而導(dǎo)致把不重要的解釋變量保留在模型里 使顯著性檢驗失去意義 3 模型的預(yù)測失效 區(qū)間預(yù)測與參數(shù)估計量的方差有關(guān) 在方差有偏誤的情況下 使得預(yù)測估計不準(zhǔn)確 預(yù)測精度降低 所以用依據(jù)OLS法得到的回歸方程去預(yù)測 預(yù)測量不具有有效性 所以 當(dāng)模型出現(xiàn)序列相關(guān)性時 它的預(yù)測功能失效 14 2序列相關(guān)性的檢驗 檢驗序列相關(guān)性 也就是檢驗?zāi)Ｐ褪欠翊嬖谧韵嚓P(guān)或高階自回歸形式 以下列數(shù)據(jù)為例介紹自相關(guān)的檢驗方法 1967 1998年天津市的保費收入Y和人口數(shù)據(jù)X如下 要求 1 建立合適的一元回歸模型 2 檢驗?zāi)Ｐ褪欠翊嬖谧韵嚓P(guān) 3 若有自相關(guān) 對模型進(jìn)行適當(dāng)修正 基本思路 然后 通過分析這些 近似估計量 之間的相關(guān)性 以判斷隨機(jī)誤差項是否具有序列相關(guān)性 序列相關(guān)性檢驗方法有多種 但基本思路相同 首先 采用OLS法估計模型 以求得隨機(jī)誤差項的 近似估計量 用ei表示 例 第一步 進(jìn)行OLS一元線性回歸 不考慮序列相關(guān)進(jìn)行OLS回歸 得如下回歸結(jié)果 經(jīng)估計到的各參數(shù)值計算得到殘差ei 序列相關(guān)性的檢驗 1 圖示法 例 圖示法 保費收入 Y 和人口數(shù)據(jù) X 模型的殘差圖 明顯呈正序列相關(guān) 2 回歸檢驗法 以ei為被解釋變量 以各種可能的相關(guān)量 諸如以ei 1 ei 2 ei2等為解釋變量 建立各種方程 對上述各種擬合形式進(jìn)行顯著性檢驗 如果存在某一種函數(shù)形式 使得方程顯著成立 則說明原模型存在這一形式的序列相關(guān)性 回歸檢驗法的優(yōu)點是 1 能夠確定序列相關(guān)的形式 2 適用于任何類型序列相關(guān)性問題的檢驗 例 回歸檢驗法 得 給定 5 查得臨界值t0 05 28 2 0484 所以拒絕原假設(shè) 即變量系數(shù)通過檢驗 說明原模型存在這一形式的一階序列相關(guān)性 作一階自回歸形式模型 1 89 16 22 R2 0 90F 263 21 3 杜賓 瓦森 Durbin Watson 檢驗法 D W檢驗是杜賓 J Durbin 和瓦森 G S Watson 于1951年提出的一種利用殘差構(gòu)成的統(tǒng)計量檢驗序列自相關(guān)的方法 DW檢驗只適用于檢驗誤差項是否存在一階自相關(guān)情形 該方法的假定條件是 1 解釋變量X非隨機(jī)變量 2 隨機(jī)誤差項 i為一階自回歸形式 i i 1 i 3 回歸模型中不應(yīng)含有滯后因變量作為解釋變量 即不應(yīng)出現(xiàn)下列形式 Yi B1 B2X2i BkXki Yi 1 i 4 回歸含有截距項 DW檢驗步驟 其中分子是殘差的一階差分平方和 分母是殘差平方和 給出假設(shè) H0 0 ui不存在一階自相關(guān) H1 0 ui存在一階自相關(guān) 用估計的回歸方程的殘差值構(gòu)造如下DW統(tǒng)計量 該統(tǒng)計量的分布與出現(xiàn)在給定樣本中的X值有復(fù)雜的關(guān)系 因此其精確的分布很難得到 但是 杜賓和瓦森成功地給出了判別回歸模型的自相關(guān)情況的方法 DW值與 的對應(yīng)關(guān)系及意義 實際中DW 0 2 4的情形是很少見的 當(dāng)DW取值在 0 2 2 4 之間時 怎樣判別誤差項ut是否存在自相關(guān)呢 DW檢驗與其它統(tǒng)計檢驗不同 它沒有惟一的臨界值用來制定判別規(guī)則 然而Durbin Watson根據(jù)樣本容量n和被估參數(shù)個數(shù)k 在給定的顯著性水平下 成功地導(dǎo)出了臨界值的下限dL和上限dU 用以判別回歸模型的自相關(guān)情況 D W檢驗步驟如下 1 計算DW值 2 給定 由n和k的大小查DW分布表 P390 得臨界值dL和dU 3 比較 判斷 若0 D W dL存在正自相關(guān)dL D W dU不能確定dU D W 4 dU無自相關(guān)4 dU D W 4 dL不能確定4 dL D W 4存在負(fù)自相關(guān) 0dLdU24 dU4 dL 正相關(guān) 不能確定 無自相關(guān) 不能確定 負(fù)相關(guān) 1 加大樣本容量或重新選取樣本 重做DW檢驗 有時DW值會離開不確定區(qū) 當(dāng)DW值落在 不確定 區(qū)域時的處理方法 2 選用其它檢驗方法 附表中 DW檢驗表 給出DW檢驗臨界值 P390 DW檢驗臨界值與三個參數(shù)有關(guān) 1 檢驗水平 2 樣本容量n 3 原回歸模型中解釋變量個數(shù)k 包括常數(shù)項 例 D W檢驗 由 取 5 由于n 32 k 2 包含常數(shù)項 本書后表中的k 不含常數(shù)項 查表得 dl 1 37 du 1 50由于DW 0 124 dl 故 存在正自相關(guān) 得DW 0 124 注 Eviews檢驗結(jié)果中包含DW值 例 D W檢驗 取 5 由于n 32 k 2dl 1 37 du 1 50由于DW 0 124 dl 故 存在正自相關(guān) 注意 1 因為DW統(tǒng)計量是以解釋變量非隨機(jī)變量為條件得出的 所以當(dāng)有滯后的內(nèi)生變量 Y 作解釋變量時 DW檢驗無效 2 DW統(tǒng)計量不適用于高階自相關(guān)檢驗 3 DW統(tǒng)計量不適用于聯(lián)立方程模型中各方程的序列自相關(guān)檢驗 4 拉格朗日乘數(shù) Lagrangemultiplier 檢驗 拉格朗日乘數(shù)檢驗克服了DW檢驗的缺陷 適合于高階序列相關(guān)以及模型中存在滯后被解釋變量的情形 它是由布勞殊 Breusch 與戈弗雷 Godfrey 于1978年提出的 也被稱為GB檢驗 對于模型 如果 則懷疑隨機(jī)擾動項存在p階序列相關(guān) GB檢驗相當(dāng)于檢驗如下受約束回歸方程 約束條件為 H0 1 2 p 0 用估計 式得到的殘差建立輔助回歸式 給定 查臨界值 2 p 與LM值比較 做出判斷 這表明如假設(shè)成立 則ut不存在p階自相關(guān) 注 實際檢驗中 可從1階 2階 逐次向更高階檢驗 估計上式 并計算可決系數(shù)R2 構(gòu)造LM統(tǒng)計量 GB檢驗方法 例 拉格朗日乘數(shù)檢驗 GB檢驗 考慮1階滯后 6 32 6 67 26 73 R2 0 9623 于是 LM 31 0 9623 29 83取 5 2分布的臨界值 20 05 1 3 84LM 20 05 2 故 存在一階序列相關(guān) 得 例 拉格朗日乘數(shù)檢驗 GB檢驗 考慮2階滯后 1 71 1 71 2 69 0 18 R2 0 9620 于是 LM 30 0 9620 28 86取 5 2分布的臨界值 20 05 2 5 991LM 20 05 2 故 存在二階序列相關(guān) 得 利用Eviews工具GB檢驗步驟如下 從EViews主菜單中點擊Quick鍵 并選擇EstimateEquation功能從而打開EquationSpecification 模型設(shè)定 對話框 在EquationSpecification窗口輸入命令 YCX 點擊OK鍵 得回歸結(jié)果 數(shù)據(jù)輸入如前 在回歸結(jié)果窗口選擇功能鍵 View ResidualsTests SerialCorrelationLMTest 出現(xiàn)對話框 選擇判定階數(shù) 得結(jié)果 一階序列相關(guān)檢驗結(jié)果如下 于是 LM 30 08 伴隨概率p 0 000 0 05 故 存在一階序列相關(guān) 二階序列相關(guān)檢驗結(jié)果如下 于是 LM 30 15 伴隨概率p 0 000 0 05 故 只存在一階序列相關(guān) 14 3序列相關(guān)的補(bǔ)救 如果模型被檢驗證明存在序列相關(guān)性 則需要發(fā)展新的方法估計模型 1 如果自相關(guān)是由于錯誤地設(shè)定模型的數(shù)學(xué)形式所致 那么就應(yīng)當(dāng)修改模型的數(shù)學(xué)形式 怎樣查明自相關(guān)是由于模型數(shù)學(xué)形式不妥造成的 一種方法是用殘差對解釋變量的較高次冪進(jìn)行回歸 然后對新的殘差作DW檢驗 如果此時自相關(guān)消失 則說明模型的數(shù)學(xué)形式不妥 克服自相關(guān) 2 如果自相關(guān)是由于模型中省略了重要解釋變量造成的 那么解決辦法就是找出略去的解釋變量 把它作為重要解釋變量列入模型 怎樣查明自相關(guān)是由于略去重要解釋變量引起的 一種方法是用殘差對那些可能影響因變量 但又未列入模型的解釋變量回歸 并做顯著性檢驗 從而確定該解釋變量的重要性 如果是重要解釋變量 應(yīng)該列入模型 這種變換方法稱作廣義最小二乘法 GLS Generalizedleastsquares 另一種變換方法是廣義差分法 GeneralizedDifference 只有當(dāng)以上兩種引起自相關(guān)的原因都消除后 才能認(rèn)為誤差項ut 真正 存在自相關(guān) 在這種情況下 解決辦法是變換原回歸模型 使變換后的隨機(jī)誤差項消除自相關(guān) 進(jìn)而利用普通最小二乘法估計回歸參數(shù) 一 廣義最小二乘法 設(shè)原回歸模型是 利用差分法 求模型 的 t 1 期關(guān)系式 并在兩側(cè)同乘 ut ut 1 vt vt滿足通常的假定條件 把上式代入原模型 用 式與 相減得 Yt Yt 1 B1 1 B2 X2t X2t 1 Bk Xkt Xkt 1 vt Yt B1 B2X2t B3X3t BkXkt ut t 1 2 n 如果其中ut具有一階自回歸形式 如何去掉自相關(guān) vt ut ut 1 Yt B1 B2X2t B3X3t BkXkt ut 1 vt Yt 1 B1 B2X2t 1 B3X3t 1 BkXkt 1 ut 1 14 3序列相關(guān)的補(bǔ)救 令 則模型表示如下 Yt B1 B2X2t B3X3t BkXkt vt 上式中的誤差項vt是非自相關(guān)的 滿足假定條件 所以可對上式應(yīng)用最小二乘法估計回歸參數(shù) 所得估計量具有最佳線性無偏特性 上式中的B2 Bk就是原模型 中的B2 Bk 而B1 與模型 中的B1有如下關(guān)系 B1 B1 1 Yt Yt Yt 1Xjt Xjt Xjt 1 j 2 kB1 B1 1 上述變換稱作廣義差分變換 這種變換將損失一個觀測值 樣本容量變成 n 1 Yt Yt 1 B1 1 B2 X2t X2t 1 Bk Xkt Xkt 1 vt 二 廣義差分法 廣義差分法是將原模型變換為滿足OLS法的差分模型 再進(jìn)行OLS估計 如果原模型 存在p階自回歸相關(guān) 可以將原模型進(jìn)行差分變換為 該模型為廣義差分模型 不存在序列相關(guān)問題 可進(jìn)行OLS估計 Yt B1 B2X2t B3X3t BkXkt ut Yt 1Yt 1 pYt p B1 1 1 p B2 X2t 1X2t 1 pX2t p Bk Xkt 1Xkt 1 pXkt p vt 即 Yt B1 B2X2t B3X3t BkXkt 1mt 1 2mt 2 pmt p et 注意 廣義差分法 p 1時 就是上述廣義最小二乘法 如 一階序列相關(guān)的情況下 廣義差分是估計模型 即是運用了廣義最小二乘法 GLS 法 問題 進(jìn)行廣義最小二乘法時 要用到隨機(jī)誤差項的相關(guān)系數(shù)r 如何求 Yt Yt 1 B1 1 B2 X2t X2t 1 Bk Xkt Xkt 1 vt 三 隨機(jī)誤差項相關(guān)系數(shù)r的估計 應(yīng)用廣義最小二乘法或廣義差分法 必須已知隨機(jī)誤差項的相關(guān)系數(shù) 1 2 p 實際上 人們并不知道它們的具體數(shù)值 所以必須首先對它們進(jìn)行估計 常用的估計方法有 r 1 一階差分法科克倫 奧科特 Cochrane Orcutt 迭代法 杜賓 durbin 兩步法 1 r 1 一階差分法 r介于0和正負(fù)1之間 有成百上千個選擇 計量經(jīng)濟(jì)學(xué)廣泛采用的是r 1 即誤差項之間完全正相關(guān) 則此時的廣義差分方程為一階差分方程 即 只要對上式進(jìn)行最小二乘法回歸 Yt Yt 1 B2 X2t X2t 1 Bk Xkt Xkt 1 vt DY B2DX2 BkDXk vt 注 模型沒有截距項 回歸時選擇通過原點即可 用EXCEL求一階差分法結(jié)果 DY 485 67DX 用EVIEWS求一階差分法結(jié)果 DY 485 67DX 取 5 由于n 31 k 1dl 1 36 du 1 50由于DW 0 124 dl 存在正自相關(guān) 2 杜賓 durbin 兩步法Yi B1 B2Xi i 該方法是先估計 1 2 l 再對差分模型進(jìn)行估計 第一步 變換差分模型為下列形式 進(jìn)行OLS估計 得各Yj j i 1 i 2 i p 前的系數(shù) 1 2 p的估計值 Yt 1Yt 1 pYt p B1 1 1 p B2 Xt 1Xt 1 pXt p vt Yt 1Yt 1 pYt p B1 B2Xt B2 1Xt 1 B2 pXt p vt i 1 p 2 p n 于是 得Yi B 1 B 2Xi i Yi B1 B2Xi i 例 杜賓 durbin 兩步法 第一步 首先估計模型 得 第二步 以估計出來的 1 16作差分變換 估計模型 3 09 3 42 R2 0 29F 11 68DW 1 877 取 5 由于n 31 k 2 查表得 dl 1 36 du 1 50由于4 dl 2 65 DW 1 939 du 故 已無一階自相關(guān) 1 56 26 25 1 84 1 92 R2 0 986 則Y 關(guān)于X 的OLS估計結(jié)果為 利用Eviews進(jìn)行杜賓 durbin 兩步法 步驟如下 1 在EquationSpecification窗口輸入命令 YCY 1 XX 1 點擊OK鍵 得Y 1 的系數(shù)r 2 點擊工作文件的功能鍵genr 將出現(xiàn)對話框 在出現(xiàn)的對話框中輸入 Y1 Y r Y 1 回車 再輸入 X1 X r X 1 回車 r是第1次回歸時Y 1 的系數(shù) Yt B1 B2Xt ut 3 作最小二乘估計 在主菜單選quick estimateequations進(jìn)入輸入估計方程對話框 分別輸入Y1CX1 點OK 得出統(tǒng)計檢驗結(jié)果 4 作自相關(guān)檢驗 2 科克倫 奧科特迭代法 以一元線性模型為例 首先 采用OLS法估計原模型 Yi B1 B2Xi i 得到的 的 近似估計值ei 并以之作為觀測值使用OLS法估計下式 i 1 i 1 2 i 2 p i p i 求出 i新的 近似估計值ei 并以之作為樣本觀測值 再次估計 i 1 i 1 2 i 2 p i p i Yi B1 B2Xi i 類似地 可進(jìn)行第三次 第四次迭代 關(guān)于迭代的次數(shù) 可根據(jù)具體的問題來定 一般是事先給出一個精度 當(dāng)相鄰兩次 1 2 L的估計值之差小于這一精度時 迭代終止 實踐中 有時只要迭代兩次 就可得到較滿意的結(jié)果 兩次迭代過程也被稱為科克倫 奧科特兩步法 實際計算中常用Eveiws軟件實現(xiàn)科克倫 奧科特兩步法 利用Eviews實現(xiàn)科克倫 奧科特兩步法 步驟如下 以二階差分為例 1 從EViews主菜單中點擊Quick鍵 并選擇EstimateEquation功能從而打開EquationSpecification 模型設(shè)定 對話框 2 在EquationSpecification窗口輸入命令 YCXAR 1 AR 2 點擊OK鍵 得結(jié)果如下 例 科克倫 奧科特迭代法 DW 1 87N 30 k 3 dU 1 57 dL 1 304 dU DW 1 87 dU 1 57已無一階序列自相關(guān)又因為AR 1 系數(shù)檢驗顯著 所以原模型存在一階自相關(guān) 例 科克倫 奧科特迭代法 DW 2 03N 30 k 4 dU 1 65 dL 1 234 dU DW 2 03 dU 1 65無二階序列自相關(guān)又因為AR 1 AR 2 系數(shù)檢驗均不顯著 所以原模型不存在二階自相關(guān) 14 4序列相關(guān)案例 中國商品進(jìn)口模型 經(jīng)濟(jì)理論指出 商品進(jìn)口主要由進(jìn)口國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平 以及商品進(jìn)口價格指數(shù)與國內(nèi)價格指數(shù)對比因素決定的 由于無法取得中國商品進(jìn)口價格指數(shù) 我們主要研究中國商品進(jìn)口與國內(nèi)生產(chǎn)總值的關(guān)系 下表 1 通過OLS法建立如下中國商品進(jìn)口方程 2 進(jìn)行序列相關(guān)性檢驗 2 32 20 12 進(jìn)一步的統(tǒng)計檢驗 1 DW檢驗 取 5 由于n 24 k 2 包含常數(shù)項 查表得 dl 1 27 du 1 45由于DW 0 628 dl 故 存在正自相關(guān) 2 拉格朗日乘數(shù)檢驗 0 46 0 67 6 17 3 76 R2 0 682 于是 LM 22 0 682 15 01取 5 2分布的臨界值 20 05 2 5 991LM 20 05 2 故 存在正自相關(guān) 2階滯后 進(jìn)一步的統(tǒng)計檢驗 3階滯后 0 72 0 91 4 50 2 082 0 476 R2 0 694 于是 LM 21 0 694 14 58取 5 2分布的臨界值 20 05 3 7LM 20 05 3 表明 存在正自相關(guān) 但et 3的參數(shù)不顯著 說明不存在3階序列相關(guān)性 3 運用廣義差分法進(jìn)行自相關(guān)的處理 1 采用杜賓兩步法估計 第一步 估計模型 1 76 6 64 1 76 5 88 5 19 5 30 第二步 作差分變換 則M 關(guān)于GDP 的OLS估計結(jié)果為 2 76 16 46 取 5 DW du 1 43 樣本容量24 2 22 表明 已不存在自相關(guān) 于是原模型為 與OLS估計結(jié)果的差別只在截距項 2 采用科克倫 奧科特迭代法估計 在Eviews軟包下 2階廣義差分的結(jié)果為 取 5 DW du 1 66 樣本容量 22 表明