上海高三數(shù)學(xué)應(yīng)用題匯編(修改).doc

高三數(shù)學(xué)應(yīng)用題匯編一、函數(shù)1、甲廠以x千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求），每一小時(shí)可獲得的利潤是元.(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤不低于3000元，求x的取值范圍；(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求此最大利潤.(1)生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)的利潤為.由題意，解得或.又，所以.(2)生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品，所用的時(shí)間是小時(shí)，獲得的利潤為.記，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最大值.最大利潤為元.因此甲廠應(yīng)以6千克/小時(shí)的速度生產(chǎn)，可獲得最大利潤為457500元.2、某企業(yè)參加項(xiàng)目生產(chǎn)的工人為人，平均每人每年創(chuàng)造利潤萬元.根據(jù)現(xiàn)實(shí)的需要，從項(xiàng)目中調(diào)出人參與項(xiàng)目的售后服務(wù)工作，每人每年可以創(chuàng)造利潤萬元（），項(xiàng)目余下的工人每人每年創(chuàng)造利潤需要提高（1）若要保證項(xiàng)目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤不低于原來名工人創(chuàng)造的年總利潤，則最多調(diào)出多少人參加項(xiàng)目從事售后服務(wù)工作？（2）在（1）的條件下，當(dāng)從項(xiàng)目調(diào)出的人數(shù)不能超過總?cè)藬?shù)的時(shí)，才能使得項(xiàng)目中留崗工人創(chuàng)造的年總利潤始終不低于調(diào)出的工人所創(chuàng)造的年總利潤，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解】（1）根據(jù)題意可得，3分 展開并整理得，5分解得，最多調(diào)出的人數(shù)為人6分（2），解得7分，對于任意的恒成立9分即即對于任意的恒成立10分當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)時(shí)，11分令函數(shù)，可知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)12分故，故13分故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是14分3、如圖所示，沿河有、兩城鎮(zhèn)，它們相距20千米，以前，兩城鎮(zhèn)的污水直接排入河里，現(xiàn)為保護(hù)環(huán)境，污水需經(jīng)處理才能排放，兩城鎮(zhèn)可以單獨(dú)建污水處理廠，或者聯(lián)合建污水處理廠（在兩城鎮(zhèn)之間或其中一城鎮(zhèn)建廠，用管道將污水從各城鎮(zhèn)向污水處理廠輸送），河流AB污水處理廠x依據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式，建廠的費(fèi)用為（萬元），表示污水流量，鋪設(shè)管道的費(fèi)用（包括管道費(fèi)）（萬元），表示輸送污水管道的長度（千米）；已知城鎮(zhèn)和城鎮(zhèn)的污水流量分別為、，、兩城鎮(zhèn)連接污水處理廠的管道總長為20千米；假定：經(jīng)管道運(yùn)輸?shù)奈鬯髁坎话l(fā)生改變，污水經(jīng)處理后直接排入河中；請解答下列問題（結(jié)果精確到0.1）（1）若在城鎮(zhèn)和城鎮(zhèn)單獨(dú)建廠，共需多少總費(fèi)用？（2）考慮聯(lián)合建廠可能節(jié)約總投資，設(shè)城鎮(zhèn)到擬建廠的距離為千米，求聯(lián)合建廠的總費(fèi)用與的函數(shù)關(guān)系式，并求的取值范圍；解 （1）分別單獨(dú)建廠，共需總費(fèi)用萬元 4分（2）聯(lián)合建廠，共需總費(fèi)用（）所以與的函數(shù)關(guān)系式為（）8分令（） 10分的取值范圍為 14分4、如圖，某公司要在A、B兩地連線上的定點(diǎn)C處建造廣告牌CD，其中D為頂端，AC長35米，CB長80米. 設(shè)點(diǎn)A、B在同一水平面上，從A和B看D的仰角分別為和.ACBD(1)設(shè)計(jì)中CD是鉛垂方向. 如要求，問CD的長至多為多少（結(jié)果精確到0.01米）？(2)施工完成后，CD與鉛垂方向有偏差. 現(xiàn)在實(shí)測得，求CD的長（結(jié)果精確到0.01米）.解：(1) 記. 根據(jù)已知得，所以，解得. 因此，CD的長至多約為28.28米.(2)在ABD中，由已知，由正弦定理得，解得.在BCD中，由余弦定理得，解得. 所以，CD的長約為26.93米.5、如圖，三地有直道相通，千米，千米，千米. 現(xiàn)甲、乙兩警員同時(shí)從地出發(fā)勻速前往地，經(jīng)過小時(shí)，他們之間的距離為（單位：千米）. 甲的路線是，速度為千米/小時(shí)，乙的路線是，速度為千米/小時(shí). 乙到達(dá)地后在原地等待. 設(shè)時(shí)，乙到達(dá)地.(1)求與的值；(2)已知警員的對講機(jī)的有效通話距離是千米. 當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式，并判斷在上的最大值是否超過？說明理由.解：(1) .2分記乙到時(shí)甲所在地為，則千米.在中，所以（千米）.6分(2)甲到達(dá)用時(shí)小時(shí)；乙到達(dá)用時(shí)小時(shí)，從到總用時(shí)小時(shí).當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.10分所以11分因?yàn)樵谏系淖畲笾凳牵谏系淖畲笾凳牵栽谏系淖畲笾凳牵怀^.14分ABCD6、某公司要在一條筆直的道路邊安裝路燈，要求燈柱AB與地面垂直，燈桿BC與燈柱AB所在的平面與道路走向垂，路燈C采用錐形燈罩，射出的光線與平面ABC的部分截面如圖中陰影部分所示已知，路寬米設(shè)（1）求燈柱AB的高（用表示）；（2）此公司應(yīng)該如何設(shè)置的值才能使制造路燈燈柱AB與燈桿BC所用材料的總長度最??？最小值為多少？（結(jié)果精確到0.01米）解.（1）三角形ACD中，由 ，得 .3分三角形ABC中，由 ，得.6分（2）三角形ABC中， 由 ，得.9分所以 .11分因?yàn)椋?所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.13分制造路燈燈柱AB與燈桿BC所用材料的總長度最小，最小值約為21.86米. .14分7、 松江天馬山上的“護(hù)珠塔”因其傾斜度超過意大利的比薩斜塔而號稱“世界第一斜塔”，興趣小組同學(xué)實(shí)施如下方案來測量塔的傾斜度和塔高，如圖，記點(diǎn)為塔基、點(diǎn)為塔尖、點(diǎn)在地面上的射影為點(diǎn)，在塔身射影所在直線上選點(diǎn)，使仰角，過點(diǎn)與成的地面上選點(diǎn)，使仰角（點(diǎn)、都在同一水平面上），此時(shí)測得，與之間距離為33.6米，試求：（1）塔高；（即線段的長，精確到0.1米）（2）塔的傾斜度；（即的大小，精確到）解：(1)設(shè)塔高由題意知，,所以均為等腰直角三角形 2分在中， ， ， 6分(2)在中， ， ， ，由 ，得10分 13分 所以塔高米，塔的傾斜度為。 14分二、解析幾何1、有一塊正方形菜地，所在直線是一條小河. 收獲的蔬菜可送到點(diǎn)或河邊運(yùn)走. 于是，菜地分為兩個(gè)區(qū)域和，其中中的蔬菜運(yùn)到河邊較近，中的蔬菜運(yùn)到點(diǎn)較近，而菜地內(nèi)和的分界線上的點(diǎn)到河邊與到點(diǎn)的距離相等. 現(xiàn)建立平面直角坐標(biāo)系，其中原點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖.(1) 求菜地內(nèi)的分界線的方程；PF制作 (2) 菜農(nóng)從蔬菜運(yùn)量估計(jì)出面積是面積的兩倍，由此得到面積的“經(jīng)驗(yàn)值”為. 設(shè)是上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)，請計(jì)算以為一邊，另一邊過點(diǎn)的矩形的面積，及五邊形的面積，并判斷哪一個(gè)更接近于面積的“經(jīng)驗(yàn)值”.解：(1)因?yàn)樯系狞c(diǎn)到直線與到點(diǎn)的距離相等，所以是以為焦點(diǎn)、以為準(zhǔn)線的拋物線在正方形內(nèi)的部分，其方程為.(2)依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為.所求的矩形面積為，而所求的五邊形面積為.矩形面積與“經(jīng)驗(yàn)值”之差的絕對值為，而五邊形面積與“經(jīng)驗(yàn)值”之差的絕對值為，所以五邊形面積更接近于面積的“經(jīng)驗(yàn)值”.2、如圖，、是海岸線、上的兩個(gè)碼頭，海中小島有碼頭到海岸線、的距離分別為、測得，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系一艘游輪以的平均速度在水上旅游線航行（將航線看作直線，碼頭在第一象限，航線經(jīng)過）（1）問游輪自碼頭沿方向開往碼頭共需多少分鐘？（2）海中有一處景點(diǎn)（設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)，且），游輪無法靠近求游輪在水上旅游線航行時(shí)離景點(diǎn)最近的點(diǎn)C的坐標(biāo).解：（1）由已知得： ，直線的方程為， 1分OM設(shè)，由及圖得， 3分直線的方程為，即， 5分由得即， 6分，即水上旅游線的長為 游輪在水上旅游線自碼頭沿方向開往碼頭共航行30分鐘時(shí)間 8分（2）解法1：點(diǎn)到直線的垂直距離最近，則垂足為。 10分由（1）知直線的方程為，則直線的方程為， 12分所以解直線和直線的方程組，得點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，5） 14分解法2：設(shè)游輪在線段上的點(diǎn)處， 則， 10分 ， ，則 ， 12分時(shí)， 當(dāng)時(shí)，離景點(diǎn)最近，代入得離景點(diǎn)最近的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，5） 3、在某海濱城市附近海面有一臺風(fēng)，據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺風(fēng)中心位于城市A（看做一點(diǎn)）的東偏南角方向，300 km的海面P處，并以20km / h的速度向西偏北45方向移動臺風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60 km，并以10km / h的速度不斷增大(1) 問10小時(shí)后，該臺風(fēng)是否開始侵襲城市A，并說明理由；(2) 城市A受到該臺風(fēng)侵襲的持續(xù)時(shí)間為多久？解：（1）如圖建立直角坐標(biāo)系， 1分則城市，當(dāng)前臺風(fēng)中心，設(shè)t小時(shí)后臺風(fēng)中心P的坐標(biāo)為，則，此時(shí)臺風(fēng)的半徑為，10小時(shí)后，km，臺風(fēng)的半徑為160km, 5分故，10小時(shí)后，該臺風(fēng)還沒有開始侵襲城市A. 1分（2）因此，t小時(shí)后臺風(fēng)侵襲的范圍可視為以為圓心，為半徑的圓，若城市A受到臺風(fēng)侵襲，則，即，5分解得 1分答：該城市受臺風(fēng)侵襲的持續(xù)時(shí)間為12小時(shí). 1分4、某校興趣小組在如圖所示的矩形區(qū)域ABCD內(nèi)舉行機(jī)器人攔截挑戰(zhàn)賽，在E處按方向釋放機(jī)器人甲，同時(shí)在A處按某方向釋放機(jī)器人乙，設(shè)機(jī)器人乙在Q處成功攔截機(jī)器人甲若點(diǎn)Q在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)（包含邊界），則挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失敗已知米，E為AB中點(diǎn)，機(jī)器人乙的速度是機(jī)器人甲的速度的2倍，比賽中兩機(jī)器人均按勻速直線運(yùn)動方式行進(jìn)，記與的夾角為（1）若，AD足夠長，如何設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度才能挑戰(zhàn)成功？（結(jié)果精確到）（2）如何設(shè)計(jì)矩形區(qū)域ABCD的寬AD的長度，才能確保無論的值為多少，總可以通過設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度使機(jī)器人乙在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)成功攔截機(jī)器人甲？DAEBCP解：（1）中，.2分由正弦定理，得：所以.4分所以所以應(yīng)在矩形區(qū)域內(nèi)，按照與夾角為的向量方向釋放機(jī)器人乙，才能挑戰(zhàn)成功.6分（2） 以所在直線為軸，中垂線為軸，建平面直角坐標(biāo)系，設(shè).8分由題意，知，所以所以.11分即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，6為半徑的上半圓在矩形區(qū)域內(nèi)的部分所以當(dāng)米時(shí)，能確保無論的值為多少，總可以通過設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度使機(jī)器人乙在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)成功攔截機(jī)器人甲.14分5海事救援船對一艘失事船進(jìn)行定位：以失事船的當(dāng)前位置為原點(diǎn)，以正北方向?yàn)檩S正方向建立平面直角坐標(biāo)系（以1海里為單位長度），則救援船恰好在失事船正南方向12海里處，如圖現(xiàn)假設(shè)：失事船的移動路徑可視為拋物線；定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；救援船出發(fā)小時(shí)后，失事船所在位置的橫坐標(biāo)為（1）當(dāng)時(shí)，寫出失事船所在位置的縱坐標(biāo)若此時(shí)兩船恰好會合，求救援船速度的大小和方向；（2）問救援船的時(shí)速至少是多少海里才能追上失事船？三、數(shù)列1、某市2017年發(fā)放汽車牌照12萬張，其中燃油型汽車牌照10萬張，電動型汽車2萬張為了節(jié)能減排和控制總量，從2017年開始，每年電動型汽車牌照按50%增長，而燃油型汽車牌照每一年比上一年減少萬張，同時(shí)規(guī)定一旦某年發(fā)放的牌照超過15萬張，以后每一年發(fā)放的電動車的牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變（1）記2017年為第一年，每年發(fā)放的燃油型汽車牌照數(shù)構(gòu)成數(shù)列，每年發(fā)放的電動型汽車牌照數(shù)構(gòu)成數(shù)列，完成下列表格，并寫出這兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式； 3 （2）從2017年算起，累計(jì)各年發(fā)放的牌照數(shù)，哪一年開始超過200萬張？解：（1） 9 8.5 3 4.5 6.75 當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，-4分 而，-7分（2）當(dāng)時(shí)，-8分當(dāng)時(shí)， -11分由 得，即，解得 -13分到2029年累積發(fā)放汽車牌照超過200萬張-14分2、某化工廠從今年一月起，若不改善生產(chǎn)環(huán)境，按生產(chǎn)現(xiàn)狀，每月收入為70萬元，同時(shí)將受到環(huán)保部門的處罰，第一個(gè)月罰3萬元，以后每月增加2萬元如果從今年一月起投資500萬元添加回收凈化設(shè)備（改造設(shè)備時(shí)間不計(jì)），一方面可以改善環(huán)境，另一方面也可以大大降低原料成本據(jù)測算，添加回收凈化設(shè)備并投產(chǎn)后的前5個(gè)月中的累計(jì)生產(chǎn)凈收入是生產(chǎn)時(shí)間個(gè)月的二次函數(shù)（是常數(shù)），且前3個(gè)月的累計(jì)生產(chǎn)凈收入可達(dá)309萬，從第6個(gè)月開始，每個(gè)月的生產(chǎn)凈收入都與第5個(gè)月相同同時(shí)，該廠不但不受處罰，而且還將得到環(huán)保部門的一次性獎勵100萬元（1）求前8個(gè)月的累計(jì)生產(chǎn)凈收入的值；（2）問經(jīng)過多少個(gè)月，投資開始見效，即投資改造后的純收入多于不改造時(shí)的純收入解：（1）據(jù)題意，解得，2分第5個(gè)月的凈收入為萬元，2分所以，萬元2分（2）即2分要想投資開始見效，必須且只需即2分當(dāng)時(shí)，即不成立；1分當(dāng)時(shí)，即，2分驗(yàn)算得，時(shí)， 1分所以，經(jīng)過9個(gè)月投資開始見效 1分3、為了配合今年上海迪斯尼游園工作，某單位設(shè)計(jì)了統(tǒng)計(jì)人數(shù)的數(shù)學(xué)模型：以表示第個(gè)時(shí)刻進(jìn)入園區(qū)的人數(shù)；以表示第個(gè)時(shí)刻離開園區(qū)的人數(shù)設(shè)定以分鐘為一個(gè)計(jì)算單位，上午點(diǎn)分作為第個(gè)計(jì)算人數(shù)單位，即；點(diǎn)分作為第個(gè)計(jì)算單位，即；依次類推，把一天內(nèi)從上午點(diǎn)到晚上點(diǎn)分分成個(gè)計(jì)算單位（最后結(jié)果四舍五入，精確到整數(shù)）（1）試計(jì)算當(dāng)天點(diǎn)至點(diǎn)內(nèi)，進(jìn)入園區(qū)的游客人數(shù)、離開園區(qū)的游客人數(shù)各為多少？（2）假設(shè)當(dāng)日園區(qū)游客總?cè)藬?shù)達(dá)到或超過萬時(shí)，園區(qū)將采取限流措施該單位借助該數(shù)學(xué)模型知曉當(dāng)天點(diǎn)（即）時(shí)，園區(qū)總?cè)藬?shù)會達(dá)到最高，請問當(dāng)日是否要采取限流措施？說明理由（3）假設(shè)從點(diǎn)分（即）開始，有游客離開園區(qū)，請你求出這之后的園區(qū)內(nèi)游客總?cè)藬?shù)最多的時(shí)刻，并說明理由解：（1）當(dāng)天點(diǎn)至點(diǎn)這一小時(shí)內(nèi)進(jìn)入園區(qū)人數(shù)為（人） 3分離開園區(qū)的人數(shù)（人） 6分（2）當(dāng)天下午點(diǎn)（）時(shí)進(jìn)入園區(qū)人數(shù)為（人） 10分此時(shí)，離開園區(qū)的人數(shù)人12分此時(shí)，園區(qū)共有游客為（人） 13分因?yàn)椋援?dāng)天不會采取限流措施 14分（3）當(dāng)時(shí)，游客人數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，游客人數(shù)遞減7分 當(dāng)時(shí)，由，可得：當(dāng)時(shí)，進(jìn)入園區(qū)游客人數(shù)多于離開園區(qū)游客人數(shù)，總?cè)藬?shù)越來越多；9分當(dāng)時(shí)，進(jìn)入園區(qū)游客人數(shù)少于離開游客人數(shù)，總?cè)藬?shù)將變少； 11分（；） 當(dāng)時(shí)，由遞減，且其值恒為負(fù)數(shù)進(jìn)入園區(qū)游客人數(shù)少于離開游客人數(shù)，總?cè)藬?shù)將變少 13分綜上，當(dāng)天下午點(diǎn)時(shí)（）園區(qū)內(nèi)的游客人數(shù)最多，此時(shí)計(jì)算可知園區(qū)大約共有人. 14分4、李克強(qiáng)總理在很多重大場合都提出“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”. 某創(chuàng)客，白手