第3章 剛體力學(xué)基礎(chǔ).doc

第3章 剛體力學(xué)基礎(chǔ)一、目的與要求1確切理解描述剛體平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基本物理定義及性質(zhì)，并掌握角量與線量的關(guān)系。2確切理解和掌握力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念及計(jì)算方法，掌握剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，熟練應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律求解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)及與質(zhì)心聯(lián)動(dòng)問題。3理解剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能概念。掌握力矩的功，剛體的重力勢(shì)能，剛體的動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律。4確切理解角動(dòng)量概念，并能對(duì)含有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在內(nèi)的系統(tǒng)正確應(yīng)用角動(dòng)量定理及角動(dòng)量守恒定律。5了解進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象和基本描述。二、內(nèi)容提要1剛體的基本運(yùn)動(dòng)剛體的平動(dòng)：剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，在剛體內(nèi)所作的任一條直線始終保持和自身平行。其特點(diǎn)為：對(duì)剛體上任兩點(diǎn)和，它們的運(yùn)動(dòng)軌跡相似，。因此描述剛體的平動(dòng)時(shí)，可用其上任一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來代表。剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體內(nèi)各質(zhì)元均作圓周運(yùn)動(dòng)，且各圓心在同一條固定不動(dòng)的直線上。剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)：剛體上每一質(zhì)元均在平行于某一固定平面的平面中。2力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩：使剛體產(chǎn)生角加速度的外來作用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的垂直軸定理：3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：剛體所受的外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩之代數(shù)和等于剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的角加速度的乘積、均相對(duì)于同一轉(zhuǎn)軸。4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理力矩的功：轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：動(dòng)能定理：機(jī)械能守恒定律：系統(tǒng)（包括剛體）只有保守力作功時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能（包括轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能）與勢(shì)能之和為常量，即常量5剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理及其守恒定律角動(dòng)量定理：對(duì)一固定軸的合外力矩等于剛體對(duì)該軸的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率，即角動(dòng)量守恒定律：當(dāng)時(shí)，常量。6剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)動(dòng)能：作平面平行運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能等于質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能與剛體繞過質(zhì)心的瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和三、例題3-1 一輕繩繞于半徑為的圓盤邊緣，在繩端施以的拉力，圓盤可繞水平固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤質(zhì)量為，圓盤從靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)，試求（1）圓盤的角加速度及轉(zhuǎn)動(dòng)的角度和時(shí)間的關(guān)系。（2）如以質(zhì)量的物體掛在繩端，再計(jì)算圓盤的角加速度及轉(zhuǎn)動(dòng)的角度和時(shí)間的關(guān)系。分析 本題是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問題，應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律即可求出圓盤的角加速度，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)定律積分可求解。解 （1）圓盤所受的合外力矩為對(duì)圓盤用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有因而角加速度為(1)由于，且時(shí)，積分（1）式，有得(2)而，且時(shí)，積分（2）式，有可得轉(zhuǎn)動(dòng)角度和時(shí)間的關(guān)系為（2）設(shè)為繩子的張力，對(duì)圓盤，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有(4)對(duì)物體，由牛頓定律，有(5)而(6)聯(lián)立（4）、（5）、（6）式，即可解得轉(zhuǎn)動(dòng)角度與時(shí)間的關(guān)系為(7)由，且時(shí)，。通過對(duì)（7）式積分，即可得轉(zhuǎn)動(dòng)角度與時(shí)間的關(guān)系為(8)說明 本題的第二問是典型的剛體與質(zhì)點(diǎn)連接的聯(lián)體問題，可采用隔離研究，對(duì)質(zhì)點(diǎn)用牛頓定律，對(duì)剛體用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，并注意與（1）問的區(qū)別。同時(shí)，從（7）式可明顯看出，這類問題也可將系統(tǒng)看成一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的剛體，運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律求解。3-2 長(zhǎng)為，質(zhì)量分布不均勻的細(xì)桿，其線密度為（、為常量），細(xì)桿可繞軸在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示，忽略軸的摩擦力，將桿從水平位置釋放，試求桿轉(zhuǎn)到鉛直位置時(shí)，桿所具有的角速度。分析 這是一個(gè)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問題。當(dāng)求細(xì)桿重力對(duì)軸的力矩時(shí)，因桿質(zhì)量不均勻，要先恰當(dāng)?shù)厍蟪鲈?，通過積分求，然后采用轉(zhuǎn)動(dòng)定律形式，積分即可求。解 設(shè)時(shí)刻桿與垂線間的夾角為，由于桿的質(zhì)量不均勻，求重力對(duì)軸的力矩時(shí)，可在桿上取線元，該線元對(duì)軸的力矩為對(duì)軸的總力矩為 細(xì)桿的質(zhì)量不均勻，因此其對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有積分變量替換代入上式化簡(jiǎn)得初始條件時(shí)，當(dāng)轉(zhuǎn)到時(shí)，積分上式得說明 本題有多種解法。題中給出了用轉(zhuǎn)動(dòng)定律求解的方法，也可用動(dòng)能定理，機(jī)械能守恒定律求解。讀者可自己考慮。3-3 一均質(zhì)細(xì)桿，長(zhǎng)為，質(zhì)量為，可繞通過一端的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖。一質(zhì)量為的子彈以速度射入細(xì)桿，子彈射入點(diǎn)離點(diǎn)的距離為，試求（1）桿剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度及可擺到的最大角度。（2）求軸上的橫向力為零時(shí)，子彈射入的位置（即打擊中心位置）。分析 子彈射入細(xì)桿過程中，子彈、細(xì)桿系統(tǒng)角動(dòng)量守恒；細(xì)桿擺動(dòng)時(shí)，機(jī)械能守恒，由兩守恒定律可求及。子彈射入細(xì)桿，細(xì)桿軸受力，軸受橫向力的沖量應(yīng)等于子彈、細(xì)桿系統(tǒng)動(dòng)量的改變，橫向力時(shí)，即可求出打擊中心位置。解 （1）子彈射入細(xì)桿過程極其短暫，此過程中桿的位置還來不及變化，故子彈和細(xì)桿這個(gè)系統(tǒng)的重力對(duì)定軸無力矩，軸力當(dāng)然也無力矩，故這個(gè)系統(tǒng)在子彈射入過程中對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒(1)射入后子彈與桿共同擺動(dòng)過程中，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，取子彈射入處為勢(shì)能零點(diǎn) (2)聯(lián)立（1）、（2）可解得桿的角速度及可擺到的最大角度分別為（2）將子彈和細(xì)桿視為一個(gè)系統(tǒng)，則系統(tǒng)受的外力為，如圖，設(shè)子彈打在距軸處，根據(jù)動(dòng)量定理 (3)系統(tǒng)對(duì)軸角動(dòng)量守恒，有 因而(4)將（4）式代入（3）式當(dāng)時(shí)，則解此方程得此即打擊中心的位置。說明 子彈和細(xì)桿組成的系統(tǒng)受到外界對(duì)細(xì)桿轉(zhuǎn)軸的作用力，故系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，這一點(diǎn)需特別注意，但由于該作用力通過轉(zhuǎn)軸，不產(chǎn)生力矩，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，并且因該力通過轉(zhuǎn)軸，其力矩的功（實(shí)際上也就是力的功）為零，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，綜合角動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒求解本題。另外，打擊中心即為使桿在軸處沿打擊方向橫向力為零時(shí)的打擊點(diǎn)。3-4 一質(zhì)量為的子彈，穿過與均勻細(xì)桿連接的物體后，速度由減至，設(shè)桿可繞過點(diǎn)的固定軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，桿長(zhǎng)為，桿與物體的質(zhì)量均為，如圖，開始時(shí)，桿與物體靜止于鉛垂位置，物體的大小可以忽略不計(jì)，子彈與物體作用過程極短，試求，欲使物體與桿可以在豎直平面內(nèi)完成圓周運(yùn)動(dòng)，子彈的速度不能小于多少？分析 子彈、物體系統(tǒng)對(duì)軸角動(dòng)量守恒，物體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械能守恒，物體與桿恰能完成圓周運(yùn)動(dòng)的條件是其轉(zhuǎn)到垂直位置時(shí)的動(dòng)能為零，由此求解本題。解 假定子彈穿過物體后，物體與桿的角速度為，物體與桿轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，由機(jī)械能守恒及物體與桿恰能完成圓周運(yùn)動(dòng)的條件，有解得子彈穿過物體，子彈、桿、物體組成系統(tǒng)對(duì)軸角動(dòng)量守恒，因此解得所以說明 本題綜合運(yùn)用角動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒求解，其關(guān)鍵在于分析守恒條件，子彈和細(xì)桿組成的系統(tǒng)在細(xì)桿轉(zhuǎn)軸處受外力作用，但此力力矩為零，因此其力矩的功也為零，因而角動(dòng)量、機(jī)械能守恒。3-5 如圖，有一長(zhǎng)度為，質(zhì)量為的均勻細(xì)桿靜止水平放在摩擦系數(shù)為的水平桌面上，它可繞通過其端點(diǎn)且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，另一質(zhì)量為水平運(yùn)動(dòng)的小滑塊從側(cè)面沿垂直于桿的方向與桿的另一端相碰撞，并被反向彈回，碰撞時(shí)間極短。已知小滑塊與細(xì)桿碰撞前后的速率分別為和，求（1）碰撞后桿繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度；（2）碰撞后從桿開始轉(zhuǎn)動(dòng)到停止轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中所需的時(shí)間。分析 滑塊與細(xì)桿碰撞角動(dòng)量守恒，由此求細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)的，此后，細(xì)桿受摩擦力矩作用轉(zhuǎn)速逐漸減為零，由摩擦力矩，根據(jù)角動(dòng)量定理即可求出時(shí)間。解 （1）以桿和滑塊為研究系統(tǒng)。由于碰撞時(shí)間極短，桿所受到的摩擦力矩遠(yuǎn)小于滑塊的沖力矩，故可認(rèn)為合外力矩為零，因此系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒，即(1)解得（2）碰后桿在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中所受的摩擦力矩為(2)由角動(dòng)量定理得(3)由式（1）、（2）、（3）聯(lián)立解得說明 本題需注意兩點(diǎn)：（1）在處理碰撞問題時(shí)，通常因碰撞時(shí)間極短，摩擦力矩遠(yuǎn)小于碰撞產(chǎn)生的沖力矩，角動(dòng)量守恒；（2）棒各處摩擦力矩不同，首先要寫出微元力矩，即，通過積分求摩擦力矩。3-6 如圖，兩個(gè)半徑分別為和的圓柱體，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為和，分別可繞其軸轉(zhuǎn)動(dòng)。最初大圓柱的角速度為，小圓柱不轉(zhuǎn)動(dòng)，現(xiàn)將小圓柱向右平移，碰到大圓柱后由于摩擦力的作用而被帶著轉(zhuǎn)動(dòng)，最后兩圓柱無滑動(dòng)地各自以恒定角速度沿相反方向轉(zhuǎn)動(dòng)。試求小圓柱和大圓柱的最終角速度。分析 大圓柱與小圓柱接觸后，由于摩擦力矩作用，大圓柱轉(zhuǎn)速減小，小圓柱轉(zhuǎn)速變大，最后穩(wěn)定。對(duì)兩圓柱分別應(yīng)用角動(dòng)量定理，由兩圓柱摩擦力相等，穩(wěn)定后接觸點(diǎn)線速度相等，即可求出穩(wěn)定后兩圓柱角速度。解 兩圓柱體從接觸到穩(wěn)定只受摩擦力，其一對(duì)摩擦力，對(duì)兩圓柱體分別應(yīng)用角動(dòng)量定理(1)(2)注意到。由（1）、（2）式可得(3)兩圓柱穩(wěn)定后，其接觸點(diǎn)線速度相等，即(4)由（3）、（4）式可解得小圓柱最終角速度：，大圓柱最終角速度：。說明 兩柱體從開始接觸到穩(wěn)定過程中，均受到外力矩作用，這一外力矩就是摩擦力矩，因此角動(dòng)量不守恒，只能對(duì)兩柱體分別使用角動(dòng)量定理求解。兩柱體達(dá)到穩(wěn)定后，兩柱體不再有相對(duì)滑動(dòng)。因此，接觸點(diǎn)處線速度相同，故可得（4）式。3-7 如圖所示，長(zhǎng)為的均勻細(xì)桿水平地放置在桌面上，質(zhì)心離桌邊緣的距離為，從靜止開始下落。已知桿與桌邊緣之間的摩擦系數(shù)為。試求：桿開始滑動(dòng)時(shí)的臨界角。分析 細(xì)桿滑動(dòng)前以點(diǎn)為軸在重力矩作用下轉(zhuǎn)動(dòng)，細(xì)桿質(zhì)心做以點(diǎn)為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律及質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律即可求出點(diǎn)摩擦力與角關(guān)系，細(xì)桿開始滑動(dòng)的臨界條件為。解 無滑動(dòng)時(shí)，桿繞過點(diǎn)的固定軸做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有(1)由平行軸定理求細(xì)桿繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(2)無滑動(dòng)時(shí)，桿繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，桿上各點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)質(zhì)心，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得(3)(4)桿繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，只有重力作功，機(jī)械能守恒，有得(5)將式（5）代入式（3），并利用式（2），得(6)將式（1）代入式（4），并利用式（2），得(7)開始滑動(dòng)的臨界條件為(8)因此，由式（6）、（7）、（8），有式中為臨界角，整理可得說明 在一般涉及轉(zhuǎn)軸對(duì)剛體的作用力的問題中，除了要應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律外，一般還要用到質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，如本題。3-8 一長(zhǎng)為的均勻薄窄平板，一端靠在摩擦略去不計(jì)的垂直墻壁上，另一端放在摩擦亦略去不計(jì)的水平地板上。開始時(shí)，木板靜止并與地板成角，當(dāng)松開木板后，木板下滑，試求木板脫離墻壁時(shí)，木板與地面間的夾角為多大？分析 木板運(yùn)動(dòng)可看成木板質(zhì)心平動(dòng)和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)，木板下滑過程中，墻壁對(duì)其作用力，不作功，機(jī)械能守恒，由此可得木板繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度與角關(guān)系：。對(duì)木板由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律結(jié)合可得或與的關(guān)系。木板脫離墻壁的條件為或，由此求得木板脫離墻壁時(shí)與地面的夾角。解 取板初始位置時(shí)的質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)如圖。對(duì)木板，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有要使木板脫離墻壁，則即木板在脫離墻壁前受到三個(gè)力作用；墻壁給板的作用力，地板給板的作用力和木板重力，如圖所示。在任一時(shí)刻板質(zhì)心的位置坐標(biāo)為(1)(2)因此任一時(shí)刻板的質(zhì)心速度、分別為(3)(4)質(zhì)心加速度在軸上的分量為 (5)可取板和地球?yàn)檠芯肯到y(tǒng)，在板下滑過程中，除保守內(nèi)力外，其余力均不作功，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，有其中將式（3）和式（4）代入上式，得解出將式（2）代入上式，得(6)故(7)將式（6）和式（7）代入式（5），有 當(dāng)木板脫離墻壁時(shí)，即于是可得木板脫離墻壁時(shí)，木板與地面間夾角為說明 應(yīng)用機(jī)械能守恒定律時(shí)，需注意的是，木板的動(dòng)能包括質(zhì)心運(yùn)動(dòng)動(dòng)能和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。另外，也應(yīng)注意木板脫離墻壁的條件或。3-9 將質(zhì)量為的均勻金屬絲彎成一半徑為的圓環(huán)，其上套有一質(zhì)量等于的小珠，小珠可在此圓環(huán)上無摩擦地運(yùn)動(dòng)，這一系統(tǒng)可繞固定在地面上的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。開始時(shí)，小珠（可看作質(zhì)點(diǎn)）位于圓環(huán)的頂部處，系統(tǒng)繞軸旋轉(zhuǎn)的角速度為，求：當(dāng)小珠滑到與環(huán)心同一水平的處及環(huán)的底部處時(shí)，環(huán)的角速度值，以及小珠相對(duì)環(huán)和相對(duì)地面的速度值。分析 小珠與圓環(huán)組成系統(tǒng)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量守恒，由此可解得小珠滑到、點(diǎn)時(shí)圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度、。同時(shí)，系統(tǒng)機(jī)械能守恒可解得小珠在、點(diǎn)相對(duì)圓環(huán)的速度、。小珠相對(duì)地面速度為兩速度合成。解 取圓環(huán)、小珠為系統(tǒng)，在小珠下落過程中，系統(tǒng)所受外力對(duì)軸的力矩為零，故系統(tǒng)對(duì)軸角動(dòng)量守恒，設(shè)小珠落至、處時(shí)環(huán)的角速度分別為、，則有(1)(2)式中為圓環(huán)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，圓環(huán)繞過中心且垂直環(huán)面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)量為，根據(jù)垂直軸定理(3)由（1）（3）式解得(4)(5)取小珠、環(huán)及地球?yàn)橄到y(tǒng)，在小珠下落過程中，外力做功為零，系統(tǒng)中又無非保守內(nèi)力做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。設(shè)小珠落至、處時(shí)，相對(duì)于環(huán)的速度分別為、，則有(6)(7)由（4）（7）式，解得小珠在、處相對(duì)于環(huán)的速度分別為(8)(9)小珠相對(duì)于環(huán)作圓周運(yùn)動(dòng)，所以的方向與軸平行向下，的方向與軸垂直向左。小珠落到處時(shí)，環(huán)上處相對(duì)于地面速度為，方向垂直紙面向里。故小珠在處相對(duì)于地面的速度大小為(10)把（4）、（8）式代入（10）式可得環(huán)上處相對(duì)于地面的速度恒為零，所以小珠在處相對(duì)于地面的速度，即為相對(duì)于環(huán)的速度，故有說明 對(duì)于本題要注意，這是一個(gè)包含有剛體和質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)。實(shí)際上對(duì)所有的質(zhì)點(diǎn)系，只要外力對(duì)某軸的力矩之和為零，則質(zhì)點(diǎn)系關(guān)于該軸角動(dòng)量守恒，只要無非保守力作功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。3-10 如圖，一實(shí)心圓柱體在一傾角為的斜面上作無滑動(dòng)滾動(dòng)。設(shè)摩擦系數(shù)為，求使該實(shí)心圓柱體只滾不滑時(shí)，的取值范圍。如果和可調(diào)節(jié)，能否使圓柱體在無滑下滾過程中質(zhì)心保持勻速運(yùn)動(dòng)。分析 圓柱體無滑下滾過程中，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律及繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，結(jié)合純滾條件可解得摩擦力與角關(guān)系。純滾時(shí)，摩擦力，由此可限定角取值范圍。由上也可得質(zhì)心與關(guān)系并由此可判斷無滑下滾過程中質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。解 設(shè)實(shí)心圓柱體的半徑為，其對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其受力如圖。質(zhì)心沿斜面平動(dòng)（以沿斜面向下為正）有(1)在垂直斜面方向有(2)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)有(3)只滾不滑的條件是(4)由（1）、（2）、（3）、（4）式可得(5)(6)欲使物體只滾不滑，則必須有所以(7)即將代入，即得要保證只滾不滑，則由（6）式知(8)由（7）式知(9)從（1）式知(10)將（8）式代入（10）式得此時(shí)調(diào)節(jié)只能改變，但不會(huì)為零，故不能使質(zhì)心以勻速無滑下滾。說明 這是一個(gè)典型的剛體平面平行運(yùn)動(dòng)。此類剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)可看成質(zhì)心的平動(dòng)和繞通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，其求解過程一般為（1）對(duì)質(zhì)心平動(dòng)應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律；（2）對(duì)繞過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律；然后結(jié)合運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)求解。其中，對(duì)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的分析和描述非常重要。3-11 三個(gè)質(zhì)量都為的小球，和小球分別固定于一長(zhǎng)為的剛性輕質(zhì)（其質(zhì)量可忽略不計(jì)）細(xì)桿兩端，并置于光滑水平面上，小球以速度與小球?qū)π膹椥耘鲎玻c方向夾角為。求碰后（1）棒的角速度；（2）小球損失的動(dòng)能。分析 取球與由細(xì)桿相連的、球?yàn)橄到y(tǒng)，碰撞前后系統(tǒng)動(dòng)量守恒，對(duì)質(zhì)心角動(dòng)量守恒，同時(shí)動(dòng)能守恒，由三守恒定律即可求棒繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，而小球碰撞前后的速度也可求出，從而可求球損失的動(dòng)能。解 （1）由、三小球組成的系統(tǒng)，在碰撞過程中，系統(tǒng)的角動(dòng)量、動(dòng)能和動(dòng)量都守恒。和對(duì)心碰撞，設(shè)其碰后速度為，顯然與在同一直線上，同時(shí)設(shè)碰后，質(zhì)心速度為，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為，則角動(dòng)量守恒（對(duì)質(zhì)心）。(1)動(dòng)能守恒(2)動(dòng)量守恒(3)化簡(jiǎn)以上三式得(4)(5)(6)由（4）、（6）兩式得(7)聯(lián)立（5）、（6）兩式，并考慮到（7）式得(8)將（8）代入（4）式即得棒的角速度為（2）小球損失的動(dòng)能為而則而為小球原有的動(dòng)能。因而，可見小球D損失的動(dòng)能為原有動(dòng)能的。說明 小球和細(xì)桿組成的系統(tǒng)不受外力，當(dāng)然也不受外力矩作用，因而動(dòng)量、角動(dòng)量守恒，同時(shí)小球的碰撞為彈性碰撞，動(dòng)能也守恒。需要注意的是在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，由于剛體受軸的作用力，剛體的動(dòng)量一般不守恒，但本題無此軸力的作用。同時(shí)，從結(jié)果我們可看出細(xì)桿既作平動(dòng)（以質(zhì)心速度表示），又作繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為。3-12 如圖所示，將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)沿一個(gè)半徑為的光滑半球形碗的內(nèi)面水平地投射，碗保持靜止。設(shè)是質(zhì)點(diǎn)恰好能達(dá)到碗口所需要的初速率。試求出作為的函數(shù)，是用角度表示的質(zhì)點(diǎn)的初位置。分析 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，對(duì)軸角動(dòng)量守恒，同時(shí)機(jī)械能也守恒，由兩守恒定律可求解本題。解 設(shè)小球于點(diǎn)以投射，此時(shí)對(duì)軸的角動(dòng)量為其中則當(dāng)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)碗口時(shí)，角動(dòng)量為由于小球所受的力與軸在同一平面內(nèi)，則合外力矩，所以角動(dòng)量守恒。即又全過程中僅重力作功，機(jī)械能守恒 所以說明 由此題可以看出，用守恒定律求解題非常方便。3-13 如圖，半徑為的乒乓球，繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為乒乓球的質(zhì)量，以一定的初速度在粗糙的水平面上運(yùn)動(dòng)，開始時(shí)球的質(zhì)心速度為，初角速度為，兩者的方向如圖所示，已知乒乓球與地面之間的摩擦系數(shù)為，試求乒乓球開始作純滾運(yùn)動(dòng)所需的時(shí)間及純滾時(shí)的質(zhì)心速度。分析 乒乓球在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中都受到摩擦力作用，大小為是定值，方向向左。開始時(shí)，乒乓球質(zhì)心向右運(yùn)動(dòng)且繞質(zhì)心逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，摩擦力阻止質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的同時(shí)也阻止其繞質(zhì)心逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，使質(zhì)心速度和角速度越來越小。若質(zhì)心初速度較大時(shí)，當(dāng)減為零時(shí)，質(zhì)心速度還末為零，乒乓球繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)，此時(shí)在摩擦力作用下，乒乓球開始順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，因此時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的較小，乒乓球還是又滾又滑。此后，由于摩擦力作用，質(zhì)心速度繼續(xù)減小，但同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度不斷增大，直到滿足條件時(shí)，乒乓球開始純滾運(yùn)動(dòng)，因此，利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定律即可求解乒乓球開始作純滾運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間及純滾時(shí)質(zhì)心速度，另外，也可在選擇好恰當(dāng)參考點(diǎn)下，用角動(dòng)量守恒定律可求出純滾時(shí)質(zhì)心的速度，進(jìn)而求出純滾所需時(shí)間。解法一 如圖的水平向右為質(zhì)心速度的正方向，設(shè)如圖的逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為角速度的正方向，在球又滾又滑階段，滑動(dòng)摩擦力為定值，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有初條件為時(shí)，代入積分上式得(1)由轉(zhuǎn)動(dòng)定律初條件為時(shí)，代入積分上式得(2)又因純滾條件為(3)設(shè)達(dá)到純滾的時(shí)間為，負(fù)號(hào)表示純滾時(shí)，乒乓球滾動(dòng)方向與規(guī)定方向相反，把（1）、（2）式，代入（3）式，得將代入得把代入（1）式，得出開始純滾時(shí)質(zhì)心速度為 解法二 利用角動(dòng)量守恒定律。如圖，取開始時(shí)乒乓球與地面的接觸點(diǎn)為參考點(diǎn)，設(shè)角動(dòng)量的正方向?yàn)榇怪眻D面向里，因乒乓球不受外力矩，故角動(dòng)量守恒，球?qū)⒖键c(diǎn)的角動(dòng)量等于質(zhì)心角動(dòng)量與繞質(zhì)心軸的角動(dòng)量的矢量和。開始時(shí)的角動(dòng)量為，開始純滾時(shí)的角動(dòng)量為，由角動(dòng)量守恒，有即因純滾時(shí)滿足條件故純滾時(shí)的質(zhì)心速度滿足即設(shè)達(dá)到純滾所需時(shí)間為，則因即故從上可知，當(dāng)，即時(shí)，即球達(dá)到純滾后質(zhì)心繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，即球達(dá)到純滾后質(zhì)心向左運(yùn)動(dòng)，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。說明 對(duì)于剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)，我們總是將其分為質(zhì)心的平動(dòng)及繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分，本題也不例外。質(zhì)心的平動(dòng)應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律，轉(zhuǎn)動(dòng)應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，加上運(yùn)動(dòng)的特殊約束（如本題的純滾）就可求解一般的剛體平面運(yùn)動(dòng)問題。本題中的解法二巧妙選擇了參考點(diǎn)，用角動(dòng)量守恒也同樣可求解。四、習(xí)題3.1 如圖，用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定飛輪對(duì)于其轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。飛輪的半徑為，今在飛輪上繞一細(xì)繩，繩的末端掛一質(zhì)量為的重錘，讓重錘自高度處落下，測(cè)得下落時(shí)間，為消除軸承摩擦所引起的摩擦力矩的影響，再用質(zhì)量為的重錘作第二次試驗(yàn)。此重錘自同一高度處下落的時(shí)間為，假設(shè)摩擦力矩是個(gè)常量，與重錘的重量無關(guān)，求飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。3.2 如圖所示，一質(zhì)量為的均質(zhì)方形薄板，其邊長(zhǎng)為，鉛直放置著，它可以自由地繞其一固定邊轉(zhuǎn)動(dòng)。若有一質(zhì)量為，速度為的小球垂直于板面碰在板的邊緣上。設(shè)碰撞是彈性的，試分析碰撞后，板和小球的運(yùn)動(dòng)情況。3.3 以力將一塊粗糙平面壓在輪上，平面與輪之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為，輪的初角速度為，問轉(zhuǎn)過多少角度時(shí)輪即停止轉(zhuǎn)動(dòng)？已知輪的半徑為R，質(zhì)量為，可看作均質(zhì)圓盤，軸的質(zhì)量不計(jì)。3.4 兩輪、分別繞通過其中心的垂直軸同向轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度分別為，。已知兩輪的半徑與質(zhì)量分別為，試求兩輪對(duì)心銜接（即嚙合）后的角速度。3.