第3章學(xué)案14.doc

學(xué)案14導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次)及最大(最小)值自主梳理1導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系：(1)對于函數(shù)yf(x)，如果在某區(qū)間上f(x)0，那么f(x)為該區(qū)間上的_；如果在某區(qū)間上f(x)1.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)證明：若a1.【答題模板】(1)解f(x)的定義域?yàn)?0，)f(x)xa.3分若a11，即a2時(shí)，f(x).故f(x)在(0，)上單調(diào)遞增若a11，故1a2時(shí)，則當(dāng)x(a1,1)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(a1,1)上單調(diào)遞減，在(0，a1)，(1，)上單調(diào)遞增若a11，即a2時(shí)，同理可得f(x)在(1，a1)上單調(diào)遞減，在(0,1)，(a1，)上單調(diào)遞增7分(2)證明考慮函數(shù)g(x)f(x)xx2ax(a1)ln xx.則g(x)x(a1)2(a1)1(1)2.由于1a0，即g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，從而當(dāng)x1x20時(shí)，有g(shù)(x1)g(x2)0，即f(x1)f(x2)x1x20，故1.12分當(dāng)0x11.綜上，若a1.14分【突破思維障礙】(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的關(guān)鍵是討論導(dǎo)數(shù)大于0或小于0的不等式的解集，一般就是歸結(jié)為一個(gè)一元二次不等式的解集的討論，在能夠通過因式分解得到導(dǎo)數(shù)等于0的根的情況下，根的大小是分類的標(biāo)準(zhǔn)；(2)利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題的主要方法就是構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而解決不等式問題1求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求f(x)，令f(x)0，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)根；(3)把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)(即f(x)的無定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間；(4)確定f(x)在各個(gè)開區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)f(x)的符號(hào)判定函數(shù)f(x)在每個(gè)相應(yīng)小開區(qū)間內(nèi)的增減性2可導(dǎo)函數(shù)極值存在的條件：(1)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)x0一定滿足f(x0)0，但當(dāng)f(x1)0時(shí)，x1不一定是極值點(diǎn)如f(x)x3，f(0)0，但x0不是極值點(diǎn)(2)可導(dǎo)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f(x0)0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f(x)的符號(hào)不同3函數(shù)的最大值、最小值是比較整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出來的，函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出來的函數(shù)的極值可以有多有少，但最值只有一個(gè)，極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值，極值可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)必定是極值4求函數(shù)的最值以導(dǎo)數(shù)為工具，先找到極值點(diǎn)，再求極值和區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1(2011泰州實(shí)驗(yàn)一模)函數(shù)f(x)xln x的單調(diào)減區(qū)間為_2已知函數(shù)f(x)2x36x2m(m為常數(shù))在2,2上有最大值3，那么此函數(shù)在2,2上的最小值是_3函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_4(2011蘇州模擬)若函數(shù)ya(x3x)在區(qū)間上為減函數(shù)，則a的取值范圍為_5設(shè)aR，若函數(shù)yeax3x，xR有大于零的極值點(diǎn)，則a的取值范圍為_6(2011聊城一模)若a2，則函數(shù)f(x)x3ax21在區(qū)間(0,2)上有_個(gè)零點(diǎn)7已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：函數(shù)f(x)在(2，1)和(1,2)上是單調(diào)遞增函數(shù)；函數(shù)f(x)在(2,0)上是單調(diào)遞增函數(shù)，在(0,2)上是單調(diào)遞減函數(shù)；函數(shù)f(x)在x1處取得極大值，在x1處取得極小值；函數(shù)f(x)在x0處取得極大值f(0)則正確命題的序號(hào)是_(填上所有正確命題的序號(hào))8已知函數(shù)f(x)x3mx2(m6)x1既存在極大值又存在極小值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_二、解答題(共42分)9(12分)求函數(shù)f(x)的極值10(14分)(2010秦皇島模擬)已知a為實(shí)數(shù)，且函數(shù)f(x)(x24)(xa)(1)求導(dǎo)函數(shù)f(x)；(2)若f(1)0，求函數(shù)f(x)在2,2上的最大值、最小值11(16分)已知函數(shù)f(x)x3mx2nx2的圖象過點(diǎn)(1，6)，且函數(shù)g(x)f(x)6x的圖象關(guān)于y軸對稱(1)求m，n的值及函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a0，求函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a1，a1)內(nèi)的極值答案 自主梳理1(1)增函數(shù)減函數(shù)(2)增減2.(1)f(x)0f(x)0f(x)0(2)f(x)0f(x)0極大值極小值3.(1)極值 (2)f(a)，f(b)自我檢測12.(2，)3.3，)4.充要5.18課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引(1)一般地，涉及到函數(shù)(尤其是一些非常規(guī)函數(shù))的單調(diào)性問題，往往可以借助導(dǎo)數(shù)這一重要工具進(jìn)行求解函數(shù)在定義域內(nèi)存在單調(diào)區(qū)間，就是不等式f(x)0或f(x)0，即(x22)ex0，ex0，x220，解得x0，x2(a2)xa0對x(1,1)都成立，即x2(a2)xa0對x(1,1)恒成立設(shè)h(x)x2(a2)xa，只需滿足，解得a.(3)若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，則f(x)0對xR都成立，即x2(a2)xaex0對xR都成立ex0，x2(a2)xa0對xR都成立(a2)24a0，即a240，這是不可能的故函數(shù)f(x)不可能在R上單調(diào)遞減若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，則f(x)0對xR都成立，即x2(a2)xaex0對xR都成立ex0，x2(a2)xa0對xR都成立而x2(a2)xa0不可能恒成立，故函數(shù)f(x)不可能在R上單調(diào)遞增綜上可知函數(shù)f(x)不可能是R上的單調(diào)函數(shù)變式遷移1解(1)由題意得f(x)3x22(1a)xa(a2)，又，解得b0，a3或a1.(2)由f(x)0，得x1a，x2.又f(x)在(1,1)上不單調(diào)，即或解得或所以a的取值范圍為(5，)(，1)例2解題導(dǎo)引本題研究函數(shù)的極值問題利用待定系數(shù)法，由極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0，以及極大值、極小值，建立方程組求解判斷函數(shù)極值時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，所以求極值時(shí)一定要判斷導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)左側(cè)與右側(cè)的單調(diào)性，然后根據(jù)極值的定義判斷是極大值還是極小值解(1)由題意可知f(x)3ax2b.于是，解得故所求的函數(shù)解析式為f(x)x34x4.(2)由(1)可知f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0得x2或x2，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表所示：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增因此，當(dāng)x2時(shí)，f(x)有極大值，當(dāng)x2時(shí)，f(x)有極小值，所以函數(shù)的大致圖象如圖，故實(shí)數(shù)k的取值范圍為(，)變式遷移2解(1)f(x)2bx1，.解得a，b.(2)f(x)()1.函數(shù)定義域?yàn)?0，)，列表x(0,1)1(1,2)2(2，)f(x)00f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減x1是f(x)的極小值點(diǎn)，x2是f(x)的極大值點(diǎn)例3解題導(dǎo)引設(shè)函數(shù)f(x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步驟：(1)求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值(2)將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb，當(dāng)x1時(shí)，切線l的斜率為3，可得2ab0；當(dāng)x時(shí)，yf(x)有極值，則f0，可得4a3b40.由解得a2，b4，又切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，f(1)4.1abc4.c5.(2)由(1)，得f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令f(x)0，得x2或x，f(x)0的解集為，即為f(x)的減區(qū)間3，2)、是函數(shù)的增區(qū)間又f(3)8，f(2)13，f，f(1)4，yf(x)在3,1上的最大值為13，最小值為.變式遷移3解(1)由題意得f(x)3ax22xb.因此g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.因?yàn)楹瘮?shù)g(x)是奇函數(shù)，所以g(x)g(x)，即對任意實(shí)數(shù)x，有a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a1)x2(b2)xb，從而3a10，b0，解得a，b0，因此f(x)的表達(dá)式為f(x)x3x2.(2)由(1)知g(x)x32x，所以g(x)x22，令g(x)0，解得x1，x2，則當(dāng)x時(shí)，g(x)0，從而g(x)在區(qū)間(，)，(，)上是減函數(shù)；當(dāng)x0，從而g(x)在區(qū)間(，)上是增函數(shù)由前面討論知，g(x)在區(qū)間1,2上的最大值與最小值只能在x1，2時(shí)取得，而g(1)，g()，g(2).因此g(x)在區(qū)間1,2上的最大值為g()，最小值為g(2).課后練習(xí)區(qū)1(0,1)2.373.14.(0，)5a0，即a0，得a4，易知f(x)在(0,2)上為減函數(shù)，且f(0)10，f(2)4a0，m6或m3.9解f(x)()，由f(x)0得x2,1.(4分)當(dāng)x(，2)時(shí)f(x)0，故x2是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故f(x)的極小值為f(2)；(8分)當(dāng)x(2,1)時(shí)f(x)0，當(dāng)x(1，)時(shí)f(x)0，得x2或x0，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，0)(2，)；由f(x)0，得0x2, 故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2)(8分)(2)由(1)得f(x)3x(x2)，令f(x)0，得x0或x2.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x(，0)0(0,2)2(2