第3章學案14.doc

學案14導數在研究函數中的應用導學目標： 1.了解函數單調性和導數的關系，能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區(qū)間(多項式函數一般不超過三次).2.了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件，會用導數求函數的極大值、極小值(多項式函數一般不超過三次)及最大(最小)值自主梳理1導數和函數單調性的關系：(1)對于函數yf(x)，如果在某區(qū)間上f(x)0，那么f(x)為該區(qū)間上的_；如果在某區(qū)間上f(x)1.(1)討論函數f(x)的單調性；(2)證明：若a1.【答題模板】(1)解f(x)的定義域為(0，)f(x)xa.3分若a11，即a2時，f(x).故f(x)在(0，)上單調遞增若a11，故1a2時，則當x(a1,1)時，f(x)0，故f(x)在(a1,1)上單調遞減，在(0，a1)，(1，)上單調遞增若a11，即a2時，同理可得f(x)在(1，a1)上單調遞減，在(0,1)，(a1，)上單調遞增7分(2)證明考慮函數g(x)f(x)xx2ax(a1)ln xx.則g(x)x(a1)2(a1)1(1)2.由于1a0，即g(x)在(0，)上單調遞增，從而當x1x20時，有g(x1)g(x2)0，即f(x1)f(x2)x1x20，故1.12分當0x11.綜上，若a1.14分【突破思維障礙】(1)討論函數的單調區(qū)間的關鍵是討論導數大于0或小于0的不等式的解集，一般就是歸結為一個一元二次不等式的解集的討論，在能夠通過因式分解得到導數等于0的根的情況下，根的大小是分類的標準；(2)利用導數解決不等式問題的主要方法就是構造函數，通過函數研究函數的性質進而解決不等式問題1求可導函數單調區(qū)間的一般步驟和方法：(1)確定函數f(x)的定義域；(2)求f(x)，令f(x)0，求出它在定義域內的一切實根；(3)把函數f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)的橫坐標和上面的各實數根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間；(4)確定f(x)在各個開區(qū)間內的符號，根據f(x)的符號判定函數f(x)在每個相應小開區(qū)間內的增減性2可導函數極值存在的條件：(1)可導函數的極值點x0一定滿足f(x0)0，但當f(x1)0時，x1不一定是極值點如f(x)x3，f(0)0，但x0不是極值點(2)可導函數yf(x)在點x0處取得極值的充要條件是f(x0)0，且在x0左側與右側f(x)的符號不同3函數的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數值得出來的，函數的極值是比較極值點附近的函數值得出來的函數的極值可以有多有少，但最值只有一個，極值只能在區(qū)間內取得，最值則可以在端點取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值，極值可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值4求函數的最值以導數為工具，先找到極值點，再求極值和區(qū)間端點函數值，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1(2011泰州實驗一模)函數f(x)xln x的單調減區(qū)間為_2已知函數f(x)2x36x2m(m為常數)在2,2上有最大值3，那么此函數在2,2上的最小值是_3函數f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導函數f(x)在(a，b)內的圖象如圖所示，則函數f(x)在開區(qū)間(a，b)內有極小值點的個數為_4(2011蘇州模擬)若函數ya(x3x)在區(qū)間上為減函數，則a的取值范圍為_5設aR，若函數yeax3x，xR有大于零的極值點，則a的取值范圍為_6(2011聊城一模)若a2，則函數f(x)x3ax21在區(qū)間(0,2)上有_個零點7已知函數f(x)的導函數f(x)的圖象如圖所示，給出以下結論：函數f(x)在(2，1)和(1,2)上是單調遞增函數；函數f(x)在(2,0)上是單調遞增函數，在(0,2)上是單調遞減函數；函數f(x)在x1處取得極大值，在x1處取得極小值；函數f(x)在x0處取得極大值f(0)則正確命題的序號是_(填上所有正確命題的序號)8已知函數f(x)x3mx2(m6)x1既存在極大值又存在極小值，則實數m的取值范圍為_二、解答題(共42分)9(12分)求函數f(x)的極值10(14分)(2010秦皇島模擬)已知a為實數，且函數f(x)(x24)(xa)(1)求導函數f(x)；(2)若f(1)0，求函數f(x)在2,2上的最大值、最小值11(16分)已知函數f(x)x3mx2nx2的圖象過點(1，6)，且函數g(x)f(x)6x的圖象關于y軸對稱(1)求m，n的值及函數yf(x)的單調區(qū)間；(2)若a0，求函數yf(x)在區(qū)間(a1，a1)內的極值答案 自主梳理1(1)增函數減函數(2)增減2.(1)f(x)0f(x)0f(x)0(2)f(x)0f(x)0極大值極小值3.(1)極值 (2)f(a)，f(b)自我檢測12.(2，)3.3，)4.充要5.18課堂活動區(qū)例1解題導引(1)一般地，涉及到函數(尤其是一些非常規(guī)函數)的單調性問題，往往可以借助導數這一重要工具進行求解函數在定義域內存在單調區(qū)間，就是不等式f(x)0或f(x)0，即(x22)ex0，ex0，x220，解得x0，x2(a2)xa0對x(1,1)都成立，即x2(a2)xa0對x(1,1)恒成立設h(x)x2(a2)xa，只需滿足，解得a.(3)若函數f(x)在R上單調遞減，則f(x)0對xR都成立，即x2(a2)xaex0對xR都成立ex0，x2(a2)xa0對xR都成立(a2)24a0，即a240，這是不可能的故函數f(x)不可能在R上單調遞減若函數f(x)在R上單調遞增，則f(x)0對xR都成立，即x2(a2)xaex0對xR都成立ex0，x2(a2)xa0對xR都成立而x2(a2)xa0不可能恒成立，故函數f(x)不可能在R上單調遞增綜上可知函數f(x)不可能是R上的單調函數變式遷移1解(1)由題意得f(x)3x22(1a)xa(a2)，又，解得b0，a3或a1.(2)由f(x)0，得x1a，x2.又f(x)在(1,1)上不單調，即或解得或所以a的取值范圍為(5，)(，1)例2解題導引本題研究函數的極值問題利用待定系數法，由極值點的導數值為0，以及極大值、極小值，建立方程組求解判斷函數極值時要注意導數為0的點不一定是極值點，所以求極值時一定要判斷導數為0的點左側與右側的單調性，然后根據極值的定義判斷是極大值還是極小值解(1)由題意可知f(x)3ax2b.于是，解得故所求的函數解析式為f(x)x34x4.(2)由(1)可知f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0得x2或x2，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表所示：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增因此，當x2時，f(x)有極大值，當x2時，f(x)有極小值，所以函數的大致圖象如圖，故實數k的取值范圍為(，)變式遷移2解(1)f(x)2bx1，.解得a，b.(2)f(x)()1.函數定義域為(0，)，列表x(0,1)1(1,2)2(2，)f(x)00f(x)單調遞減極小值單調遞增極大值單調遞減x1是f(x)的極小值點，x2是f(x)的極大值點例3解題導引設函數f(x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)內可導，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步驟：(1)求函數yf(x)在(a，b)內的極值(2)將函數yf(x)的各極值與端點處的函數值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb，當x1時，切線l的斜率為3，可得2ab0；當x時，yf(x)有極值，則f0，可得4a3b40.由解得a2，b4，又切點的橫坐標為x1，f(1)4.1abc4.c5.(2)由(1)，得f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令f(x)0，得x2或x，f(x)0的解集為，即為f(x)的減區(qū)間3，2)、是函數的增區(qū)間又f(3)8，f(2)13，f，f(1)4，yf(x)在3,1上的最大值為13，最小值為.變式遷移3解(1)由題意得f(x)3ax22xb.因此g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.因為函數g(x)是奇函數，所以g(x)g(x)，即對任意實數x，有a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a1)x2(b2)xb，從而3a10，b0，解得a，b0，因此f(x)的表達式為f(x)x3x2.(2)由(1)知g(x)x32x，所以g(x)x22，令g(x)0，解得x1，x2，則當x時，g(x)0，從而g(x)在區(qū)間(，)，(，)上是減函數；當x0，從而g(x)在區(qū)間(，)上是增函數由前面討論知，g(x)在區(qū)間1,2上的最大值與最小值只能在x1，2時取得，而g(1)，g()，g(2).因此g(x)在區(qū)間1,2上的最大值為g()，最小值為g(2).課后練習區(qū)1(0,1)2.373.14.(0，)5a0，即a0，得a4，易知f(x)在(0,2)上為減函數，且f(0)10，f(2)4a0，m6或m3.9解f(x)()，由f(x)0得x2,1.(4分)當x(，2)時f(x)0，故x2是函數的極小值點，故f(x)的極小值為f(2)；(8分)當x(2,1)時f(x)0，當x(1，)時f(x)0，得x2或x0，故f(x)的單調遞增區(qū)間是(，0)(2，)；由f(x)0，得0x2, 故f(x)的單調遞減區(qū)間是(0,2)(8分)(2)由(1)得f(x)3x(x2)，令f(x)0，得x0或x2.當x變化時，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x(，0)0(0,2)2(2