高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2_2_2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（二）課件 新人教b版必修5

第二章 數(shù)列 2 2等差數(shù)列2 2 2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 二 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1 掌握等差數(shù)列與其前n項(xiàng)和Sn有關(guān)的一些性質(zhì) 能熟練運(yùn)用這些性質(zhì)解題 2 掌握可以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的數(shù)列求和問題 3 會(huì)用等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題 1 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)挑戰(zhàn)自我 點(diǎn)點(diǎn)落實(shí) 2 課堂講義重點(diǎn)難點(diǎn) 個(gè)個(gè)擊破 3 當(dāng)堂檢測當(dāng)堂訓(xùn)練 體驗(yàn)成功 知識(shí)鏈接 如果已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn的公式 如何求它的通項(xiàng)公式 如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式是Sn an2 bn c a b c為常數(shù) 那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎 答若n 1時(shí) a1 S1 若n 2時(shí) an Sn Sn 1 對于Sn an2 bn c a b c為常數(shù) 當(dāng)c 0時(shí) an 是等差數(shù)列 當(dāng)c 0時(shí) an 不是等差數(shù)列 預(yù)習(xí)導(dǎo)引 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) 1 等差數(shù)列 an 的公差為d 前n項(xiàng)和為Sn 那么數(shù)列Sk S2k Sk S3k S2k k N 是等差數(shù)列 其公差等于 2 若在等差數(shù)列 an 中 a1 0 d0 則Sn存在 最小值 k2d 最大值 3 若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n n N 時(shí) 則S2n 且S偶 S奇 4 若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n 1 n N 時(shí) 則S2n 1 且S奇 S偶 an S奇 nan S偶 n 1 an 2n 1 an n an an 1 nd 要點(diǎn)一等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用例1已知等差數(shù)列 an Sm S2m S3m分別是其前m 前2m 前3m項(xiàng)和 若Sm 30 S2m 100 求S3m 解方法一設(shè) an 的公差為d 依據(jù)題設(shè)和前n項(xiàng)和公式有 方法二Sm S2m Sm S3m S2m成等差數(shù)列 所以30 70 S3m 100成等差數(shù)列 所以2 70 30 S3m 100 所以S3m 210 方法三在等差數(shù)列 an 中 因?yàn)镾n a1n n n 1 d 所以S3m 3 S2m Sm 3 100 30 210 規(guī)律方法在等差數(shù)列中 前n項(xiàng)和Sn的問題利用公式可列出關(guān)于a1和d的方程 組 要注意等差數(shù)列中Sm S2m Sm S3m S2m 也成等差數(shù)列且公差為m2d 也成等差數(shù)列 用此性質(zhì)可簡化運(yùn)算 跟蹤演練1項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列 奇數(shù)項(xiàng)之和為44 偶數(shù)項(xiàng)之和為33 求這個(gè)數(shù)列的中間項(xiàng)及項(xiàng)數(shù) 解設(shè)等差數(shù)列共2n 1項(xiàng) 則奇數(shù)項(xiàng)有n 1項(xiàng) 偶數(shù)項(xiàng)有n項(xiàng) 中間項(xiàng)是第n 1項(xiàng) 記為an 1 設(shè)公差為d S奇 S偶 a1 nd an 1 11 即中間項(xiàng)an 1 11 又S2n 1 S奇 S偶 77 2n 1 11 77 2n 1 7 即數(shù)列的中間項(xiàng)為11 這個(gè)數(shù)列共7項(xiàng) 要點(diǎn)二等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式在實(shí)際中的應(yīng)用例2某人用分期付款的方式購買一件家電 價(jià)格為1150元 購買當(dāng)天先付150元 以后每月的這一天都交付50元 并加付欠款利息 月利率為1 若交付150元后的一個(gè)月開始算分期付款的第一個(gè)月 則分期付款的第10個(gè)月該交付多少錢 全部貸款付清后 買這件家電實(shí)際花費(fèi)多少錢 解設(shè)每次交款數(shù)額依次為a1 a2 a20 則a1 50 1000 1 60 元 a2 50 1000 50 1 59 5 元 a10 50 1000 9 50 1 55 5 元 即第10個(gè)月應(yīng)付款55 5元 由于 an 是以60為首項(xiàng) 以 0 5為公差的等差數(shù)列 即全部付清后實(shí)際付款1105 150 1255 元 規(guī)律方法建立等差數(shù)列的模型時(shí) 要根據(jù)題意找準(zhǔn)首項(xiàng) 公差和項(xiàng)數(shù)或者首項(xiàng) 末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù) 跟蹤演練2甲 乙兩物體分別從相距70m的兩處同時(shí)相向運(yùn)動(dòng) 甲第1分鐘走2m 以后每分鐘比前1分鐘多走1m 乙每分鐘走5m 1 甲 乙開始運(yùn)動(dòng)后幾分鐘相遇 解設(shè)n分鐘后第1次相遇 依題意 有2n 5n 70 整理得n2 13n 140 0 解之得n 7 n 20 舍去 第1次相遇是在開始運(yùn)動(dòng)后7分鐘 解設(shè)n分鐘后第2次相遇 依題意 有2n 5n 3 70 整理得n2 13n 420 0 解之得n 15 n 28 舍去 第2次相遇是在開始運(yùn)動(dòng)后15分鐘 2 如果甲 乙到達(dá)對方起點(diǎn)后立即返回 甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1m 乙繼續(xù)每分鐘走5m 那么開始運(yùn)動(dòng)幾分鐘后第二次相遇 要點(diǎn)三等差數(shù)列的絕對值 an 的前n項(xiàng)和例3在等差數(shù)列 an 中 Sn為前n項(xiàng)和 且S2 16 S4 24 求Tn a1 a2 an 的值 解由S2 16 S4 24 所以等差數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an 11 2n n N 1 當(dāng)n 5時(shí) Tn a1 a2 an a1 a2 an Sn n2 10n 2 當(dāng)n 6時(shí) Tn a1 a2 an a1 a2 a5 a6 a7 an 2S5 Sn 2 52 10 5 n2 10n n2 10n 50 規(guī)律方法求等差數(shù)列 an 前n項(xiàng)絕對值的和 首先要搞清哪些項(xiàng)是正數(shù)哪些項(xiàng)是負(fù)數(shù) 正的直接去掉絕對值 負(fù)的變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù) 再轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和的形式求解 跟蹤演練3數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn 100n n2 n N 1 an 是什么數(shù)列 解an Sn Sn 1 100n n2 100 n 1 n 1 2 101 2n n 2 a1 S1 100 1 12 99 101 2 1 數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an 101 2n n N 又an 1 an 2為常數(shù) 數(shù)列 an 是首項(xiàng)為a1 99 公差d 2的等差數(shù)列 2 設(shè)bn an 求數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和 解令an 101 2n 0 得n 50 5 n N n 50 n N 當(dāng)1 n 50時(shí) an 0 此時(shí)bn an an bn 的前n項(xiàng)和Sn 100n n2 當(dāng)n 51時(shí) an 0 此時(shí)bn an an 由b51 b52 bn a51 a52 an Sn S50 S50 Sn 得數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和為Sn S50 S50 Sn 2S50 Sn 2 2500 100n n2 5000 100n n2 由 得數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和為 1 設(shè)等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 若S3 9 S6 36 則a7 a8 a9等于 A 63B 45C 36D 27解析數(shù)列 an 為等差數(shù)列 則S3 S6 S3 S9 S6為等差數(shù)列 即2 S6 S3 S3 S9 S6 S3 9 S6 S3 27 則S9 S6 45 a7 a8 a9 S9 S6 45 B 1 2 3 4 2 在等差數(shù)列 an 中 S10 4S5 則等于 A B 2C D 4解析由題意得 10a1 10 9d 4 5a1 5 4d 10a1 45d 20a1 40d 10a1 5d A 2 3 4 1 3 在一個(gè)等差數(shù)列中 已知a10 10 則S19 1 2 3 4 190 4 假設(shè)某市2011年新建住房400萬平方米 其中有250萬平方米是中低價(jià)房 每年新建住房中 中低價(jià)房的面積均比上一年增加50萬平方米 那么 到哪一年底 該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積 以2011年為累計(jì)的第一年 將首次不少于4750萬平方米 解設(shè)中低價(jià)房的面積形成的數(shù)列為 an 由題意可知 an 是等差數(shù)列 其中a1 250 d 50 1 2 3 4 則an 250 n 1 50 50n 200 Sn 250n 50 25n2 225n 令25n2 225n 4750 即n2 9n 190 0 而n是正整數(shù) n 10 到2020年底 該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750萬平方米 1 2 3 4 課堂小結(jié)1 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) 1 對于前n項(xiàng)和形如Sn An2 Bn的數(shù)列一定為等差數(shù)列 且公差為2A 記住這個(gè)結(jié)論 如果已知數(shù)列的前n項(xiàng)和可以直接寫出公差 2 關(guān)于奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和的問題 要根據(jù)項(xiàng)數(shù)來分析 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí) S奇與S偶的關(guān)系是不相同的 3 數(shù)列 是等差