高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 2_2 等差數(shù)列（二）課件 新人教a版必修5

第二章數(shù)列 2 2等差數(shù)列 二 1 能根據等差數(shù)列的定義推導出等差數(shù)列的重要性質 2 能運用等差數(shù)列的性質解決有關問題 學習目標 欄目索引 知識梳理自主學習 題型探究重點突破 當堂檢測自查自糾 知識梳理自主學習 知識點二推廣的等差數(shù)列的通項公式已知等差數(shù)列 an 中任意的兩項am an 則an am n m d m n 思考已知等差數(shù)列 an 中的am和an 如何求d 答案 知識點三等差數(shù)列的性質1 若 an bn 分別是公差為d d 的等差數(shù)列 則有 2 等差數(shù)列的項的對稱性在有窮等差數(shù)列中 與首末兩項 等距離 的兩項之和等于首項與末項的和 即a1 an a2 an 1 a3 an 2 3 下標性質 在等差數(shù)列 an 中 若m n p q m n p q N 則 特別的 若m n 2p m n p N 則有 思考等差數(shù)列 an 中 若a5 7 a9 19 則a2 a12 a7 返回 am an ap aq 答案 am an 2ap 26 13 題型探究重點突破 題型一等差數(shù)列的性質及應用例1 1 已知等差數(shù)列 an 中 a2 a6 a10 1 求a4 a8 解析答案 2 設 an 是公差為正數(shù)的等差數(shù)列 若a1 a2 a3 15 a1a2a3 80 求a11 a12 a13的值 解析答案 反思與感悟 解 an 是公差為正數(shù)的等差數(shù)列 設公差為d d 0 a1 a3 2a2 a1 a2 a3 15 3a2 a2 5 又a1a2a3 80 a1a3 5 d 5 d 16 d 3或d 3 舍去 a12 a2 10d 35 a11 a12 a13 3a12 105 解決本類問題一般有兩種方法 一是運用等差數(shù)列 an 的性質 若m n p q 2w 則am an ap aq 2aw m n p q w都是正整數(shù) 二是利用通項公式轉化為數(shù)列的首項與公差基本量的關系完成運算 屬于通性通法 兩種方法都運用了整體代換與方程的思想 反思與感悟 跟蹤訓練1在等差數(shù)列 an 中 1 若a3 5 則a1 2a4 解析答案 2 若a1 a2 a3 24 a18 a19 a20 78 則a1 a20等于 解析a1 2a4 a1 a3 a5 a1 a5 a3 2a3 a3 3a3 15 15 解析由已知可得 a1 a2 a3 a18 a19 a20 24 78 a1 a20 a2 a19 a3 a18 54 a1 a20 18 18 題型二等差數(shù)列項的設法及求解例2已知四個數(shù)構成等差數(shù)列且是遞增數(shù)列 四個數(shù)的平方和為94 首尾兩數(shù)之積比中間兩數(shù)之積少18 求此等差數(shù)列 解析答案 反思與感悟 解設四個數(shù)為a 3d a d a d a 3d 則 又因為是遞增數(shù)列 所以d 0 此等差數(shù)列為 1 2 5 8或 8 5 2 1 三個數(shù)或四個數(shù)成等差數(shù)列的設法 當三個數(shù)或四個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時 可設出首項a1和公差d列方程組求解 此時計算量稍大 也可采用對稱的設法 三個數(shù)時 設a d a a d 四個數(shù)時 設a 3d a d a d a 3d 利用和為定值 先求出其中某個未知量 反思與感悟 解析答案 跟蹤訓練2已知三個數(shù)成等差數(shù)列并且數(shù)列是遞增的 它們的和為18 平方和為116 求這三個數(shù) 解方法一設這三個數(shù)為a b c 則由題意得 這三個數(shù)為4 6 8 方法二設這三個數(shù)為a d a a d 由已知可得 由 得a 6 代入 得d 2 該數(shù)列是遞增的 d 2舍去 這三個數(shù)為4 6 8 題型三等差數(shù)列的綜合問題 解析答案 1 求證 數(shù)列 bn 是等差數(shù)列 并寫出 bn 的通項公式 解析答案 2 求數(shù)列 an 的通項公式及數(shù)列 an 中的最大項與最小項 解析答案 反思與感悟 解決數(shù)列綜合問題的方法策略 1 結合等差數(shù)列的性質或利用等差中項 2 利用通項公式 得到一個以首項a1和公差d為未知數(shù)的方程 組 或不等式 組 3 利用函數(shù)或不等式的有關方法解決 反思與感悟 解析答案 跟蹤訓練3設等差數(shù)列 an 的公差為d 若數(shù)列 為遞減數(shù)列 則 A d0C a1d0 解析設bn 則bn 1 由于 是遞減數(shù)列 則bn bn 1 即 y 2x是單調增函數(shù) a1an a1an 1 a1an a1 an d 0 a1 an an d 0 即a1 d 0 a1d 0 C 題型四等差數(shù)列的實際應用例4某公司2009年經銷一種數(shù)碼產品 獲利200萬元 從2010年起 預計其利潤每年比上一年減少20萬元 按照這一規(guī)律 如果公司不開發(fā)新產品 也不調整經營策略 從哪一年起 該公司經銷這一產品將虧損 解析答案 反思與感悟 解記2009年為第一年 由題設可知第1年獲利200萬元 第2年獲利180萬元 第3年獲利160萬元 則每年獲利構成等差數(shù)列 an 且當an11 即從第12年起 也就是從2020年開始 該公司經銷此產品將虧損 解決等差數(shù)列實際應用問題的方法策略 1 解答數(shù)列實際應用問題的基本步驟 審題 即仔細閱讀材料 認真理解題意 建模 即將已知條件翻譯成數(shù)學 數(shù)列 語言 將實際問題轉化成數(shù)學問題 判型 即判斷該數(shù)列是否為等差數(shù)列 求解 即求出該問題的數(shù)學解 還原 即將所求結果還原到實際問題中 2 在利用數(shù)列方法解決實際問題時 一定要弄清首項 項數(shù)等關鍵問題 反思與感悟 解析答案 跟蹤訓練4 九章算術 竹九節(jié) 問題 現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子 自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列 上面4節(jié)的容積共3升 下面3節(jié)的容積共4升 則第5節(jié)的容積為 解析設自上而下9節(jié)竹子各節(jié)的容積構成等差數(shù)列 an 其首項為a1 公差為d B 解析答案 審題不仔細致誤 易錯點 例5首項為 24的等差數(shù)列 從第10項開始為正數(shù) 則公差d的取值范圍為 返回 錯因分析解答本題 應注意理解 從第10項開始為正數(shù) 的含義 它表明 a10 0 的同時還表明 a9 0 這一條件 解析答案 誤區(qū)警示 解答此類問題 應注意仔細審題 認真挖掘題目中的隱含條件 并注意應用 誤區(qū)警示 返回 當堂檢測 1 2 3 4 5 1 在等差數(shù)列 an 中 a1 2 a3 a5 10 則a7等于 A 5B 8C 10D 14 解析方法一設等差數(shù)列的公差為d 則a3 a5 2a1 6d 4 6d 10 所以d 1 a7 a1 6d 2 6 8 方法二由等差數(shù)列的性質可得a1 a7 a3 a5 10 又a1 2 所以a7 8 B 解析答案 1 2 3 4 5 解析由a2 a4 a6 a8 a10 5a6 80 a6 16 C 解析答案 1 2 3 4 5 3 已知等差數(shù)列 an 滿足a1 a2 a3 a101 0 則有 A a1 a101 0B a2 a101 0C a3 a99 0D a51 51 C 解析 a1 a2 a101 0 又 a1 a101 a2 a100 a3 a99 2a51 a51 0 a3 a99 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 4 下列是關于公差d 0的等差數(shù)列 an 的四個命題 p1 數(shù)列 an 是遞增數(shù)列 p2 數(shù)列 nan 是遞增數(shù)列 p4 數(shù)列 an 3nd 是遞增數(shù)列 其中的真命題為 A p1 p2B p3 p4C p2 p3D p1 p4 解析an a1 n 1 d dn a1 d 因為d 0 所以p1正確 an 3nd 4dn a1 d 因4d 0 所以是遞增數(shù)列 p4正確 故選D D 1 2 3 4 5 解析答案 5 在等差數(shù)列 an 中 已知a1 2a8 a15 96 則2a9 a10 解析 a1 2a8 a15 4a8 96 a8 24 2a9 a10 a10 a8 a10 a8 24 24 課堂小結 2 等差數(shù)列 an 中 每隔相同的項抽出來的項按照原來的順序排列 構成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列 3 等差數(shù)列