高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理4簡單計(jì)數(shù)問題課件北師大版選修2_3

4簡單計(jì)數(shù)問題 第一章計(jì)數(shù)原理 學(xué)習(xí)目標(biāo)1 進(jìn)一步理解和掌握分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理 2 進(jìn)一步深化排列與組合的概念 3 能綜合運(yùn)用排列 組合解決計(jì)數(shù)問題 題型探究 知識(shí)梳理 內(nèi)容索引 當(dāng)堂訓(xùn)練 知識(shí)梳理 知識(shí)點(diǎn)一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理 1 分類加法計(jì)數(shù)原理 加法原理 完成一件事 可以有n類辦法 在第一類辦法中有m1種方法 在第二類辦法中有m2種方法 在第n類辦法中有mn種方法 那么 完成這件事共有N 種方法 2 分步乘法計(jì)數(shù)原理 乘法原理 完成一件事需要經(jīng)過n個(gè)步驟 缺一不可 做第一步有m1種方法 做第二步有m2種方法 做第n步有mn種方法 那么 完成這件事共有N 種方法 m1 m2 mn m1 m2 mn 3 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理 都涉及完成一件事的不同方法的種數(shù) 它們的區(qū)別在于 分類加法計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān) 各種方法相互獨(dú)立 用其中的任一種方法都可以完成這件事 分步乘法計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān) 各個(gè)步驟相互依存 只有各個(gè)步驟都完成了 這件事才算完成 知識(shí)點(diǎn)二排列 1 排列從n個(gè)的元素中取出m m n 個(gè)元素 按照一定的排成一列 叫作從n個(gè)不同的元素中任意取出m個(gè)元素的一個(gè)排列 順序 不同 2 排列數(shù) n n 1 n 2 n m 1 n 1 知識(shí)點(diǎn)三組合 1 組合一般地 從n個(gè)不同的元素中 任取m m n 個(gè)元素為一組 叫作從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合 2 組合數(shù) 1 組合數(shù)定義 從n個(gè)不同元素中取出m m n 個(gè)元素的 叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù) 用符號(hào)表示 所有組合的個(gè)數(shù) 2 組合數(shù)公式 1 特別提醒 1 排列組合綜合題的一般解法一般堅(jiān)持先組后排的原則 即先選元素后排列 同時(shí)注意按元素性質(zhì)分類或按事件的發(fā)生過程分類 2 解決有限制條件的排列 組合問題的一般策略 1 特殊元素優(yōu)先安排的策略 2 正難則反 等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略 3 相鄰問題捆綁處理的策略 4 不相鄰問題插空處理的策略 5 定序問題除法處理的策略 6 小集團(tuán) 排列問題中先整體后局部的策略 7 平均分組問題 除法處理的策略 8 構(gòu)造模型的策略 題型探究 解析在甲箱或乙箱中抽取幸運(yùn)之星 決定了后邊選幸運(yùn)伙伴是不同的 故要分兩類分別計(jì)算 1 幸運(yùn)之星在甲箱中抽 先確定幸運(yùn)之星 再在兩箱中各確定一名幸運(yùn)伙伴 有30 29 20 17400 種 結(jié)果 2 幸運(yùn)之星在乙箱中抽 同理有20 19 30 11400 種 結(jié)果 因此共有17400 11400 28800 種 不同結(jié)果 命題角度1 類中有步 的計(jì)數(shù)問題 類型一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 例1電視臺(tái)在某節(jié)目中拿出兩個(gè)信箱 其中存放著先后兩次競猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信 甲信箱中有30封 乙信箱中有20封 現(xiàn)由主持人抽獎(jiǎng)確定幸運(yùn)觀眾 若先確定一名幸運(yùn)之星 再從兩信箱中各確定一名幸運(yùn)伙伴 有 種不同的結(jié)果 解析 答案 28800 用流程圖描述計(jì)數(shù)問題 類中有步的情形如圖所示 反思與感悟 具體意義如下 從A到B算作一件事的完成 完成這件事有兩類辦法 在第1類辦法中有3步 在第2類辦法中有2步 每步的方法數(shù)如圖所示 所以 完成這件事的方法數(shù)為m1m2m3 m4m5 類 與 步 可進(jìn)一步地理解為 類 用 號(hào)連接 步 用 號(hào)連接 類 獨(dú)立 步 連續(xù) 類 標(biāo)志一件事的完成 步 缺一不可 解析如圖所示 將原圖從上而下的4個(gè)區(qū)域標(biāo)為1 2 3 4 因?yàn)? 2 3之間不能同色 1與4可以同色 因此 要分類討論1 4同色與不同色這兩種情況 故不同的著色方法種數(shù)為4 3 2 4 3 2 1 48 故選D 跟蹤訓(xùn)練1現(xiàn)有4種不同顏色 要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色 要求有公共邊界的兩部分不能用同一種顏色 則不同的著色方法共有A 24種B 30種C 36種D 48種 解析 答案 命題角度2 步中有類 的計(jì)數(shù)問題 例2有4位同學(xué)在同一天的上 下午參加 身高與體重 立定跳遠(yuǎn) 肺活量 握力 臺(tái)階 五個(gè)項(xiàng)目的測試 每位同學(xué)上 下午各測試一個(gè)項(xiàng)目 且不重復(fù) 若上午不測 握力 項(xiàng)目 下午不測 臺(tái)階 項(xiàng)目 其余項(xiàng)目上 下午都各測一人 則不同的安排方式共有 種 用數(shù)字作答 解析 答案 264 解析上午總測試方法有4 3 2 1 24 種 我們以A B C D E依次代表五個(gè)測試項(xiàng)目 若上午測試E的同學(xué)下午測試D 則上午測試A的同學(xué)下午只能測試B C 確定上午測試A的同學(xué)后其余兩位同學(xué)上 下午的測試方法共有2種 若上午測試E的同學(xué)下午測試A B C之一 則上午測試A B C中任何一個(gè)的同學(xué)下午都可以測試D 安排完這位同學(xué)后其余兩位同學(xué)的測試方式就確定了 故共有3 3 9 種 測試方法 即下午的測試方法共有11種 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理 總的測試方法共有24 11 264 種 用流程圖描述計(jì)數(shù)問題 步中有類的情形如圖所示 反思與感悟 從計(jì)數(shù)的角度看 由A到D算作完成一件事 可簡單地記為A D 完成A D這件事 需要經(jīng)歷三步 即A B B C C D 其中B C這步又分為三類 這就是步中有類 其中mi i 1 2 3 4 5 表示相應(yīng)步的方法數(shù) 完成A D這件事的方法數(shù)為m1 m2 m3 m4 m5 以上給出了處理步中有類問題的一般方法 跟蹤訓(xùn)練2如圖所示 使電路接通 開關(guān)不同的開閉方式共有A 11B 12C 20D 21 解析 答案 解析根據(jù)題意 設(shè)5個(gè)開關(guān)依次為1 2 3 4 5 如圖所示 若電路接通 則開關(guān)1 2與3 4 5中至少有1個(gè)接通 對(duì)于開關(guān)1 2 共有2 2 4 種 情況 其中全部斷開的有1 種 情況 則其至少有1個(gè)接通的有4 1 3 種 情況 對(duì)于開關(guān)3 4 5 共有2 2 2 8 種 情況 其中全部斷開的有1 種 情況 則其至少有1個(gè)接通的有8 1 7 種 情況 則電路接通的情況有3 7 21 種 故選D 命題角度1不同元素的排列 組合問題 解答 類型二排列與組合的綜合應(yīng)用 例3有4張分別標(biāo)有數(shù)字1 2 3 4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1 2 3 4的藍(lán)色卡片 從這8張卡片中取出4張卡片排成一行 如果取出的4張卡片所標(biāo)的數(shù)字之和等于10 則不同的排法共有多少種 解分三類 第一類 當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1 2 3 4時(shí) 不同的排法有種 第二類 當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1 1 4 4時(shí) 不同的排法有種 第三類 當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字2 2 3 3時(shí) 不同的排法有種 故滿足題意的所有不同的排法種數(shù)為 432 1 解排列 組合綜合問題的一般思路是 先選后排 也就是先把符合題意的元素都選出來 再對(duì)元素或位置進(jìn)行排列 2 解排列 組合綜合問題時(shí)的注意點(diǎn) 元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法 無序的問題是組合問題 有序的問題是排列問題 對(duì)于有多個(gè)限制條件的復(fù)雜問題 應(yīng)認(rèn)真分析每個(gè)限制條件 然后再考慮是分類還是分步 這是處理排列 組合綜合問題的一般方法 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練3從1 3 5 7 9中任取3個(gè)數(shù)字 從0 2 4 6 8中任取2個(gè)數(shù)字 一共可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù) 解答 解 1 五位數(shù)中不含數(shù)字0 第1步 選出5個(gè)數(shù)字 共有種選法 第2步 排成偶數(shù) 先排末位數(shù) 有種排法 再排其他四位數(shù)字 有種排法 所以N1 2 五位數(shù)中含有數(shù)字0 第1步 選出5個(gè)數(shù)字 共有種選法 第2步 排順序又可分為兩小類 末位排0 有種排列方法 末位不排0 這時(shí)末位數(shù)有種選法 而因?yàn)?不能排在首位 所以首位有種排法 其余3個(gè)數(shù)字則有種排法 所以N2 所以符合條件的偶數(shù)個(gè)數(shù)為N N1 N2 4560 命題角度2含有相同元素的排列 組合問題 例4今有2個(gè)紅球 3個(gè)黃球 4個(gè)白球 同色球不加區(qū)分 將這9個(gè)球排成一列 有 種不同的方法 解析 答案 1260 解析方法一 元素分析法 先將這9個(gè)球視為不同的元素 共有種排法 再來消去同色球的順序 因2個(gè)不同紅球有種排法 3個(gè)不同黃球有種排法 4個(gè)不同白球有種排法 故符合題意的方法有 1260 種 方法二 位置分析法 第一步 從9個(gè)位置中選出2個(gè)位置 分給相同的紅球 有種選法 第二步 從剩余的7個(gè)位置中選出3個(gè)位置 分給相同的黃球 有種選法 第三步 剩下的4個(gè)位置全部分給4個(gè)白球 有1種選法 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得 符合題意的方法有 1260 種 針對(duì)對(duì)部分元素相同的n個(gè)不同元素進(jìn)行排列的問題 有兩種解決方法 1 先把這些元素看作全不相同的元素進(jìn)行排列 再設(shè)法消去相同元素的順序 2 從位置進(jìn)行分析 因?yàn)槲恢萌幌嗤?可以分別給相同的每一類元素找位置 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練4為減輕學(xué)生經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān)且又能滿足學(xué)生求知要求 某班級(jí)利用班費(fèi)買了4本相同的數(shù)學(xué)資料書 3本相同的外語資料書 2本相同的物理資料書作為班級(jí)圖書供同學(xué)們學(xué)習(xí)使用 現(xiàn)有8人去借閱圖書 每人只能借閱一本 則有多少種借閱方法 解答 解第一類 剩下的一本書是數(shù)學(xué)資料書 此時(shí)相當(dāng)于把8個(gè)人分成個(gè)數(shù)分別為3 3 2的三堆 這三堆分別借閱數(shù)學(xué) 外語 物理資料書 其借法共有 560 種 第二類 剩下的一本書是外語資料書 此時(shí)相當(dāng)于把8個(gè)人分成個(gè)數(shù)分別為4 2 2的三堆 這三堆分別借閱數(shù)學(xué) 外語 物理資料書 其借法共有 420 種 第三類 剩下的一本書是物理資料書 此時(shí)相當(dāng)于把8個(gè)人分成個(gè)數(shù)分別為4 3 1的三堆 這三堆分別借閱數(shù)學(xué) 外語 物理資料書 其借法共有 280 種 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理 可得借閱方法共有560 420 280 1260 種 當(dāng)堂訓(xùn)練 2 3 4 5 1 1 李芳有4件不同顏色的襯衣 3件不同花樣的裙子 另有兩套不同樣式的連衣裙 五一 節(jié)需選擇一套服裝參加歌舞演出 則李芳的不同的選擇方式有A 24種B 14種C 10種D 9種 解析 解析由題意可得李芳不同的選擇方式為4 3 2 14 故選B 答案 2 3 4 5 1 2 設(shè)4名學(xué)生報(bào)名參加同一時(shí)間安排的3項(xiàng)課外活動(dòng)的可能結(jié)果有a種 這4名學(xué)生在運(yùn)動(dòng)會(huì)上共同爭奪100米 跳遠(yuǎn) 鉛球3項(xiàng)比賽的冠軍的可能結(jié)果有b種 則 a b 為A 34 34 B 43 34 C 34 43 D 答案 解析 解析首先每名學(xué)生報(bào)名有3種選擇 有4名學(xué)生 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有34種選擇 每項(xiàng)冠軍有4種可能的結(jié)果 3項(xiàng)冠軍根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有43種可能結(jié)果 故選C 2 3 4 5 1 3 三位數(shù)中 如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字都小 則稱這個(gè)數(shù)為凹數(shù) 如524 746等都是凹數(shù) 那么 各個(gè)數(shù)位上無重復(fù)數(shù)字的三位凹數(shù)有A 72個(gè)B 120個(gè)C 240個(gè)D 360個(gè) 答案 解析 2 3 4 5 1 4 某電視臺(tái)連續(xù)播放5個(gè)廣告 其中有3個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益宣傳廣告 要求最后播放的必須是公益宣傳廣告 且2個(gè)公益宣傳廣告不能連續(xù)播放 則不同的播放方式有 種 答案 36 解析 解析先安排后2個(gè) 再安排前3個(gè) 由分步乘法計(jì)數(shù)原理知 共有 36 種 不同的播放方式 5 已知xi 1 0 1 i 1 2 3 4 5 6 則滿足x1 x2 x3 x4 x5 x6 2的數(shù)組 x1 x2 x3 x4 x5 x6 的個(gè)數(shù)為 答案 解析 解析根據(jù)題意 x1 x2 x3 x4 x5 x6 2 xi 1 0 1 i 1 2 3 4 5 6 xi中有2個(gè)1和4個(gè)0 或3個(gè)1