高中數(shù)學(xué)第二章平面向量3_1數(shù)乘向量課件北師大版必修4

3 1數(shù)乘向量 第二章 3從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量 學(xué)習(xí)目標(biāo)1 了解向量數(shù)乘的概念 并理解這種運(yùn)算的幾何意義 2 理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律 會運(yùn)用向量數(shù)乘運(yùn)算律進(jìn)行向量運(yùn)算 3 理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)及其判定方法 并能熟練地運(yùn)用這些知識處理有關(guān)共線向量問題 題型探究 問題導(dǎo)學(xué) 內(nèi)容索引 當(dāng)堂訓(xùn)練 問題導(dǎo)學(xué) 知識點(diǎn)一向量數(shù)乘的定義 思考1 實(shí)數(shù)與向量相乘的結(jié)果是實(shí)數(shù)還是向量 答案 答案向量 思考2 向量3a 3a與a從長度和方向上分析具有怎樣的關(guān)系 答案 答案3a的長度是a的長度的3倍 它的方向與向量a的方向相同 3a的長度是a的長度的3倍 它的方向與向量a的方向相反 思考3 a的幾何意義是什么 答案由實(shí)數(shù)與向量的積的定義可以看出 它的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮 當(dāng) 1時(shí) 表示向量a的有向線段在原方向 0 或反方向 0 上伸長為原來的 倍 當(dāng) 1時(shí) 表示向量a的有向線段在原方向 0 或反方向 0 上縮短為原來的 倍 答案 數(shù)乘向量一般地 實(shí)數(shù) 與向量a的積是一個(gè)向量 記作 它的長度為 a a 它的方向 當(dāng) 0時(shí) a與a的方向相同 當(dāng) 0時(shí) a與a的方向相反 當(dāng) 0時(shí) a 0 方向任意 梳理 a 思考 知識點(diǎn)二向量數(shù)乘的運(yùn)算律 類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算律 向量數(shù)乘有怎樣的運(yùn)算律 答案 答案結(jié)合律 分配律 梳理 向量數(shù)乘運(yùn)算律 1 a a 2 a a a 3 a b a b 思考 知識點(diǎn)三向量共線定理 若b 2a b與a共線嗎 答案 答案根據(jù)共線向量及向量數(shù)乘的意義可知 b與a共線 如果有一個(gè)實(shí)數(shù) 使b a a 0 那么b與a是共線向量 反之 如果b與a a 0 是共線向量 那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù) 使得b a 梳理 1 向量共線的判定定理a是一個(gè)向量 若存在一個(gè)實(shí)數(shù) 使得 則向量b與非零向量a共線 2 向量共線的性質(zhì)定理若向量b與非零向量a共線 則存在一個(gè)實(shí)數(shù) 使得b 非零 b a a 向量的加法 減法和實(shí)數(shù)與向量積的綜合運(yùn)算 通常稱為向量的線性運(yùn)算 或線性組合 知識點(diǎn)四向量的線性運(yùn)算 題型探究 解答 類型一向量數(shù)乘的基本運(yùn)算 4a 4b 2 已知向量為a b 未知向量為x y 向量a b x y滿足關(guān)系式3x 2y a 4x 3y b 求向量x y 由 3 2 得x 3a 2b 代入 得3 3a 2b 2y a 即y 4a 3b 所以x 3a 2b y 4a 3b 解答 1 向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算 例如實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號 移項(xiàng) 合并同類項(xiàng) 提取公因式等變形手段在實(shí)數(shù)與向量的乘積中同樣適用 但是這里的 同類項(xiàng) 公因式 是指向量 實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù) 2 向量也可以通過列方程和方程組求解 同時(shí)在運(yùn)算過程中多注意觀察 恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用運(yùn)算律 簡化運(yùn)算 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練1 1 a b 3 a b 8a 解析 a b 3 a b 8a a 3a b 3b 8a 2a 4b 8a 10a 4b 10a 4b 答案 解析 2 若 其中a b c為已知向量 則未知向量y 答案 解析 命題角度1判定向量共線或三點(diǎn)共線例2已知非零向量e1 e2不共線 類型二向量共線的判定及應(yīng)用 解 b 6a a與b共線 解答 A B D三點(diǎn)共線 證明 1 向量共線的判斷 證明 是把兩向量用共同的已知向量來表示 進(jìn)而互相表示 從而判斷共線 2 利用向量共線定理證明三點(diǎn)共線 一般先任取兩點(diǎn)構(gòu)造向量 從而將問題轉(zhuǎn)化為證明兩向量共線 需注意的是 在證明三點(diǎn)共線時(shí) 不但要利用b a a 0 還要說明向量a b有公共點(diǎn) 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練2已知非零向量e1 e2不共線 如果 e1 2e2 5e1 6e2 7e1 2e2 則共線的三個(gè)點(diǎn)是 A B D A B D三點(diǎn)共線 答案 解析 命題角度2利用向量共線求參數(shù)值例3已知非零向量e1 e2不共線 欲使ke1 e2和e1 ke2共線 試確定k的值 k 1 解答 解 ke1 e2與e1 ke2共線 存在實(shí)數(shù) 使ke1 e2 e1 ke2 則 k e1 k 1 e2 利用向量共線定理 即b與a a 0 共線 b a 既可以證明點(diǎn)共線或線共線問題 也可以根據(jù)共線求參數(shù)的值 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練3已知A B P三點(diǎn)共線 O為直線外任意一點(diǎn) 若 x y 則x y 1 答案 解析 x 1 y x y 1 類型三用已知向量表示其他向量 答案 解析 解析示意圖如圖所示 用已知向量表示未知向量的求解思路 1 先結(jié)合圖形的特征 把待求向量放在三角形或平行四邊形中 2 然后結(jié)合向量的三角形法則或平行四邊形法則及向量共線定理用已知向量表示未知向量 3 當(dāng)直接表示比較困難時(shí) 可以利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系 然后解關(guān)于所求向量的方程 反思與感悟 解答 又 D E為邊AB的兩個(gè)三等分點(diǎn) 當(dāng)堂訓(xùn)練 1 已知a 5e b 3e c 4e 則2a 3b c等于A 5eB 5eC 23eD 23e 2 3 4 5 1 解析2a 3b c 2 5e 3 3e 4e 23e 答案 解析 2 3 4 5 1 答案 解析 解析如圖 作出平行四邊形ABEC M是對角線的交點(diǎn) 故M是BC的中點(diǎn) 且是AE的中點(diǎn) 2 3 4 5 1 3 設(shè)e1 e2是兩個(gè)不共線的向量 若向量m e1 ke2 k R 與向量n e2 2e1共線 則 答案 解析 所以n 2m 此時(shí) m n共線 答案 解析 2 3 4 5 1 A P在 ABC內(nèi)部B P在 ABC外部C P在AB邊上或其延長線上D P在AC邊上 解答 2 3 4 5 1 規(guī)律與方法 1 實(shí)數(shù)與向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算 但不能進(jìn)行加減運(yùn)算 例如 a a是沒有意義的 2 a的幾何意義就是把向量a