數(shù)學(xué)與科技進(jìn)步（2012.11.13).ppt - .ppt

數(shù)學(xué)與科技進(jìn)步沈?yàn)?012 09 10haoshen 參考文獻(xiàn) 部分 1 M 克萊因 古今數(shù)學(xué)思想 全四冊 上?？萍汲霭嫔?2 張順燕 數(shù)學(xué)的源與流 高等教育出版社 3 鄧東皋等 數(shù)學(xué)與文化 北京大學(xué)出版社 4 G 哈代 一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白 5 沈?yàn)?數(shù)學(xué)在科學(xué)中的地位與作用 超星視頻 第一章 數(shù)學(xué)在科學(xué)中的地位 1 1 何謂科學(xué) 何謂技術(shù) 科學(xué) Science 是對客觀規(guī)律的認(rèn)識(shí) 揭示和描述的系統(tǒng)知識(shí) 技術(shù) Technoledge 則是人們?yōu)榱烁鞣N特定的目的在科學(xué)理論指導(dǎo)下從事的種種發(fā)明與創(chuàng)造等等 科學(xué) 一詞源于拉丁文scientia 原為 知識(shí) 與 學(xué)問 之意 1 2 梁啟超關(guān)于 學(xué) 與 術(shù) 的定義學(xué)也者 觀察事物而發(fā)明真理者也 術(shù)也者 取所發(fā)現(xiàn)之真理致之用者也 譬如以石投水則沉 投以木則浮 觀察此事實(shí)以證明水之右浮力 此物理也 應(yīng)用此真理以駕駛船舶 則航海術(shù)也 研究人體之組織 辨別各器官之機(jī)能 此生理學(xué)也 應(yīng)用此真理以療治疾病 則醫(yī)術(shù)也 學(xué)與術(shù)之區(qū)分及其相關(guān)系 凡百皆準(zhǔn)此 梁啟超 學(xué)與術(shù) 1911 1 3 中譯名 科學(xué) 之由來明清時(shí)期 與science意義最相近的中文詞語為 格致 即 格物致知 之意 徐光啟稱之為 格物窮理之學(xué) 明治維新時(shí)期 日本學(xué)者西周將science譯為 科學(xué) 其意為 分科之學(xué) 在古代中國 分科之學(xué) 與 分科取士 的科舉考試相關(guān) 因此 雖然 科學(xué) 一詞在中國古已有之 然而它只和科舉有關(guān) 而和science無關(guān) 十九世紀(jì)九十年代 康有為首次將 科學(xué) 作為science的譯名從日本引入中國 自此至1905年 科學(xué) 與 格致 并用 1905年 清政府廢科舉 興新學(xué) 自此以后 科學(xué) 逐步取代 格致 專以指代science 1 4 自然科學(xué)與自然哲學(xué) 科學(xué) 一詞 原來主要是指自然科學(xué) Naturalscience 也稱自然哲學(xué) NaturalPhilosophy 例如 Newton的名著叫作 自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理 廣義的 科學(xué) 不但包括自然科學(xué) 還包括社會(huì)科學(xué) 人文科學(xué)等大類 1 5 科學(xué)與技術(shù)之間的關(guān)系學(xué)為術(shù)之體 術(shù)為學(xué)之用上述說法不無道理 但失諸片面 技術(shù)固然要接受科學(xué)理論的指導(dǎo) 必須符合科學(xué)規(guī)律才有可能有所發(fā)明 有所創(chuàng)造 反之 技術(shù)的進(jìn)步也會(huì)為科學(xué)研究提供更多更好的方法和手段 促進(jìn)科學(xué)的發(fā)展 1 6 有 閑 最難從事科學(xué)研究的三個(gè)基本條件 一曰有 才 二曰有 財(cái) 三曰有 閑 有 閑 最難 科學(xué)是不講功利的 而技術(shù)是一定要講功利的 從個(gè)人來說 研究科學(xué)的動(dòng)機(jī)是什么 是人的與生俱來的好奇心 是人們探究未知世界奧秘的無窮無盡的樂趣 1 7 從事科學(xué)研究 做學(xué)問 的三個(gè)境界 昨夜西風(fēng)凋碧樹 獨(dú)上層樓 望斷天涯路 為伊消得人憔悴 衣帶漸寬終不悔 眾里尋她千百度 驀然回首 那人恰在燈火闌珊處 王國維 人間詞話 1 8 科學(xué)的一種分類法 自然科學(xué) 物理 之學(xué) 社會(huì)科學(xué) 事理 之學(xué) 人文科學(xué) 情理 之學(xué) 哲學(xué) 數(shù)學(xué) 1 9 六門基礎(chǔ)科學(xué)數(shù) 理 化 天 地 生 1 10 科學(xué)精神最簡潔的表達(dá)可概括為兩個(gè)字 求是 1 11 數(shù)學(xué)之用數(shù)學(xué)的計(jì)算功能 數(shù)學(xué)是描述科學(xué)理論的合適語言 數(shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)科學(xué)規(guī)律的銳利武器 數(shù)學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的理想載體 數(shù)學(xué)的哲學(xué)意義 數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值 第二章 代數(shù)結(jié)構(gòu)與序結(jié)構(gòu)2 1 集合與一一對應(yīng)定義2 1 設(shè)X與Y為兩個(gè)非空集合 f為從集合X到集合Y的一個(gè)對應(yīng)規(guī)則 使得對X中的任意一個(gè)元素x 都有Y中惟一的一個(gè)元素y與之對應(yīng) 則稱f為從X到Y(jié)的一個(gè)映射 mapping 而將y叫作元素x在映射f作用之下的象 記作y f x 定義2 2 設(shè)f為從集合X到Y(jié)的一個(gè)映射 i 若對Y中任一元素y 都存在X中某個(gè)元素x 使得y f x 則稱f為從X到Y(jié)上的一個(gè)滿射 surjection 或稱f是映上的 surjective ii 若對X中任意兩個(gè)不同元素s t 只要s t 都有f s f t 則稱f為從X到Y(jié)的一個(gè)單射 injection iii 若f既是單射又是滿射 則稱f為從X到Y(jié)上的一個(gè)雙射 bijection 或一一對應(yīng) onetoonecorrespondance 2 2 集合的基數(shù)定義2 3 設(shè)X與Y為兩個(gè)集合 若存在從X到Y(jié)上的一個(gè)一一對應(yīng) 則稱X與Y的基數(shù) cardinal 或稱X與Y等勢 記作 X Y 這里 X 表示集合X的基數(shù) 若X是包含m格元素的有限集 則定義X的基數(shù)為m 即 X m 空集的基數(shù)為零 即 定義2 4 設(shè)X與Y為兩個(gè)集合 若X存在某個(gè)子集U使得 U Y 則稱X的基數(shù)不小于Y的基數(shù) 記作 X Y 若 X Y 但對Y的任一子集V 都不存在從V到X上的一一對應(yīng) 則稱X的基數(shù)大于Y的基數(shù) 記作 X Y 命題2 1 若 X Y 與 Y X 同時(shí)成立 則必 X Y 2 3 可數(shù)集定義2 5 令N表示由全體正整數(shù)組成的集合 設(shè)X為任一集合 若 X N 則稱X為可數(shù)集 countableset 否則稱X為不可數(shù)集 例2 1 i 全體偶數(shù)的集合是可數(shù)集 ii 全體3的倍數(shù)組成的集合是可數(shù)集 iii 令S 7t 5 t為任意正整數(shù) 則S為可數(shù)集 思考題 1 令Q表示由全體有理數(shù)組成的集合 證明 Q是可數(shù)集 思考題 1 令Q表示由全體有理數(shù)組成的集合 證明 Q是可數(shù)集 2 證明 有限集不可能與其真子集基數(shù)相同 無限集必與它的某個(gè)真子集基數(shù)相同 擴(kuò)展閱讀 全體實(shí)數(shù)組成的集合記作R 證明 R是不可數(shù)集 實(shí)數(shù)集R的基數(shù)叫作連續(xù)統(tǒng)勢 思考題3 證明 全體實(shí)數(shù)的集合R與全體復(fù)數(shù)組成的集合C的基數(shù)相同 即 C R 2 4 偏序關(guān)系與偏序集定義2 6 令S為一個(gè)非空集合 在S上給定一個(gè)關(guān)系 記作 若 具有下述性質(zhì) i 自反性 對S中任意元素想x 都有x x ii 反對稱性 由x y與y x都成立必有x y iii 傳遞性 由x y與y z同時(shí)成立必有x z 則稱 為集合S上的一個(gè)偏序關(guān) partialordering 而把序?qū)?S 叫作一個(gè)偏序集 partiallyorderedset 例2 2 設(shè)n為給定之正整數(shù) S為由n的全體正因數(shù)組成的集合 則S關(guān)于整數(shù)的整除關(guān)系構(gòu)成一個(gè)偏序集 例2 3 設(shè)A為給定之有限集 S為由A的全體子集 包括S本身與空集 組成的集合 則S關(guān)于集合的包含關(guān)系構(gòu)成一個(gè)偏序集 2 5 全序集若x y但x y 則記作x y 定義2 7 設(shè) S 為一個(gè)偏序集 若對S中任意兩個(gè)不同元素x與y 在x y與y x兩式之中必有且只有一式成立 則稱 S 為一個(gè)全序集 totallyorderedset 例2 4 全體實(shí)數(shù)的集合R關(guān)于實(shí)數(shù)的小于等于關(guān)系是一個(gè)全序集 R 全體正整數(shù)集合N關(guān)于此 也構(gòu)成一個(gè)全序集 思考題4 舉出一些你在專業(yè)學(xué)習(xí)或生活中用到的偏序關(guān)系和偏序集以及全序集之例 2 6 復(fù)數(shù)域的公理化通常用C表示全體附屬的集合 在C上定義有兩個(gè)基本的代數(shù)運(yùn)算 加法和乘法 復(fù)數(shù)關(guān)于這兩種運(yùn)算具有下述基本性質(zhì) 1 加法交換律 對任意元素a b都有a b b a 2 加法結(jié)合律 對任意元素a b c 都有 a b c a b c 3 零元存在 對任意元素a 都有0 a a 4 負(fù)元存在 對任意元素a 都存在某個(gè)元素x使得a x 0 x叫做a的負(fù)元 記作 a 5 乘法交換律 對任意元素a b都有a b b a 6 乘法結(jié)合律 對任意元素a b c 都有 a b c a b c 7 單位元存在 對任意元素a 都有1 a a 8 逆元存在 對任意非零元素a 都存在某個(gè)元素x使得a x 1 x叫做a的逆元 記作1 a 9 乘法對于加法的分配律 對任意元素a b c 都有a b c a b a c 定義2 8 復(fù)數(shù)集C關(guān)于復(fù)數(shù)加法和乘法這兩種基本運(yùn)算構(gòu)成的代數(shù)系統(tǒng) C 叫作復(fù)數(shù)域 有時(shí)為了方便 也常常簡單地用C表示復(fù)數(shù)域 2 7 數(shù)域問題 是否只有全體復(fù)數(shù)的集合C關(guān)于復(fù)數(shù)的加法與乘法構(gòu)成的代數(shù)系統(tǒng)才具有2 6中的全部九條性質(zhì) 定義2 9 設(shè)K為復(fù)數(shù)集C的至少包含兩個(gè)元素的子集 若K關(guān)于加法與乘法這兩種代數(shù)運(yùn)算封閉并且具有2 6中的9條性質(zhì) 則稱代數(shù)系統(tǒng) K 為一個(gè)數(shù)域 或簡單地稱K為一個(gè)數(shù)域 numberfield 例2 5 令R表示全體實(shí)數(shù)的集合 則 R 是一個(gè)數(shù)域 叫做實(shí)數(shù)域 thefieldofrealnumbers 例2 6 令Q表示全體有理數(shù)的集合 則 Q 也是一個(gè)數(shù)域 叫做有理數(shù)域 thefieldofrationalnumbers 例2 6 令Q i a bi a b為有理數(shù) 則Q i 也是一個(gè)數(shù)域 叫做Gauss數(shù)域 關(guān)于數(shù)域的判別法則 定理2 1 設(shè)K為復(fù)數(shù)集C的至少包含兩個(gè)元素的子集 若K關(guān)于四則運(yùn)算封閉 則K是一個(gè)數(shù)域 思考題5 設(shè)n為整數(shù) 令Q n a b n a b為有理數(shù) 則Q n 為數(shù)域 思考題6 證明 有理數(shù)域是最小的數(shù)域 即任意一個(gè)數(shù)域都包含有理數(shù)域 2 8 域定義2 10 設(shè)F為至少包含兩個(gè)元素的集合 在F上定義兩個(gè)二元運(yùn)算 叫做加法和乘法 分別記作 與 若F關(guān)于這兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算封閉 并且滿足以下八條公理 1 加法交換律 對F中任意元素a b都有a b b a 2 加法結(jié)合律 對F中任意元素a b c 都有 a b c a b c 3 零元存在 對F中任意元素a 都有0 a a 4 負(fù)元存在 對F中任意元素a 都存在某個(gè)元素x使得a x 0 x叫做a的負(fù)元 記作 a 5 乘法交換律 對F中任意元素a b都有a b b a 6 乘法結(jié)合律 對F中任意元素a b c 都有 a b c a b c 7 單位元存在 對任意元素a 都有1 a a 8 逆元存在 對任意非零元素a 都存在某個(gè)元素x使得a x 1 x叫做a的逆元 記作1 a 9 乘法對于加法的分配律 對任意元素a b c 都有a b c a b a c 則稱代數(shù)系統(tǒng) F 為一個(gè)域 或簡單地稱F為一個(gè)域 field 顯然 每一個(gè)數(shù)域都是域 下面我們構(gòu)造一個(gè)只有兩個(gè)元素的域 令F 0 1 規(guī)定加法如下 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 再規(guī)定乘法如下 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 不難驗(yàn)證 F 關(guān)于這兩種代數(shù)運(yùn)算封閉 并且滿足全部八條公理 因此這是一個(gè)域 思考題7 設(shè)p為任意素?cái)?shù) 證明 都存在一個(gè)正好具有p個(gè)元素的域 包含有限多個(gè)元素的域叫有限域 有限域理論在計(jì)算機(jī)科學(xué) 信息科學(xué)和通信工程中有極其重要的應(yīng)用 2 9 整數(shù)環(huán)定義2 11 令Z表示全體整數(shù)組成的集合 則Z關(guān)于復(fù)數(shù)的加法和乘法運(yùn)算具有除去性質(zhì)8 之外的其余八條性質(zhì) 因此 Z 不是一個(gè)數(shù)域 但它還是具有相當(dāng)好性質(zhì)的一個(gè)代數(shù)系統(tǒng) 叫做整數(shù)環(huán) 帶余除法定理2 2 任給整數(shù)a和正整數(shù)b 存在唯一一對整數(shù)q與r 使得a q b r 0 r b 1 2 10 多項(xiàng)式環(huán)定義2 設(shè)R為實(shí)數(shù)域 令R x 表示不定元x的全體實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式所組成的集合 考慮R x 關(guān)于多項(xiàng)式加法 與乘 R x 法 所組成的代數(shù)系統(tǒng) R x 不難證明 R x 滿足除去8 以外的全部八條公理 R x 叫做實(shí)數(shù)域上的一元多項(xiàng)式環(huán) 思考題8 證明 R x 滿足除去8 以外的全部八條公理 思考題9 設(shè)f x 與g x 為R x 中的兩個(gè)多項(xiàng)式且g x 0 證明 存在多項(xiàng)式q x 與r x 使得f x q x g x r x 其中r x 0或者r x 的次數(shù)小于g x d的次數(shù) 第三章 數(shù)學(xué)的計(jì)算功能 3 1 數(shù)學(xué)為計(jì)算提供方法和工具數(shù)學(xué)是一門藝術(shù) 是一門通過發(fā)展概念和技巧以使人們較為輕快地前進(jìn) 從而避免靠蠻力計(jì)算的藝術(shù) 3 2 從變中找不變例3 1 求前n個(gè)自然數(shù)的和 S n 1 2 3 n解 1 2 3 n 1 nn n 1 n 2 2 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 因此得 S n n n 1 2 3 3 待定系數(shù)法之應(yīng)用例3 2 求前n個(gè)自然數(shù)的平方之和 例3 3 設(shè)k為正整數(shù) 求前n個(gè)自然數(shù)的k次方之和 直覺用于發(fā)明 邏輯用于證明 3 5 級數(shù)求和之例 例3 4 計(jì)算 1 2 1 6 1 12 1 20 1 30 1 42 1 56 1 72 1 90 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4 1 5 1 5 1 6 1 6 1 7 1 7 1 8 1 8 1 9 1 9 1 10 1 1 10 9 10 3 6 斐波那契數(shù)列1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 90 145 3 9 朱載堉 明朝 1536 1611 為了研究樂律學(xué) 發(fā)明十二平均律 用珠算求2的12次方根的近似值 精確到25位有效數(shù)字 2的12次方根 1 059463094359295264561825 3 10 牛頓 1642 1727 和萊布尼茨 1646 1716 發(fā)明微積分 微分可用來求變化率 切線的斜率 速度和加速度 積分可用來求不規(guī)則圖形的面積和體積 運(yùn)動(dòng)物體所走的路程 3 11 計(jì)算數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)十九世紀(jì)中葉以前的數(shù)學(xué)大家一般都是計(jì)算能手 L Euler 1707 1783 與K Gauss 1777 1855 都在其一生中把很大精力花在數(shù)值計(jì)算以及計(jì)算方法的改進(jìn)上 自電子計(jì)算機(jī)問世以后 即能以過去計(jì)算專家所無法比擬的速度與規(guī)模進(jìn)行數(shù)值計(jì)算 的數(shù)值計(jì)算曾長期作為判斷計(jì)算技術(shù)水平的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn) 十九世紀(jì)中葉 的近似值算到400位 英國計(jì)算家W Shanks 1812 1882 花了二十多年時(shí)光 把 算到707位 傳為美談 不過到1946年通過計(jì)算機(jī)發(fā)現(xiàn)第528位是錯(cuò)誤的 1949年由計(jì)算機(jī)求 的近似值 一下子精確到小數(shù)點(diǎn)后2000多位 十年后推進(jìn)到十萬位 二十年后天推進(jìn)到一百萬位 第四章 數(shù)學(xué)是描述科學(xué)規(guī)律的合適語言大自然是一部書 這部書使用數(shù)學(xué)的語言寫成的 意大利 伽利略沒有哪一門科學(xué)能比數(shù)學(xué)更為清晰的闡明自然界的和諧性 保羅 卡洛斯 如果物理定律在數(shù)學(xué)形式上不美 那就是一種理論還不夠成熟的標(biāo)志 說明理論有缺陷 需要改進(jìn) 我沒有試圖直接解決某一物理問題 而只是試圖尋找某種優(yōu)美的數(shù)學(xué) 英 狄拉克 數(shù)學(xué)之所以有高的聲譽(yù) 還有一個(gè)理由 那就是數(shù)學(xué)給予精確自然科學(xué)以某種可靠性 沒有數(shù)學(xué) 這些科學(xué)是達(dá)不到這種可靠性的 理論科學(xué)家在他探索理論時(shí) 就不得不愈來愈從純粹數(shù)學(xué)的形式考慮 因?yàn)閷?shí)驗(yàn)家的物理實(shí)驗(yàn)不能把他提高到最抽象的領(lǐng)域中去 我們這個(gè)世界的圖景可以由音樂的音符組成 也可由數(shù)學(xué)的公式組成 美 愛因斯坦 4 1 天文學(xué)天文學(xué)的研究對象是最純潔 最美好 最有意義的問題 無論是研究宇宙的旋轉(zhuǎn) 天體的運(yùn)行 還是研究天體的大小 相互之間的距離變化 都可以使人得到一種美的享受 天文學(xué)的研究目的就是為了尋求宇宙是如何遵循數(shù)和數(shù)的關(guān)系和諧的運(yùn)行 即宇宙可以用數(shù)學(xué)關(guān)系來描述 卻無法用別的方法所替代 波蘭 哥白尼 天體運(yùn)行論 4 2 圓錐曲線理論 古希臘 與天體力學(xué)開普勒是世界上第一個(gè)用數(shù)學(xué)公式描述天體運(yùn)動(dòng)的人 他使天文學(xué)從古希臘的靜態(tài)幾何學(xué)轉(zhuǎn)化為動(dòng)力學(xué) 開普勒三定律證明了畢達(dá)哥拉斯主義核心的數(shù)學(xué)原理 現(xiàn)象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)提供了理解現(xiàn)象的鑰匙 開普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律 a 行星在橢圓軌道上繞太陽運(yùn)動(dòng) 太陽位于此橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上 b 從太陽到星星的向徑在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相同的面積 c 行星繞太陽公轉(zhuǎn)的周期的平方與橢圓軌道的半長軸的立方成正比 4 3 伽利略與力學(xué)科學(xué)的建立除了牛頓之外 伽利略要算是近代科學(xué)最偉大的奠基者了 與亞里士多德不同 伽利略認(rèn)為 科學(xué)必須尋求數(shù)學(xué)描述 而不是物理解釋 這個(gè)方法開創(chuàng)了科學(xué)的新紀(jì)元和物理科學(xué)數(shù)學(xué)化的進(jìn)程 伽利略建立了力學(xué)科學(xué) 設(shè)計(jì)和樹立了近代科學(xué)的思維模式 1650年前后 在科學(xué)家頭腦中占據(jù)最主要地位的問題是 能否在伽利略的地上物體運(yùn)動(dòng)定律和開普勒的天體運(yùn)動(dòng)定律之間建立一種聯(lián)系 他們確信 上帝數(shù)學(xué)化地設(shè)計(jì)了世界 4 4 萬有引力定律牛頓在伽利略和開普勒工作的基礎(chǔ)上 發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律 給出了萬有引力公式 F G Mm r2這是一個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn) 世界上從來沒有運(yùn)用方程式到到過如此程度的單一化和統(tǒng)一化 牛頓的功績在于 他為宇宙奠定了新秩序 以最確鑿的證據(jù)證明了自然界是按數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)的 1679年 牛頓證明 1 行星以一個(gè)焦點(diǎn)為力的中心的圓錐曲線軌道上運(yùn)動(dòng) 開普勒定律 由此可推出平方反比律 2 反過來 如果假定在給定初始條件下解得唯一性 則由平方反比律也可推出 行星 做圓錐曲線軌道運(yùn)動(dòng) 3 從1684年到1687年的寫書過程中 牛頓發(fā)現(xiàn) 引力與物體質(zhì)量成正比 引力與質(zhì)量有恒定聯(lián)系由此得出引力的 萬有性 牛頓的萬有引力的思想從1666年開始醞釀到1687年巨著出版 整整經(jīng)歷了二十年 在這期間許多人都有引力概念 并知道平方反比律 胡克甚至說他能根據(jù)平方反比律對行星運(yùn)動(dòng)做出完善的解釋 但這需要真正過硬的數(shù)學(xué)功夫 胡克等人是不具備的 在當(dāng)時(shí)只有牛頓才能完成這項(xiàng)偉業(yè) 其結(jié)果就是 原理 一書的誕生 第三章 數(shù)學(xué)是描述科學(xué)規(guī)律的合適語言 4 5 自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理近代科學(xué)誕生的標(biāo)志是1687年牛頓 自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理 一書的出版 牛頓真正給近代科學(xué)確定了前所未有的特征 1 給出一般的 普遍的概念 理論和體系 特別是萬有引力 2 建立數(shù)學(xué)模型 給出數(shù)學(xué)解法 導(dǎo)出定量的規(guī)律 3 根據(jù)數(shù)學(xué)模型可以通過觀察和實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的預(yù)言 4 提出新問題 為未來學(xué)科發(fā)展指明方向 牛頓不僅為物理學(xué)和力學(xué)奠定基礎(chǔ) 而且通過數(shù)學(xué)化使之成為精密科學(xué) 這就使物理學(xué)或力學(xué)不再停留在一方面是哲學(xué)思辨 另一方面是唯象的經(jīng)驗(yàn) 兩方面脫節(jié)的前科學(xué)階段 而在由前科學(xué)上升為科學(xué) 由哲學(xué)進(jìn)化為科學(xué) 由定性精密化為定量的過程中 數(shù)學(xué)起了關(guān)鍵作用 4 6 拉格朗日與他的 分析力學(xué) 18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家和科學(xué)家繼承牛頓的思想繼續(xù)前進(jìn) 拉格朗日的 分析力學(xué) 是牛頓數(shù)學(xué)方法的典范 對力學(xué)作了完全數(shù)學(xué)化的處理 這種方法也用到了流體力學(xué) 彈性力學(xué)和電磁學(xué) 定量的數(shù)學(xué)化方法構(gòu)成了科學(xué)的本質(zhì) 真理大多存在于數(shù)學(xué)中 數(shù)學(xué)支配一切 自然法則就是數(shù)學(xué)法則 18世紀(jì)最偉大的智者對此深信不疑 4 7 無用與有用之間方程X 2 1 0的求根 復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的幾何表示 復(fù)數(shù)理論與復(fù)變函數(shù)論 流體力學(xué) 空氣動(dòng)力學(xué) 麥克斯韋的電磁理論 4 8 方程的根式解問題一元三次方程 卡當(dāng)公式 一元四次方程 費(fèi)拉里公式 一元五次方程的求根公式是否存在 4 9 群論 關(guān)于對稱性的理論 與量子力學(xué)阿貝爾 1802 1829 證明 一般的5次或5次以上的代數(shù)方程不存在根式解 伽羅華 1811 1832 進(jìn)一步給出一種方法 利用這種方法 可以判斷給定的一個(gè)任意次數(shù)的代數(shù)方程是否可以根式解 由此誕生了純粹數(shù)學(xué)的一個(gè)極其重要的分支 群論 這一高度抽象的數(shù)學(xué)理論后來成了研究量子力學(xué)的最合適的數(shù)學(xué)語言和工具 4 10非歐幾何 羅巴切夫斯基 1793 1856 黎曼 1826 1866 與愛因斯坦的相對論 4 11 數(shù)學(xué)與生物學(xué)孟德爾 1822 1884 于1865年發(fā)現(xiàn)遺傳定律 但知道1900年前后才被重新發(fā)現(xiàn) 這是生物學(xué)上一大突破 做數(shù)學(xué)上也刺激了數(shù)量遺傳學(xué)的發(fā)展 于是 生物學(xué)與數(shù)學(xué)正式結(jié)合在一起 1939年 數(shù)學(xué)生物學(xué)成為一門正式學(xué)科而今 分子生物學(xué) DNA測序 種群遺傳 生物分類等等 數(shù)學(xué)在生物科學(xué)上的應(yīng)用方興未艾 前程無限 4 12 數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)作為一門科學(xué) 首先需要搞清基本概念 描述可觀的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象 闡述經(jīng)濟(jì)是如何發(fā)展的 然后仿照自然科學(xué)的方法建立經(jīng)濟(jì)模型 研究其中規(guī)律 特別是變量之間的函數(shù)關(guān)系以及各種量如何演化的微分方程 若由此再沿著數(shù)學(xué)化道路發(fā)展 即得抽象的數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué) 若沿著聯(lián)系實(shí)際的道路往前 就會(huì)得出符合實(shí)際的經(jīng)濟(jì)學(xué)結(jié)論 這首先需要對函數(shù)或方程的系數(shù)按實(shí)際情況進(jìn)行估算 這時(shí)還需要運(yùn)用統(tǒng)計(jì)工具及其他數(shù)學(xué)方法來確定 確定之后還需解方程以得出結(jié)論 諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者大多是數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)功底深厚的經(jīng)濟(jì)學(xué)家 一個(gè)典型的例子 美麗心靈 中的納什 第五章 數(shù)學(xué)是探索未知世界的銳利武器無用之用 眾用之基 明朝 徐光啟數(shù)學(xué)是科學(xué)的大門和鑰匙 忽視數(shù)學(xué)必將傷害所有的知識(shí) 因?yàn)楹鲆晹?shù)學(xué)的人是無法了解任何其他科學(xué)乃至世界上任何其他事物的 英 R 培根 沒有哪一門科學(xué)能比數(shù)學(xué)更為清晰的闡明自然界的和諧性 保羅 卡洛斯數(shù)學(xué)的發(fā)展和國家的繁榮昌盛密切相關(guān) 法 拿破侖 音樂能激發(fā)或撫慰情懷 繪畫能使人賞心悅目 詩歌能動(dòng)人心弦 哲學(xué)能使人獲得智慧 科技可以改善物質(zhì)生活 而數(shù)學(xué)則能提供以上的一切 美 克萊因 5 1 海王星的發(fā)現(xiàn)天王星於1781年3月13日被威廉 赫歇爾發(fā)現(xiàn) 但是到1830年 對天王星的觀察與理論之間有了不能容忍的誤差 已經(jīng)達(dá)到20 1850年更達(dá)到2 從表面上看 似乎萬有引力定律的正確性已值得懷疑 兩位青年數(shù)學(xué)家 劍橋大學(xué)23大學(xué)生亞當(dāng)斯 1819 1892 和法國青年數(shù)學(xué)家勒威亞 1811 1877 認(rèn)為 偏差是由某個(gè)未知行星的擾動(dòng)所引起 亞當(dāng)斯經(jīng)過近兩年的思考和計(jì)算 證明天王星運(yùn)行上的偏差是由一未知行星的攝動(dòng)引起 他將結(jié)果通知英國有關(guān)機(jī)構(gòu) 但未受到重視 法國勒威耶于同年 1945年 研究同一問題 完成了兩個(gè)報(bào)告 發(fā)表于1946年6月1日與8月31日 1836年9月18日 勒威耶致信柏林天文臺(tái)天文學(xué)家加耳 告訴他未知行星的坐標(biāo) 加耳在9月23日收到來信的當(dāng)天晚上 將望遠(yuǎn)鏡對準(zhǔn)寶瓶座內(nèi)勒威耶所指的那一點(diǎn) 看到一顆星不在星圖上面 這正是那顆未知行星 9月25日 加耳給勒威耶去信說 先生 你給我們指出位置的那顆行星是真實(shí)存在的 這顆星就是海王星 海王星 由數(shù)學(xué)家計(jì)算出來的行星 加耳在9月23日收到來信的當(dāng)天晚上 將望遠(yuǎn)鏡對準(zhǔn)寶瓶座內(nèi)勒威耶所指的那一點(diǎn) 看到一顆星不在星圖上面 這正是那顆未知行星 9月25日 加耳給勒威耶去信說 先生 你給我們指出位置的那顆行星是真實(shí)存在的 這顆星就是海王星 海王星 由數(shù)學(xué)家計(jì)算出來的行星 5 2 Radon變換與CT掃描技術(shù)A M 卡馬克試圖尋找一個(gè)不經(jīng)手術(shù)而能準(zhǔn)確確定一個(gè)體內(nèi)物體的位置和密度的方法 在那時(shí) 只有X 射線 x 光透視 可以利用 但它只給出2維圖像 在平面上有一密度不均勻的物體 我們不能看見里面的陰影部分 但是通過射現(xiàn)穿過它 來看一下從另一邊出來多少 我們能測量出沿一條直線的物質(zhì)總量 問題是如何從該信息重現(xiàn)物體內(nèi)部的密度 在平面上有一密度不均勻的物體 我們不能看見里面的陰影部分 但是通過射現(xiàn)穿過它 來看一下從另一邊出來多少 我們能測量出沿一條直線的物質(zhì)總量 問題是如何從該信息重現(xiàn)物體內(nèi)部的密度 這個(gè)問題的數(shù)學(xué)解在第一次世界大戰(zhàn)時(shí)期即已得到 這就是著名的Radon變換 由于Radon的解答 卡馬克明白了用X 射線從許多不同角度照射 就能決定體內(nèi)目標(biāo)的位置和形態(tài) 由此導(dǎo)致了CAT掃描技術(shù)的產(chǎn)生 即人體器官的3維成像技術(shù) 如今 這一原理已擴(kuò)張為磁共振圖像掃描技術(shù)它的分辨率更高 在這兩個(gè)技術(shù)中 本質(zhì)上只是大量測量1維和2維的度量 然后應(yīng)用Radon變換重造3維圖像 卡馬克對Radon變換的應(yīng)用遠(yuǎn)不限于醫(yī)學(xué) 如今 這一原理已擴(kuò)張為磁共振圖像掃描技術(shù)它的分辨率更高 在這兩個(gè)技術(shù)中 本質(zhì)上只是大量測量1維和2維的度量 然后應(yīng)用Radon變換重造3維圖像 卡馬克對Radon變換的應(yīng)用遠(yuǎn)不限于醫(yī)學(xué) 在古人類學(xué)中 它已被用于某個(gè)生活在大約290萬年前的Pless夫人的檢測 對Pless夫人耳室的CAT掃描確定了用其它方法認(rèn)為是正確的結(jié)論 我們的曾曾曾直至第N代曾祖母是直立行走的 Radon變換用于海洋學(xué) 可以測定海洋的度 1958年 天文學(xué)家用它來描繪過一張?jiān)虑蛄炼确植紙D 卡馬克因此獲得1979年度諾貝爾生物與醫(yī)學(xué)獎(jiǎng) 5 3 近世代數(shù)與糾錯(cuò)碼理論A 美國70年代初發(fā)射 旅行者 號(hào)宇宙飛船 成功地應(yīng)用了糾錯(cuò)碼技術(shù) 使宇宙飛船在30億公里之外向地面?zhèn)骰亓颂焱跣?海王星等星體的天文圖象天王星的九個(gè)衛(wèi)星的光環(huán)以及海王星的6個(gè)衛(wèi)星的光環(huán)等極其寶貴的資料 糾錯(cuò)碼技術(shù)在通信與數(shù)字技術(shù)中廣泛使用 包括 圖像記錄技術(shù) CD DVD等 數(shù)字音頻技術(shù) CD CompactDisk小型唱片 計(jì)算機(jī)技術(shù) 存儲(chǔ)技術(shù) 包括半導(dǎo)體 存儲(chǔ)設(shè)備 磁帶設(shè)備 磁盤設(shè)備 光盤設(shè)備等 廣播技術(shù) 衛(wèi)星廣播 地面廣播 電纜 衛(wèi)星通信 移動(dòng)通信技術(shù) 5 5 數(shù)論和代數(shù)在密碼學(xué)中的應(yīng)用 1 信息安全 信息保密 信息的完整性 防攻擊與身份認(rèn)證 2 公鑰密碼學(xué) 密碼學(xué)一次偉大的革命 Diffie和Hellman1976 數(shù)論在公鑰密碼學(xué)的應(yīng)用基于大整數(shù)的素因子分解 著名的例子是RSA體制 Rivest Shamir和Adleman1977 如果已知素?cái)?shù)p和q 求乘積n pq 是十分簡單的 但若n是一個(gè)非常大的正整數(shù) 要給出n的素因子分解 計(jì)算量是十分大的 密碼體制的可靠性 主要決定于計(jì)算的復(fù)雜性 數(shù)論和代數(shù)在密碼學(xué)中的應(yīng)用 1 信息安全 信息保密 信息的完整性 防攻擊與身份認(rèn)證 2 公鑰密碼學(xué) 這是密碼學(xué)一次偉大的革命 Diffie和Hellman1976 4 數(shù)學(xué)的教育作用 數(shù)學(xué)是培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生思維能力的理想載體計(jì)算能力 幾何直觀能力 邏輯思維能力 精確 嚴(yán)密 簡潔的表達(dá)能力 在表面上無關(guān)的事物間發(fā)現(xiàn)本質(zhì)聯(lián)系的能力 比薩斜塔實(shí)驗(yàn) 馬爾薩斯人口理論 達(dá)爾文進(jìn)化論 門捷列夫元素周期律 5 數(shù)學(xué)的哲學(xué)意義 6 數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值春秋時(shí)的管仲和古希臘P一thagoras發(fā)現(xiàn) 5度音程的弦長之比為2 3音樂不外是發(fā)出聲音的代數(shù) 法國 M Mersenne樂也者 聲音之學(xué)也 律也者 數(shù)度之學(xué)也 朱載堉 朱載堉 1536 1611 與十二平均律C CD DEF FG GA AB C 總結(jié)數(shù)學(xué)的作用1 數(shù)學(xué)提供計(jì)算的工具和方法 2 數(shù)學(xué)是描述科學(xué)理論的合適語言 3 數(shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)科學(xué)規(guī)律的銳利武器 4 數(shù)學(xué)是訓(xùn)練科學(xué)思維的有效載體 5 數(shù)學(xué)的哲學(xué)意義 6 數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值 主要參考書 課程管理與考核 2 測驗(yàn)115 3 測驗(yàn)215 4 期末考試50 緒言 5 課程小論文10 1 平時(shí)作業(yè)10 第一章基本概念和基本規(guī)律 1 1電路模型和基本變量 基本要求 建立電路模型的概念 建立分布參數(shù)與集中參數(shù)的概念 了解電路集中化判據(jù)的概念 掌握支路電流 電壓的參考方向與其真實(shí)方向的關(guān)系 了解器件建模的概念 1 1電路模型和基本變量 1 電路模型 工程上實(shí)際電氣裝置品種繁多 千差萬別 實(shí)際元件 電氣器件 電氣裝置 進(jìn)行科學(xué)抽象的概括 用數(shù)學(xué)模型表示電氣器件外部功能 模型元件 電路元件 電路模型 模型元件是實(shí)際器件的理想化 反映實(shí)際電氣器件的主要電磁性能 模型元件按一定規(guī)則組合 使之具有實(shí)際裝置的主要電磁性能 這種組合就是電路模型 根據(jù)電路模型得出的數(shù)學(xué)關(guān)系又能反映實(shí)際器件和裝置的基本物理規(guī)律 電器裝置用電路模型近似表示是有條件的 條件變了 電路模型也要作相應(yīng)的改變 課程將僅對電路模型進(jìn)行分析和計(jì)算 1 1電路模型和基本變量 2 電路參數(shù) 稱電阻 電容 電感為電路參數(shù) 1 分布參數(shù) 在電路中三種參數(shù)是連續(xù)分布的 即在電路的任何部分都既有電阻 又有電容 又有電感 如兩根并行導(dǎo)線 1 1電路模型和基本變量 R0單位長度的電阻 G0單位長度的電導(dǎo) L0單位長度的電感 C0單位長度的電容 x分得愈小 就愈接近實(shí)際情況 稱這種連續(xù)分布的電路參數(shù)為分布參數(shù) 這樣的電路為分布參數(shù)電路 1 1電路模型和基本變量 如果電源頻率f很高 波長 很短 當(dāng) 與電路的尺寸l可以相比擬 甚至更小時(shí) 電源中電流或電荷的分布發(fā)生的變化 就不能及時(shí)影響到整個(gè)電路 電路中不同部分的電磁場 以及電流 電荷的變化將按距離的遠(yuǎn)近而不同 各處的電壓也不同 分布參數(shù)電路 除了有時(shí)間變化以外 還有空間變化 電路中的電流和電壓既是時(shí)間的函數(shù) 又是距離的函數(shù) 即i i x t u u x t 分布參數(shù)電路中的電流和電壓關(guān)系必須用偏微分方程來描述 1 1電路模型和基本變量 2 集中參數(shù) 若電源的頻率f不高 電路元件及電路的各向最大尺寸l遠(yuǎn)小于電源最高頻率f的波長 時(shí) 電磁場的變化傳布整個(gè)電路所需的時(shí)間 l c遠(yuǎn)小于一個(gè)周期T 在此短暫的時(shí)間里 電流 電荷和電磁場的分布都未來得及發(fā)生顯著變化 電路參數(shù)的分布性對電路性能的影響并不明顯 分布參數(shù)的影響可以集中起來表示 電阻 電容 電感都集中到一點(diǎn) 能量損耗 電場儲(chǔ)能 磁場儲(chǔ)能過程也分別集中在電阻 電容 電感元件中進(jìn)行 1 1電路模型和基本變量 稱這些電阻 電容 電感元件為集中參數(shù)元件 由集中參數(shù)元件組成的電路為集中參數(shù)電路 電路的這種近似處理的方法和物理力學(xué)中將物體看成質(zhì)點(diǎn)是相仿的 集中化判據(jù) 10l 集中參數(shù)電路中的電壓 電流為時(shí)間的函數(shù)u u t i i t 電路可用常微分方程來描述 課程將只討論集中參數(shù)電路 1 1電路模型和基本變量 音頻信號(hào) f 20Hz 25kHz 3 108 25 103 12000m 對實(shí)驗(yàn)室儀器而言 可不必考慮分布參數(shù) 實(shí)驗(yàn)室電子儀器的尺寸l 3 30cm 允許信號(hào)波長 30 300cm 則f c 3 1011 f 108Hz 109Hz 100兆 1000兆 在實(shí)驗(yàn)室 一般情況下500兆頻率的信號(hào) 可作集中參數(shù)電路來處理 1 1電路模型和基本變量 信號(hào)頻率繼續(xù)升高 分布參數(shù)將上升到主導(dǎo)地位 信號(hào)頻率到微波波段 稱超高頻或射頻 f 1010Hz 1mm 10cm 在這種情況下 電路概念完全被破壞 只能用電磁場理論分析各種現(xiàn)象 如天線 它的下端有電流 頂端電流為零 1 1電路模型和基本變量 設(shè)聯(lián)接于電視接收天線與電視機(jī)間的平行雙導(dǎo)線 稱傳輸線 沒有損耗 并延伸至無限長 這樣可不涉及反射波 若天線端口A點(diǎn)感生了頻率為100MHz 即 2 108rad s的電壓uA Umsin t 在距A點(diǎn)1 5m處B點(diǎn)的電壓uB相對于A點(diǎn)的電壓uA將延遲 相當(dāng)于相位落后 t0 2 108 5 10 9 rad 于是B點(diǎn)的電壓uB Umsin t Umsin t uA 與A點(diǎn)的線間電壓反相 這信號(hào)的波長 A到B這段傳輸線能不能看作集中參數(shù)電路 1 1電路模型和基本變量 若C點(diǎn)距A點(diǎn)較近為0 015m 從A點(diǎn)到C點(diǎn)的傳輸時(shí)間是5 10 11s相位落后2 108 5 10 11 10 2 rad 1 8 在任意時(shí)刻t均可認(rèn)為uC uA 即可以將該段傳輸線看作是集中參數(shù)電路 這是AC間的距離遠(yuǎn)小于信號(hào)波長的緣故 1 1電路模型和基本變量 電流 單位時(shí)間內(nèi)通過導(dǎo)體橫截面的電量 電壓 單位正電荷由一點(diǎn)轉(zhuǎn)移到另一點(diǎn)獲得或失去的能量 3 基本變量 電路變量 網(wǎng)絡(luò)變量 電荷q和磁通 也可作為一對基本變量 1 1電路模型和基本變量 一般選用電流i和電壓u作為基本變量 4 參考方向 電壓的參考極性也任意選定 經(jīng)計(jì)算 電壓值為正 說明參考極性與真實(shí)極性一致 否則相反 電流的參考方向可任意給定 并在電路圖上用箭頭表示 電流的參考方向一經(jīng)選定 就不再改變 經(jīng)過