第三講-函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性經(jīng)典難題復(fù)習(xí)鞏固.doc

DSE金牌化學(xué)專題系列 精典專題系列第3講 函數(shù)的性質(zhì)1、 導(dǎo)入：老人與黑人小孩子 一天，幾個(gè)白人小孩在公園里玩。這時(shí)，一位賣(mài)氫氣球的老人推著貨車(chē)進(jìn)了公園。白人小孩一窩蜂地跑了上去，每人買(mǎi)了一個(gè)氣球，興高采烈地追逐著放飛的氣球跑開(kāi)了。白人小孩的身影消失后，一個(gè)黑人小孩怯生生地走到老人的貨車(chē)旁，用略帶懇求的語(yǔ)氣問(wèn)道： “您能賣(mài)給我一個(gè)氣球嗎?”“當(dāng)然可以，”老人慈祥地打量了他一下，溫和地說(shuō)，“你想要什么顏色的?”他鼓起勇氣說(shuō)：“我要一個(gè)黑色的?！蹦樕蠈?xiě)滿滄桑的老人驚詫地看了看這個(gè)黑人小孩，隨即遞給他一個(gè)黑色的氣球。他開(kāi)心地接過(guò)氣球，小手一松，氣球在微風(fēng)中冉冉升起。老人一邊看著上升的氣球，一邊用手輕輕地拍了拍他的后腦勺，說(shuō)：“記住，氣球能不能升起，不是因?yàn)樗念伾?，而是因?yàn)闅馇騼?nèi)充滿了氫氣?！贝蟮览恚撼删团c出身無(wú)關(guān)，與信心有關(guān)。這個(gè)世界是用自信心創(chuàng)造出來(lái)的。有自信，積極的面對(duì)自己所擁有的一切，這種積極和自信會(huì)幫助人登上成功的山頂。二、知識(shí)點(diǎn)回顧：1函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮.對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有 ，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1x2時(shí)，都有 ，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)(2)單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是 或 ，則稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性， 叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間2函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，存在實(shí)數(shù)M滿足條件對(duì)于任意xI，都有 ；存在x0I，使得 .對(duì)于任意xI，都有 ；存在x0I，使得 .結(jié)論M為最大值M為最小值1函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有 ，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于 對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有 ，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于 對(duì)稱2周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)yf(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(xT) ，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè) 的正數(shù)，那么這個(gè)正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期三、專題訓(xùn)練：專題一函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明已知函數(shù)f(x)，證明函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)自主解答法一：任取x1，x2(1，)，不妨設(shè)x10，又x110，x210，0，于是f(x2)f(x1)0，故函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)變式訓(xùn)練：判斷函數(shù)f(x)x(a0，x0)的單調(diào)性解：法一：函數(shù)f(x)x(a0)的定義域?yàn)閤|x0設(shè)x1x20，則f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)(1)(x1x2)，當(dāng)0x2x1時(shí)，恒有x1x2a.則f(x1)f(x2)x2時(shí)，恒有x1x2a，則f(x1)f(x2)0，故f(x)在，上是增函數(shù)綜上所述，函數(shù)f(x)在(0，上是減函數(shù)，在，)上是增函數(shù) 專題二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)yx22|x|3； 自主解答(1)依題意，可得當(dāng)x0時(shí)，yx22x3(x1)24；當(dāng)xf(x2),故函數(shù)f(x)在(1，+）上是減函數(shù).專題三利用函數(shù)的單調(diào)性求最值【例3】已知函數(shù)f(x)，x1，)(1)當(dāng)a4時(shí)，求f(x)的最小值；(2)當(dāng)a時(shí)，求f(x)的最小值；(3)若a為正常數(shù)，求f(x)的最小值自主解答(1)當(dāng)a4時(shí)，f(x)x2，f(x)1，f(x)在1,2上是減函數(shù)，在(2，)上是增函數(shù)f(x)minf(2)6.(2)當(dāng)a時(shí)，f(x)x2.易知，f(x)在1，)上為增函數(shù)f(x)minf(1).(3)函數(shù)f(x)x2在(0，上是減函數(shù)，在，)上是增函數(shù)若1，即a1時(shí)，f(x)在區(qū)間1，)上先減后增，f(x)minf()22.若1，即0a1時(shí)，f(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，f(x)minf(1)a3.思考：若a0，求f(x)的最小值.解：f(x)x2a0，x0)(1)求證：f(x)在(0，)上是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)若f(x)在，2上的值域是，2，求a的值解：(1)證明：設(shè)x2x10，則x2x10，x1x20，f(x2)f(x1)()()0，f(x2)f(x1)，f(x)在(0，)上是單調(diào)遞增函數(shù)(2)f(x)在，2上的值域是，2，又f(x)在，2上單調(diào)遞增，f()，f(2)2，解得a.2、 函數(shù)f(x)對(duì)任意的a、bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當(dāng)x0時(shí)，f(x)1.（1）求證：f(x)是R上的增函數(shù)；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.專題四函數(shù)奇偶性的判定【例4】判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)x3；(2)f(x)x2x3； (3)y；(4)f(x).自主解答(1)原函數(shù)的定義域?yàn)閤|x0，并且對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)x都有f(x)(x)3(x3)f(x)，從而函數(shù)f(x)為奇函數(shù)(2)由于f(1)2，f(1)0，f(1)f(1)，f(1)f(1)，從而函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) (3)定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，該函數(shù)不具有奇偶性(4)定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)x0時(shí)，f(x)(x)22(x22)f(x)；當(dāng)x0時(shí)，f(x)(x)22(x22)f(x)；當(dāng)x0時(shí)，f(0)0，也滿足f(x)f(x)故該函數(shù)為奇函數(shù)變式訓(xùn)練：判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)|xa|xa|(aR)解：(1)由，得x或x.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，又?duì)任意的x，x，且f(x)f(x)f(x)0.f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)(2)2x2且x0， 函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱f(x).又f(x)f(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù)(3)函數(shù)的定義域?yàn)?，)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱當(dāng)a0時(shí)，f(x)|xa|xa|xa|xa|f(x)當(dāng)a0時(shí)，f(x)|x|x|0，f(x)f(x)且f(x)f(x)，由上知：當(dāng)a0時(shí)，f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)a0時(shí)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)專題五函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【例5】若f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)2x0時(shí)，f(x)1x2x，當(dāng)0x2時(shí)，求f(x)的解析式自主解答f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)0x2時(shí)，2x0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：由f(m)f(m1)0，得f(m)f(m1)，即f(1m)f(m)又f(x)在0,2上單調(diào)遞減且f(x)在2,2上為奇函數(shù)，f(x)在2,2上為減函數(shù)即解得1m. 專題六函數(shù)的周期性【例6】設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x2)f(x)當(dāng)x0,2時(shí)f(x)2xx2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x2,4時(shí)，求f(x)的解析式；(3)計(jì)算f(0)f(1)f(2)f(2011)自主解答(1)f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期為4的周期函數(shù)(2)當(dāng)x2,0時(shí)，x0,2，由已知得f(x)2(x)(x)22xx2，又f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)2xx2，f(x)x22x.又當(dāng)x2,4時(shí)，x42,0，f(x4)(x4)22(x4)又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.從而求得x2,4時(shí)，f(x)x26x8.(3)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2008)f(2009)f(2010)f(2011)0.f(0)f(1)f(2)f(2011)0.思考：若將“f(x2)f(x)”改為“f(2x)f(x)”，其它條件不變，如何求解？解：(1)f(2x)f(x)，f(2x)f(x)，,又f(x)為奇函數(shù)，,f(2x)f(x)，,f(x)是周期為2的周期函數(shù).(2)當(dāng)x2,4時(shí)，x20,2，又當(dāng)x0,2時(shí)，f(x)2xx2，當(dāng)x2,4時(shí)，f(x2)2(x2)(x2)2x26x8又f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，f(x)f(x2)x26x8(3)f(0)0，f(1)1，周期T2f(0)f(1)f(2)f(2011)1006f(0)f(1)100611006.變式訓(xùn)練：已知函數(shù)f(x)滿足f(x1)，若f(1)2010，求f(2011)解：f(x1)，f(x2)，f(x4)f(x)，即函數(shù)的周期為4.f(1)2010，f(2011)f(20083)f(3).4、 技法巧點(diǎn)總結(jié)：1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性(2)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義(3)圖象法：如果f(x)是以圖象給出的，或者f(x)的圖象易作出，可直接由圖象的直觀性寫(xiě)出它的單調(diào)區(qū)間(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)函數(shù)取值的正負(fù)確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2求復(fù)合函數(shù)yfg(x)的單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定定義域(2)將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)：yf(u)，ug(x)(3)分別確定這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(4)若這兩個(gè)函數(shù)同增或同減，則yfg(x)為增函數(shù)；若一增一減，則yfg(x)為減函數(shù)，即“同增異減”3解決函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)注意的兩個(gè)問(wèn)題(1)函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)“區(qū)間概念”，如果一個(gè)函數(shù)在定義域的幾個(gè)區(qū)間上都是增(減)函數(shù)，不能說(shuō)這個(gè)函數(shù)在其定義域上是增(減)函數(shù)(2)若f(x)與g(x)在定義域內(nèi)均是增函數(shù)(減函數(shù))，那么f(x)g(x)在其公共定義域內(nèi)是增函數(shù)(減函數(shù))4函數(shù)奇偶性的判斷及相關(guān)性質(zhì)(1)判斷函數(shù)的奇偶性，必須按照函數(shù)的奇偶性定義進(jìn)行，為了便于判斷，常應(yīng)用定義的等價(jià)形式：f(x)f(x)f(x)f(x)0；若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在x0處有定義，則f(0)0.(2)若f(xa)為奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱；若f(xa)為偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱5函數(shù)的周期性的常見(jiàn)結(jié)論(1)若函數(shù)滿足f(xT)f(x)，由函數(shù)周期性的定義可知T是函數(shù)的一個(gè)周期；(2)若滿足f(xa)f(x)，則f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)，所以2a是函數(shù)的一個(gè)周期；(3)若滿足f(xa)，則f(x2a)f(xa)af(x)，所以2a是函數(shù)的一個(gè)周期；(4)若函數(shù)滿足f(xa)，同理可得2a是函數(shù)的一個(gè)周期五、鞏固練習(xí)：一、選擇題1(2011海淀模擬)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上單調(diào)增加，則滿足f(2x1)f()的x的取值范圍是()A(，)B，)C(，) D，)解析：當(dāng)2x10，即x時(shí)，由于函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上單調(diào)增加，則由f(2x1)f()得2x1，即x，故x；當(dāng)2x10，即x0，由f(2x1)f()得12x，故x.綜上可知x的取值范圍是(，)答案：A2已知函數(shù)f(x)x22axa在區(qū)間(，1)上有最小值，則函數(shù)g(x)在區(qū)間(1，)上一定()A有最小值 B有最大值C是減函數(shù) D是增函數(shù)解析：由題意a1，又函數(shù)g(x)x2a在，)上為增函數(shù)答案：D3若函數(shù)f(x)ax(aR)，則下列結(jié)論正確的是()AaR，函數(shù)f(x)在(0，)上是增函數(shù)BaR，函數(shù)f(x)在(0，)上是減函數(shù)CaR，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)DaR，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)4若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3,7上是增函數(shù)且最大值為5，則f(x)在區(qū)間7，3上是()A增函數(shù)且最小值是5B增函數(shù)且最大值是5C減函數(shù)且最大值是5D減函數(shù)且最小值是5解析：奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，左右兩邊有相同的單調(diào)性，因此函數(shù)在區(qū)間7，3上單調(diào)遞增，最小值是f(7)f(7)5.答案：A5、設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在(0，)內(nèi)是增函數(shù)，又f(3)0，則xf(x)0的解集是 ()Ax|3x3Bx|x3或0x3Cx|x3Dx|3x0或0x3解析：由xf(x)0得或，而f(3)0，f(3)0，即或，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(0，)內(nèi)是增函數(shù)，所以函數(shù)在(，0)內(nèi)也是增函數(shù)，故得3x0或0x0時(shí)，g(x)在1,2上是減函數(shù)，則a的取值范圍是(0,1答案：(0,17設(shè)函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則a_.解析：由題意知，f(1)f(1)0，即2(1a)00，a1.答案：18(2011銀川模擬)已知f(x)是定義在(3,3)上的奇函數(shù)，當(dāng)0x3時(shí)，f(x)的圖象如右圖所示，那么不等式xf(x)0的解集為_(kāi)解析：當(dāng)0x3時(shí)，由圖象知，滿足xf(x)0的解為：0x1，由奇函數(shù)的對(duì)稱性可求答案：(1,0)(0,1)三、解答題9判斷下列函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由(1)f(x)x2|x|1，x1,4；(2)f(x)(x