浙江高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題四解析幾何第1講圓與圓錐曲線的基本問題學(xué)案.docx

第1講圓與圓錐曲線的基本問題高考定位1.圓的方程及直線與圓的位置關(guān)系是高考對(duì)本講內(nèi)容考查的重點(diǎn)，涉及圓的方程的求法、直線與圓的位置關(guān)系的判斷、弦長(zhǎng)問題及切線問題等；2.圓錐曲線中的基本問題一般以橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等作為考查的重點(diǎn)，多為選擇題或填空題.真 題 感 悟 1.(2018浙江卷)雙曲線y21的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A.(，0)，(，0) B.(2，0)，(2，0)C.(0，)，(0，) D.(0，2)，(0，2)解析由題可知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，因?yàn)閏2a2b2314，所以c2，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，(2，0).故選B.答案B2.(2016浙江卷)已知橢圓C1：y21(m1)與雙曲線C2：y21(n0)的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則()A.mn且e1e21 B.mn且e1e21C.mn且e1e21 D.mn且e1e21解析由題意可得：m21n21，即m2n22，又m0，n0，故mn.又ee11，e1e21.答案A3.(2018北京卷)已知直線l過點(diǎn)(1，0)且垂直于x軸.若l被拋物線y24ax截得的線段長(zhǎng)為4，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_.解析由題意知，a0，對(duì)于y24ax，當(dāng)x1時(shí)，y2，由于l被拋物線y24ax截得的線段長(zhǎng)為4，所以44，所以a1，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0).答案(1，0)4.(2018天津卷)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)(0，0)，(1，1)，(2，0)的圓的方程為_.解析設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0(D2E24F0)，則解得D2，E0，F(xiàn)0，即圓的方程為x2y22x0.答案x2y22x0考 點(diǎn) 整 合1.圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圓心為(a，b)，半徑為r.(2)圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，圓心為，半徑為r.2.直線與圓相關(guān)問題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)三個(gè)定理：切線的性質(zhì)定理，切線長(zhǎng)定理，垂徑定理.(2)兩個(gè)公式：點(diǎn)到直線的距離公式d，弦長(zhǎng)公式|AB|2(弦心距d).3.圓錐曲線的定義(1)橢圓：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)雙曲線：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(3)拋物線：|MF|d(d為M點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離).4.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)橢圓：1(ab0)(焦點(diǎn)在x軸上)或1(ab0)(焦點(diǎn)在y軸上)；(2)雙曲線：1(a0，b0)(焦點(diǎn)在x軸上)或1(a0，b0)(焦點(diǎn)在y軸上)；(3)拋物線：y22px，y22px，x22py，x22py(p0).5.圓錐曲線的幾何性質(zhì)(1)橢圓：e；(2)雙曲線：e；漸近線方程：yx或yx；(3)拋物線：設(shè)y22px(p0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)為拋物線上的點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn).焦半徑|CF|x1；過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)|CD|x1x2p；x1x2，y1y2p2.熱點(diǎn)一直線與圓的有關(guān)問題 考法1求圓的方程【例11】 (1)(2018北京東城區(qū)月考)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)M(0，)在圓C上，且圓心到直線2xy0的距離為，則圓C的方程為_.(2)一個(gè)圓經(jīng)過橢圓1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.解析(1)圓C的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)C(a，0)，且a0.則圓心C到直線2xy0的距離d，解得a2.圓C的半徑r|CM|3，因此圓C的方程為(x2)2y29.(2)由題意知，橢圓上、下頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，2)，(0，2)，左、右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，0)，(4，0)，由圓心在x軸的正半軸上知圓過點(diǎn)(0，2)，(0，2)，(4，0)，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xm)2y2r2(m0)，則有解得所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2.答案(1)(x2)2y29(2)y2探究提高求具備一定條件的圓的方程時(shí)，其關(guān)鍵是尋找確定圓的兩個(gè)幾何要素，即圓心和半徑，待定系數(shù)法也是經(jīng)常使用的方法.在一些問題中借助平面幾何中關(guān)于圓的知識(shí)可以簡(jiǎn)化計(jì)算，如已知一個(gè)圓經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，其圓心一定在這兩點(diǎn)連線的垂直平分線上，解題時(shí)要注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用.考法2圓的切線問題【例12】 (1)在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線l：2xy40相切，則圓C面積的最小值為()A. B.C.(62) D.(2)若O：x2y25與O1：(xm)2y220(mR)相交于A，B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長(zhǎng)度是_.解析(1)由題意可知以線段AB為直徑的圓C過原點(diǎn)O，要使圓C的面積最小(D為切點(diǎn))，只需圓C的半徑或直徑最小，又圓C與直線2xy40相切，所以由平面幾何知識(shí)，當(dāng)OC所在直線與l垂直時(shí)，|OD|最小(D為切點(diǎn))，即圓C的直徑最小，則|OD|，所以圓的半徑為，圓C的面積的最小值為Sr2.(2)依題意得OO1A是直角三角形，|OO1|5，SOO1A|OO1|OA|AO1|，因此|AB|4.答案(1)A(2)4探究提高(1)直線與圓相切時(shí)利用“切線與過切點(diǎn)的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式，所以求切線方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜式.(2)過圓外一點(diǎn)求解切線長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為圓心到圓外點(diǎn)距離，利用勾股定理處理.考法3直線與圓的位置關(guān)系【例13】 已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1：x2y26x50相交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求圓C1的圓心坐標(biāo)；(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程；(3)是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線L：yk(x4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由.解(1)由x2y26x50，得(x3)2y24，所以圓C1的圓心坐標(biāo)為(3，0).(2)設(shè)線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，當(dāng)線段AB不在x軸上時(shí)，有C1MAB，則kC1MkAB1，即1，整理得y2，又當(dāng)直線l與圓C1相切時(shí)，易求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.所以此時(shí)M的軌跡C的方程為y2.當(dāng)線段AB在x軸上時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，0)，也滿足式子y2.綜上，線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程為y2.(3)由(2)知點(diǎn)M的軌跡是以C為圓心，r為半徑的部分圓弧EF(如圖所示，不包括兩端點(diǎn))，且E，F(xiàn).又直線L：yk(x4)過定點(diǎn)D(4，0)，當(dāng)直線L與圓C相切時(shí)，由，得k，又kDEkDF，結(jié)合如圖可知當(dāng)k時(shí)，直線L：yk(x4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn).探究提高此類題易失分點(diǎn)有兩處：一是不會(huì)適時(shí)分類討論，遇到直線問題，想用其斜率，定要注意斜率是否存在；二是數(shù)形結(jié)合求參數(shù)的取值范圍時(shí)，定要注意“草圖不草”，如本題，畫出軌跡C時(shí)，若把端點(diǎn)E，F(xiàn)畫成實(shí)心點(diǎn)，借形解題時(shí)求出的斜率就會(huì)出錯(cuò).【訓(xùn)練1】 (1)(2018全國(guó)卷)直線yx1與圓x2y22y30交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|_.解析由題意知圓的方程為x2(y1)24，所以圓心坐標(biāo)為(0，1)，半徑為2，則圓心到直線yx1的距離d，所以|AB|22.答案2(2)(2016江蘇卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2y212x14y600及其上一點(diǎn)A(2，4).設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且BCOA，求直線l的方程；設(shè)點(diǎn)T(t，0)滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解圓M的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x6)2(y7)225，圓心M(6，7)，半徑r5，由題意，設(shè)圓N的方程為(x6)2(yb)2b2(b0).則b5.解得b1，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x6)2(y1)21.kOA2，可設(shè)l的方程為y2xm，即2xym0.又BCOA2，由題意，圓M的圓心M(6，7)到直線l的距離為d2，即2，解得m5或m15.直線l的方程為y2x5或y2x15.由，則四邊形AQPT為平行四邊形，又P、Q為圓M上的兩點(diǎn)，|PQ|2r10.|TA|PQ|10，即10，解得22t22.故所求t的范圍為22，22.熱點(diǎn)二圓錐曲線的定義、方程、性質(zhì)的應(yīng)用考法1定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用【例21】 (1)(2015浙江卷)如圖，設(shè)拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)A，B在拋物線上，點(diǎn)C在y軸上，則BCF與ACF的面積之比是()A. B. C. D.(2)已知雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線方程為yx，且與橢圓1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析(1)由圖形知，由拋物線的性質(zhì)知|BF|xB1，|AF|xA1，xB|BF|1，xA|AF|1，.故選A.(2)由題設(shè)知，又由橢圓1與雙曲線有公共焦點(diǎn)，易知a2b2c29，由解得a2，b，則雙曲線C的方程為1.答案(1)A(2)B探究提高(1)準(zhǔn)確把握?qǐng)A錐曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，注意焦點(diǎn)在不同坐標(biāo)軸上時(shí)，橢圓、雙曲線、拋物線方程的不同表示形式.(2)求圓錐曲線方程的基本方法就是待定系數(shù)法，可結(jié)合草圖確定.考法2幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用【例22】 (1)(2018全國(guó)卷)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為的直線上，PF1F2為等腰三角形，F(xiàn)1F2P120，則C的離心率為()A. B. C. D.(2)(2018北京卷)若雙曲線1(a0)的離心率為，則a_.解析(1)由題意可得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，如圖所示，設(shè)|F1F2|2c，PF1F2為等腰三角形，且F1F2P120，|PF2|F1F2|2c.|OF2|c，點(diǎn)P坐標(biāo)為(c2ccos 60，2csin 60)，即點(diǎn)P(2c，c).點(diǎn)P在過點(diǎn)A，且斜率為的直線上，解得，e，故選D.(2)由題意可得，得a216，又a0，所以a4，故答案為4.答案(1)D(2)4探究提高解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題，其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、圖形的結(jié)構(gòu)特征、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.【訓(xùn)練2】 (1)(2018全國(guó)卷)已知橢圓C：1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2，0)，則C的離心率為()A. B. C. D.(2)(2018全國(guó)卷)雙曲線1(a0，b0)的離心率為，則其漸近線方程為()A.yx B.yxC.yx D.yx解析(1)不妨設(shè)a0.因?yàn)闄E圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為(2，0)，所以焦點(diǎn)在x軸上，且c2，所以a2448，所以a2，所以橢圓C的離心率e.故選C.(2)法一由題意知，e，所以ca，所以ba，所以，所以該雙曲線的漸近線方程為yxx，故選A.法二由e，得，所以該雙曲線的漸近線方程為yxx，故選A.答案(1)C(2)A1.確定圓的方程時(shí)，常用到圓的幾個(gè)性質(zhì)：(1)直線與圓相交時(shí)應(yīng)用垂徑定理構(gòu)成直角三角形(半弦長(zhǎng)，弦心距，圓半徑)；(2)圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；(3)圓心在任一弦的中垂線上；(4)兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線；(5)圓的對(duì)稱性：圓關(guān)于圓心成中心對(duì)稱，關(guān)于任意一條過圓心的直線成軸對(duì)稱.2.橢圓、雙曲線的方程形式上可統(tǒng)一為Ax2By21，其中A，B是不等的常數(shù)，AB0時(shí)，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；BA0時(shí)，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；AB0時(shí)表示雙曲線.3.對(duì)涉及圓錐曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離或焦點(diǎn)弦問題，恰當(dāng)選用定義解題，會(huì)效果明顯，定義中的定值是標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ).4.在橢圓焦點(diǎn)三角形PF1F2中，F(xiàn)1PF2，則SPF1F2c|y0|b2tan .5.求雙曲線、橢圓的離心率的方法：方法一：直接求出a，c，計(jì)算e；方法二：根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系，然后把b用a，c代換，求.6.通徑：過雙曲線、橢圓、拋物線的焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦稱為通徑，雙曲線、橢圓的通徑長(zhǎng)為，過橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑最短；拋物線通徑長(zhǎng)是2p，過拋物線焦點(diǎn)的弦中通徑最短.橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的最長(zhǎng)距離為ac，最短距離為ac.一、選擇題1.(2018全國(guó)卷)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn).若PF1PF2，且PF2F160，則C的離心率為()A.1 B.2C. D.1解析由題設(shè)知F1PF290，PF2F160，|F1F2|2c，所以|PF2|c，|PF1|c.由橢圓的定義得|PF1|PF2|2a，即cc2a，所以(1)c2a，故橢圓C的離心率e1.故選D.答案D2.(2018全國(guó)卷)已知雙曲線C：1(a0，b0)的離心率為，則點(diǎn)(4，0)到C的漸近線的距離為()A. B.2 C. D.2解析法一由離心率e，得ca，又b2c2a2，得ba，所以雙曲線C的漸近線方程為yx.由點(diǎn)到直線的距離公式，得點(diǎn)(4，0)到C的漸近線的距離為2.故選D.法二離心率e的雙曲線是等軸雙曲線，其漸近線方程是yx，由點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)(4，0)到C的漸近線的距離為2，故選D.答案D3.已知圓C1：(x2)2(y3)21，圓C2：(x3)2(y4)29，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|PN|的最小值為()A.54 B.54C.53 D.53解析由條件可知，兩圓的圓心均在第一象限，先求|PC1|PC2|的最小值，作點(diǎn)C1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C1(2，3)，則(|PC1|PC2|)min|C1C2|5.所以(|PM|PN|)min54.答案B4.(2017杭州測(cè)試)已知橢圓E：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F(3，0)，過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則E的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)F(3，0)和點(diǎn)(1，1)，所以直線AB的方程為y(x3)，代入橢圓方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，選D.答案D5.(2018全國(guó)卷)直線xy20分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x2)2y22上，則ABP面積的取值范圍是()A.2，6 B.4，8C.，3 D.2，3解析圓心(2，0)到直線的距離d2，所以點(diǎn)P到直線的距離d1，3.根據(jù)直線的方程可知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2，0)，(0，2)，所以|AB|2，所以ABP的面積S|AB|d1d1.因?yàn)閐1，3，所以S2，6，即ABP面積的取值范圍是2，6.答案A6.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y22px(p0)上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為()A. B. C. D.1解析如圖，由題可知F，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然，當(dāng)y00時(shí)，kOM0時(shí)，kOM0，要求kOM最大值，不妨設(shè)y00.則()，kOM，當(dāng)且僅當(dāng)y2p2時(shí)等號(hào)成立.故選C.答案C二、填空題7.(2018江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線1(a0，b0)的右焦點(diǎn)F(c，0)到一條漸近線的距離為c，則其離心率的值是_.解析不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為yx，所以bc，所以b2c2a2c2，得c2a，所以雙曲線的離心率e2.答案28.(2015浙江卷)已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2y21，則|2xy4|6x3y|的最大值是_.解析因?yàn)閷?shí)數(shù)x，y滿足x2y21，則2xy40，6x3y0，所以|2xy4|6x3y|42xy6x3y3x4y10.令z3x4y10，則3x4y10z0.當(dāng)直線3x4y10z0與圓x2y21相切時(shí)，z取最值，故1，z5 或z15，|2xy4|6x3y|的最大值為15.答案159.設(shè)拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.已知點(diǎn)C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點(diǎn)A.若FAC120，則圓的方程為_.解析由題意知該圓的半徑為1，設(shè)圓心坐標(biāo)為C(1，a)(a0)，則A(0，a)，又F(1，0)，所以(1，0)，(1，a).由題意知與的夾角為120，得cos 120，解得a.所以圓的方程為(x1)2(y)21.答案(x1)2(y)2110.(2018紹興仿真考試)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0，3)，直線l：y2x4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心C在直線l上，若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|2|MO|，則點(diǎn)M的軌跡方程是_，圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍是_.解析設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)閨MA|2|MO|，所以2，整理得x2(y1)24，所以點(diǎn)M的軌跡是以P(0，1)為圓心，半徑為2的圓.設(shè)圓C的圓心C(t，2t4).由題意可得圓C與圓P至少有一個(gè)公共點(diǎn)，所以13，解得t.所以圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍是.答案x2(y1)2411.(2018寧波調(diào)研)過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F，且傾斜角為的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若弦AB的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)(0，2)，則p等于_，|AB|_.解析由題意知直線AB的方程為yx，垂直線平分線方程為yx2，聯(lián)立上面兩直線方程得y1，x1，即AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)A，B則1，p，1p，p.|AB|2p.答案12.(2018北京卷)已知橢圓M：1(ab0)，雙曲線N：1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為_；雙曲線N的