2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示練習(xí)新人教A版.docx

3.1.4 空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 學(xué)生用書P137(單獨(dú)成冊(cè))A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1已知M，A，B，C四點(diǎn)互不重合且任意三點(diǎn)不共線，則下列式子中能使向量，成為空間的一個(gè)基底的是()A.B.C.D.2解析：選C.對(duì)于選項(xiàng)A，由xyz(xyz1)M，A，B，C四點(diǎn)共面，知，共面；對(duì)于選項(xiàng)B，D，易知，共面，故選C.2已知a，b，c是空間一組基底，pab，qab，一定可以與向量p，q構(gòu)成空間另一組基底的是()AaBbCc Dp2q解析：選C.因?yàn)閍，b，c不共面，所以p，q，c不共面若存在x，yR，使cxpyq(xy)a(xy)b成立，則a，b，c共面，這與已知a，b，c是空間一組基底矛盾，故p，q，c不共面3已知正方體OABCOABC的棱長為1，若以，為基底，則向量的坐標(biāo)是()A(1，1，1) B(1，0，1)C(1，1，1) D(1，0，1)答案：A4.如圖，梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，點(diǎn)O為空間內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)a，b，c，則向量可用a，b，c表示為()Aab2cBab2cCabcD.abc解析：選D.()abc.5設(shè)i，j，k是單位正交基底，已知向量p在基底a，b，c下的坐標(biāo)為(8，6，4)，其中aij，bjk，cki，則向量p在基底i，j，k下的坐標(biāo)是()A(12，14，10) B(10，12，14)C(14，12，10) D(4，3，2)解析：選A.依題意，知p8a6b4c8(ij)6(jk)4(ki)12i14j10k，故向量p在基底i，j，k下的坐標(biāo)是(12，14，10)6在長方體ABCDA1B1C1D1中，若3i，2j，5k，則向量在基底i，j，k下的坐標(biāo)是_解析：3i2j5k，所以向量在基底i，j，k下的坐標(biāo)是(3，2，5)答案：(3，2，5)7已知空間的一個(gè)基底a，b，c，mabc，nxaybc，若m與n共線，則x_，y_解析：因?yàn)閙與n共線，所以存在實(shí)數(shù)，使mn，即abcxaybc，于是有解得答案：118如圖，點(diǎn)M為OA的中點(diǎn)，為空間的一個(gè)基底，xyz，則有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)_解析：，所以有序?qū)崝?shù)組(x，y，z).答案：9已知e1，e2，e3為空間的一個(gè)基底，且2e1e23e3，e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3.(1)判斷P，A，B，C四點(diǎn)是否共面；(2)能否以，作為空間的一個(gè)基底？若能，試以這一基底表示；若不能，請(qǐng)說明理由解：(1)假設(shè)P，A，B，C四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)x，y，z，使xyz，且xyz1，即2e1e23e3x(e12e2e3)y(3e1e22e3)z(e1e2e3)又e1，e2，e3不共面，所以，解得與xyz1矛盾，故P，A，B，C四點(diǎn)不共面(2)若，共面，則存在實(shí)數(shù)m，n，使mn，同(1)可得關(guān)于m，n的方程無解，所以，不共面，因此，可以作為空間的一個(gè)基底令a，b，c，由e12e2e3a，3e1e22e3b，e1e2e3c，得所以2e1e23e32(3ab5c)(ac)3(4ab7c)17a5b30c17530.10已知平行六面體OABCOABC，且a，b，c.(1)用a，b，c表示向量；(2)設(shè)G，H分別是側(cè)面BBCC和OABC的中心，用a，b，c表示.解：(1)bca.(2)()()(abcb)(abcc)(cb)B能力提升11如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.若xyz，則xyz()A1 B0C. D1解析：選C.因?yàn)?)，所以x1，y1，z，所以xyz.12正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底面A1C1和側(cè)面CD1的中心，若0(R)，則_解析：如圖，連接A1C1，C1D，則E在A1C1上，F(xiàn)在C1D上，易知EF綊A1D，所以，即0，所以.答案：13已知，在棱長為2的正四面體ABCD中，以BCD的中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為z軸，OC為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，M為AB的中點(diǎn)，求的坐標(biāo)解：易知BCD的中線長為2，則OC.所以O(shè)A，設(shè)i，j，k分別是x，y，z軸正方向上的單位向量，x軸與BC的交點(diǎn)為E，則OEBD，所以()()()ijk，所以.14(選做題)如圖，三棱錐PABC中，點(diǎn)G為ABC的重心，點(diǎn)M在PG上，且PM3MG，過點(diǎn)M任意作一個(gè)平面分別交線段PA，PB，PC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若m，n，t，求證：為定值，并求出該定值解：連接AG并延長交BC于點(diǎn)H(圖略)，由題意，可令