不定積分,二元函數(shù)的定義域,極限,方向?qū)?shù)和梯度.doc

不定積分、二元函數(shù)的定義域、極限、方向?qū)?shù)和梯度一、定積分及應(yīng)用了解定積分的概念；知道定積分的定義、幾何意義和物理意義；了解定積分的主要性質(zhì)，主要是線性性質(zhì)和積分對(duì)區(qū)間的可加性，( 為常數(shù) )還應(yīng)熟悉以下性質(zhì)例題：1利用定積分的幾何意義，說(shuō)明下列等式：解答：（1） 表示的是：由軸，直線和直線所圍成的三角形的面積是1。（2） 表示的是：由軸，曲線和直線所圍成的圖形上下的面積相等。2根據(jù)定積分的性質(zhì)，說(shuō)明下列積分哪一個(gè)的值較大：解答：（1）因?yàn)樵趨^(qū)因?yàn)樵趨^(qū)間0，1上，因此有：（2）在區(qū)間1，2上，因此有：了解原函數(shù)存在定理；會(huì)求變上限定積分的導(dǎo)數(shù)。若，則熟練掌握牛頓萊布尼茨公式，換元積分法和分部積分法。例題：估計(jì)積分的值：解答：，因此2.計(jì)算. 解答：了解廣義積分的概念；會(huì)判斷簡(jiǎn)單的廣義積分的收斂性，并會(huì)求值。當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散；當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散。掌握在直角坐標(biāo)系下計(jì)算平面曲線圍成圖形的面積；會(huì)計(jì)算平面曲線圍成的圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體體積。由曲線和及直線圍成的面積，有對(duì)于對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的定積分，要知道當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)有當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)有例題：1.計(jì)算正弦曲線y = sinx在0,p 上與x軸所圍成的平面圖形的面積.解答：.2計(jì)算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分其中L是拋物線上的點(diǎn)（0，0）與點(diǎn)之間的一段弧.解答：解答：練習(xí)：求橢圓所圍成的圖形面積.答案：。6.理解二重積分的定義、幾何意義；會(huì)計(jì)算二重積分例題：計(jì)算二重積分：(1)其中D是由直線、所圍成的閉區(qū)域；(2) 其中D是由圓周所圍成的閉區(qū)域.解答：（1）（2）二、二元函數(shù)的定義域要求：會(huì)求二元函數(shù)的定義域例題：1求下列各函數(shù)的定義域：解答：（1）要使函數(shù)有意義必須滿足：，這樣函數(shù)的定義域?yàn)椋海?）要使函數(shù)有意義必須滿足：即練習(xí)：求函數(shù)的定義域。答案：2解答：將分別代替原函數(shù)自變量的位置，通過(guò)計(jì)算我們得到：原式=3解答：將分別代替原函數(shù)自變量的位置，通過(guò)計(jì)算我們得到：原式=練習(xí)：設(shè)=？答案：。三二元函數(shù)的極限從形式上講，一元函數(shù)與二元函數(shù)的極限沒(méi)有多大區(qū)別。是指，對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有是指，對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有。但是在二元函數(shù)的極限中要比一元函數(shù)極限中復(fù)雜的多，對(duì)，x趨向的方式雖然是任意的，但它畢竟是在x軸上變化而已，可是對(duì)，P趨向的任意方式卻是在平面上變化，因此要比多樣化。例如：沿著所有過(guò)的直線趨向是的一種特殊方式，又例如沿著所有過(guò)的拋物線趨向也只是的一種特殊方式，還有其他的的方式，這就一元函數(shù)與二元函數(shù)的極限的重要區(qū)別。例題：1.求極限： 解答：（1）原式= （2）此題與上題不一樣，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，分母趨于零，所以我們需要先對(duì)y求導(dǎo)，即 。練習(xí)： 答案：（1）1；（2）ln2；（3）（4）（5）先對(duì)x, 后對(duì)y求導(dǎo)，然后可算出：分別為2，四、方向?qū)?shù)和梯度定理：若函數(shù)在點(diǎn)可微，則在點(diǎn)處沿任意方向的方向?qū)?shù)都存在，且+，其中，為方向余弦。對(duì)于二元函數(shù)來(lái)說(shuō)，相應(yīng)的結(jié)果是+，其中是平面向量的方向角。梯度的定義：若函數(shù)在點(diǎn)存在對(duì)所有自變量的偏導(dǎo)數(shù)，則稱(chēng)向量（， ）為函數(shù)在點(diǎn)的梯度，記作：（， ）向量的長(zhǎng)度（或模）為 例題：1求函數(shù)在點(diǎn)（1，2）處沿從點(diǎn)（1，2）到點(diǎn)的方向的方向?qū)?shù).解答：方向=，易見(jiàn)在點(diǎn)（1，2）可微，故由，及方向的方向余弦：，所以函數(shù)在點(diǎn)（1，2）處沿從點(diǎn)（1，2）到點(diǎn)的方向的方向?qū)?shù)為（）=2問(wèn)函數(shù)在點(diǎn)（1，1，2）處沿什么方向的方向?qū)?shù)最大？并求此方向?qū)?shù)的最大值.解答：因?yàn)樵邳c(diǎn)的梯度方向是的值增長(zhǎng)最快的方向，且沿這一方向的