第17章 量子力學(xué)(8學(xué)時(shí)).ppt

1 第17章 fundamentofquantunmechanics 8 量子力學(xué)基礎(chǔ) 實(shí)物粒子的波粒二象性 波函數(shù) 薛定諤方程 2 量子力學(xué)是描述微觀實(shí)物粒子運(yùn)動規(guī)律的一門基礎(chǔ)理論 量子力學(xué)的建立 揭示了微觀世界的基本規(guī)律 是人類認(rèn)識自然界史上的一次飛躍 它和相對論一起已成為近代物理學(xué)的兩塊基石 而且還被廣泛地應(yīng)用到化學(xué) 生物 醫(yī)學(xué) 電子學(xué)等學(xué)科中 1900年普朗克提出了量子概念 而真正拉開量子論大幕一角的是德布羅意 3 17 1實(shí)物粒子的波粒二象性 一切實(shí)物粒子也具有波粒二象性 一 德布羅意物質(zhì)波假設(shè) 1924年 德布羅意 能量為E 動量為p的粒子與頻率為v 波長為 的波相聯(lián)系 并遵從以下關(guān)系 實(shí)物粒子 靜質(zhì)量mo 0的粒子 E mc2 hv 4 戴維孫 革末 單晶電子衍射實(shí)驗(yàn) 二 德布羅意波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證 當(dāng)電壓為54V 50 電子流最強(qiáng) 由布拉格公式 2dsin n 65 d 0 091nm n 1 0 165nm 0 167nm 湯姆孫 多晶薄膜電子衍射實(shí)驗(yàn) 5 2 1961年約恩孫電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn) d 1 mb 0 3 m 0 05 10 10m 6 其它實(shí)驗(yàn)還證實(shí) 中子 質(zhì)子以及原子 分子都具有波動性 這表明 一切微觀粒子都具有波粒二象性 7 中國科學(xué)院化學(xué)研究所研制的CSTM 9000型掃描隧道顯微鏡 原子和分子的觀察與操縱 8 三 物質(zhì)波的統(tǒng)計(jì)解釋 1926年玻恩 波動觀點(diǎn)粒子觀點(diǎn)明紋處 波強(qiáng)大 電子出現(xiàn)的概率大 暗紋處 波強(qiáng)小 電子出現(xiàn)的概率小 波強(qiáng)與粒子在該處附近出現(xiàn)的概率成正比 可見 物質(zhì)波是一種概率波 9 經(jīng)典粒子 只需考慮粒子性 遵從決定論 適用牛頓力學(xué) 微觀粒子 波粒二象性 遵從概率定律 適用量子力學(xué) 問題 對實(shí)物粒子 c 錯(cuò) 1 經(jīng)典粒子與微觀粒子有何區(qū)別 不 能量是以群速 g 傳播 10 1 23 2 人 1 0 10 36m 可見 只有微觀粒子的波動性較顯著 而宏觀粒子 如人 的波動性根本測不出來 例題17 1 1 電子動能Ek 100eV 2 人 m 66 3kg 10m s 求德布羅意波長 解 1 電子速度較小 可用非相對論公式求解 11 解因加速電壓大 應(yīng)考慮相對論效應(yīng) 1 24 108 m s 10 10 31 kg 0 0535 例題17 2用5 104V的電壓加速電子 求電子的速度 質(zhì)量和德布羅意波長 12 解因電子波長較長 速度較小 可用非相對論公式求解 m 9 11 10 31kg h 6 63 10 34J s 150V 例題17 3為使電子波長為1 需多大的加速電壓 13 衍射后 若只考慮中央明紋 則0 px psin 17 2不確定關(guān)系 海森堡 電子衍射前 px 0 py p 一 不確定關(guān)系 14 對第一級衍射暗紋 xsin 即電子在x方向上動量的不確定量為 px psin 若計(jì)及更高級次的衍射 應(yīng)有 x px h y py h z pz h 15 1 微觀粒子坐標(biāo)的不確定量越小 x 0 動量的不確定量就越大 px 微觀粒子動量的不確定量越小 px 0 坐標(biāo)的不確定量就越大 x 這就表明 微觀粒子不可能同時(shí)具有確定的坐標(biāo)和動量 二 不確定關(guān)系的意義 16 3 不確定關(guān)系提供了一個(gè)判據(jù) 當(dāng)不確定關(guān)系施加的限制可以忽略時(shí) 則可以用經(jīng)典理論來研究粒子的運(yùn)動 當(dāng)不確定關(guān)系施加的限制不可以忽略時(shí) 那只能用量子力學(xué)理論來處理問題 2 不確定關(guān)系本質(zhì)上是微觀粒子具有波粒二象性的必然反映 是微觀世界的一條客觀規(guī)律 不是測量技術(shù)和主觀能力的問題 x px h 三 能量與時(shí)間的不確定關(guān)系 17 例題17 4估算氫原子中電子速度的不確定量 解電子被束縛在原子球內(nèi) 坐標(biāo)的不確定量是 x 10 10m 原子的大小 由 x px h 得 可見 微觀粒子的速度和坐標(biāo)不能同時(shí)準(zhǔn)確測定 故研究氫原子不能用經(jīng)典理論 只能用量子力學(xué)理論來處理 18 例題17 5子彈質(zhì)量m 1kg 速度測量的不確定量是 x 10 6m s 求子彈坐標(biāo)的不確定量 解按不確定關(guān)系 x px h 則子彈坐標(biāo)的不確定量為 可見 子彈的速度和坐標(biāo)能同時(shí)準(zhǔn)確測定 這表示 不確定關(guān)系施加的限制可以忽略 像子彈這樣的宏觀物體可以用經(jīng)典理論來研究它的運(yùn)動 19 解光子的動量 按 x px h 則光子坐標(biāo)的不確定量為 例題17 6氦氖激光器 632 8nm 譜線寬度 10 9nm 求光子坐標(biāo)的不確定量 400 km 20 例題17 7原子激發(fā)態(tài)的平均壽命 t 10 8s 求激發(fā)態(tài)能級能量的不確定量 解 10 8ev 所以原子光譜存在自然寬度 21 量子力學(xué)認(rèn)為 微觀粒子的運(yùn)動狀態(tài)可用一個(gè)波函數(shù) x y z t 來描述 一般為復(fù)數(shù) 一 波函數(shù) 17 3薛定諤方程 22 二 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 23 波函數(shù)模的平方 x y z t 2 表示粒子在t時(shí)刻在 x y z 處的單位體積中出現(xiàn)的概率 即概率密度 x y z t 2dxdydz 1 因粒子在整個(gè)空間出現(xiàn)的概率是1 所以有 表示t時(shí)刻粒子在 x y z 處的體積元dxdydz中出現(xiàn)的概率 歸一化條件 2 波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件 單值 連續(xù) 有限 24 這就是自由粒子的波函數(shù) 對能量為E和動量為p的自由粒子 h p v E h 三 薛定諤方程 1 自由粒子波函數(shù)及滿足的方程 粒子在空間某處出現(xiàn)的概率密度為 25 自由粒子勢能為零 在非相對論情況下有 在以上式子中消去p E 就得 26 三維空間 27 薛定諤方程的一般形式 拉普拉斯算符 哈密頓算符 薛定諤方程的一般形式可寫為 28 若勢能V不顯含時(shí)間t 則 得 E 3 定態(tài)薛定諤方程 29 其解 x y z 滿足 上式稱為定態(tài)薛定諤方程 30 概率密度 概率密度不隨時(shí)間而改變 定態(tài) 波函數(shù) 31 17 4一維無限深方勢阱 在阱外 粒子出現(xiàn)的概率為零 故 x o 32 令 有 通解 x Csin kx 式中k 由邊界條件決定 33 x Csin kx 由x 0處 x 的連續(xù)性 有 0 Csin 0 0 x Csinkx由x a處 x 的連續(xù)性 有 a Csinka 0 ka n 于是 n 1 2 n 0 x 0 n為負(fù)數(shù)與正數(shù)表達(dá)同樣的概率 34 1 能量是量子化的 n 1 2 粒子的能量只能取不連續(xù)的值 能量量子化 當(dāng)量子數(shù)n 1 稱為零點(diǎn)能 0 微觀粒子是不可能靜止的 35 2 粒子在勢阱內(nèi)的概率分布 形成駐波 波函數(shù) x Csinkx 由歸一化條件 得 歸一化波函數(shù)為 36 粒子出現(xiàn)在勢阱內(nèi)各點(diǎn)的概率密度為 n 1 2 37 求 1 粒子的能量和動量 2 概率密度最大的位置 解 1 量子數(shù)n 3 粒子的能量 又 例題17 8粒子m在一維無限深方勢阱中運(yùn)動 其波函數(shù)為 38 2 概率密度最大的位置 概率密度 有極大值的充要條件 解得 39 例題17 9一粒子被限制在相距l(xiāng)的兩個(gè)不可穿透的壁之間 如圖所示 描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)為 Cx l x 其中C為待定常量 求x 0 l 3內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率 解 dx 1 dx 40 解 1 41 2 平均能量 E1 E2的概率各1 2 能量的可能值 42 17 5一維勢壘隧道效應(yīng) 令 有 43 在1區(qū)和3區(qū) 在電子能量E Vo的情況下 2區(qū) 1 3 x Csin kx 可見 電子在三個(gè)區(qū)域都有出現(xiàn)的概率 就是說 沿x方向運(yùn)動的電子可以從左向右自由穿過勢壘 這種E Vo的電子穿透勢壘的現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng) 44 隧道效應(yīng)已經(jīng)為實(shí)驗(yàn)證實(shí) 并獲得許多實(shí)際應(yīng)用 如半導(dǎo)體隧道二極管 現(xiàn)代杰作 1986年獲諾貝爾物理獎的掃描隧道顯微鏡 STM 等 45 17 6量子力學(xué)對氫原子的描述 設(shè)原子核不動 電子是在原子核的庫侖場中運(yùn)動 其勢能為 波函數(shù) 應(yīng)滿足的條件 單值 連續(xù) 有限 歸一化 一 氫原子的定態(tài)薛定諤方程 46 在E 0 束縛態(tài) 的情況下 采用球坐標(biāo)系 定態(tài)薛定諤方程為 波函數(shù) r 可以分離變量 r R r 47 式中 ml和 為分離變量常數(shù) 波函數(shù) 應(yīng)滿足的條件 單值 連續(xù) 有限 歸一化 48 1 能量量子化為使波函數(shù)滿足標(biāo)準(zhǔn)條件 電子 或說是整個(gè)原子 的能量只能是 主量子數(shù) n 1 2 二 量子力學(xué)的結(jié)論 49 2 電子 軌道 角動量量子化 副量子數(shù) 角量子數(shù) l 0 1 2 n 1 3 角動量的空間量子化電子角動量在任意方向 如z軸正向 的分量Lz滿足量子化條件 磁量子數(shù) ml 0 1 2 l 電子軌道磁矩 50 例如 l 1 l 2 51 4 電子的概率分布電子云 2l 1 l 電子在核外空間出現(xiàn)的概率密度 電子在核外空間的概率密度分布 電子云 52 由于p1s是r的連續(xù)函數(shù) 可見電子在核外 從r 0到r 每點(diǎn)都有一定的概率 這和玻爾的量子軌道運(yùn)動概念完全不同 而玻爾半徑只是概率最大的位置 53 54 基態(tài)銀原子 l 0 軌道磁矩為零 應(yīng)無偏轉(zhuǎn) 一 電子自旋 17 7多電子原子系統(tǒng) 1925年烏倫貝克 古茲密特 電子存在自旋角動量 電子自旋是一種量子力學(xué)效應(yīng) 不是機(jī)械的自轉(zhuǎn) 55 自旋磁量子數(shù) 可以證明 電子自旋角動量為 原子束分為兩束 表明自旋角動量在空間的取向是量子化 在任意方向 如z軸正向 只有兩個(gè)分量 56 如光子 介子 如電子 質(zhì)子 54 7 57 1 主量子數(shù) n 1 2 3 它大體上決定了原子中電子的能量 2 角量子數(shù) l 0 1 2 n 1 它決定電子繞核運(yùn)動 軌道 角動量的大小 一般說來 處于同一主量子數(shù)n 而不同角量子數(shù)l的狀態(tài)中的電子 其能量稍有不同 二 多電子原子 理論和實(shí)驗(yàn)證明 多電子原子中電子的運(yùn)到狀態(tài)仍由四個(gè)量子數(shù)確定 原則上講 多電子原子系統(tǒng)的問題應(yīng)該去求解薛定諤方程 得到描寫電子運(yùn)動的波函數(shù)和能級 58 它決定電子自旋角動量的z分量Sz的量子化 也決定電子的自旋磁矩 4 自旋磁量子數(shù) 它決定電子角動量z分量Lz的量子化 空間量子化 也決定電子的軌道磁矩 3 磁量子數(shù) ml 0 1 2 l 59 l 0 1 2 3 4 s p d f g 如 n 3 l 0 1 2 分別稱為3s態(tài) 3p態(tài) 3d態(tài) 主量子數(shù)n相同而角量子數(shù)l不同的電子分布在不同的分殼層或支殼層上 三 原子的殼層結(jié)構(gòu) 1916年柯塞爾提出了原子殼層結(jié)構(gòu)學(xué)說 主量子數(shù)n相同的電子分布在同一殼層上 n 1 2 3 4 5 6 K L M N O P 60 2 泡利不相容原理 適用 費(fèi)米子 1945年獲諾貝爾物理獎 一個(gè)原子系統(tǒng)內(nèi) 不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上電子具有完全相同的量子態(tài) n l ml ms 利用泡利不相容原理可以計(jì)算各個(gè)殼層中可能占有的最多電子數(shù) 多電子原子系統(tǒng)中 核外電子在不同的殼層上的分布還要遵從下面兩條基本原理 1 能量最小原理原子系統(tǒng)處在正常狀態(tài)時(shí) 每個(gè)電子總是盡可能占有最低的能級 主量子數(shù)n愈小其相應(yīng)的能級愈低 在同一殼層中 角量子數(shù)l愈小 其相應(yīng)的能級愈低 61 對給定的一個(gè)n l 0 1 2 n 1 共n個(gè)值 ml 0 1 2 l 共 2l 1 個(gè)值 共2個(gè)值 2l 1 2 2n2 所以各殼層能容納的最多電子數(shù)為n 1 2 3 4 5 KLMNO 最多電子數(shù) 28183250 量子態(tài)數(shù)為 62 對給定的一個(gè)l的分殼層 ml 0 1 2 l 共 2l 1 個(gè)值 共2個(gè)值 量子態(tài)數(shù)為2 2l 1 所以各分殼層能容納的最多電子數(shù)為 電子在各殼層 分殼層的填充由左向右 l 0 1 2 3 4 spdfg 最多電子數(shù) 26101418 63 四 元素周期表 p304 64 例題17 9寫出氬 z 18 的電子組態(tài) 1s22s22p63s23p6例題17 10鈷 z 27 4s有兩個(gè)電子 沒有其它n 4的電子 則3d態(tài)上的電子數(shù)為個(gè) 電子組態(tài) 1s22s22p63s23p63d 4s2 7 65 答 B 例題17 11在氫原子的M殼層中 電子可能具有的量子態(tài) n l ml ms 為 A 2 1 0 B 3 1 1 C 3 0 1 D 1 0 0 n 3 l 0 1 2 例題17 12下列各組量子數(shù)中 哪一組可以描述原子中電子的狀態(tài) A 2 2 0 B