影響了整個(gè)世界的新幾何學(xué)（一）.doc

影響了整個(gè)世界的新幾何學(xué)（一）起源于古希臘的幾何學(xué)理念在兩千多年以來一直貫穿在人類的思想中，不管是科學(xué)還是哲學(xué)，甚至政治和藝術(shù)都是幾何學(xué)思想的結(jié)晶。但是，19世紀(jì)初，幾何學(xué)卻經(jīng)歷了一場革命：人們發(fā)現(xiàn)，空間不一定非得是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德描述的那樣，還可以有完全不同的幾何學(xué)。在本文中，我們就將看到這一革命性的認(rèn)識是如何影響哲學(xué)、科學(xué)、文化和藝術(shù)的。歐幾里德的世界讓我們先做一個(gè)實(shí)驗(yàn)吧：想象一個(gè)平面，上面有一條直線L和一個(gè)不在L上的點(diǎn)P。平面上有多少條線平行于直線L并經(jīng)過點(diǎn)P？有多少條線經(jīng)過點(diǎn)P并平行于直線L？如果你的答案是“顯然只有一條”，那么你的直覺就是歐幾里德式的。歐幾里德也相信經(jīng)過直線外一點(diǎn)只可能有一條直線與已知直線平行（歐幾里得“證明”了該命題，但它實(shí)際上是不能由歐幾里得幾何中的其他公理和定理導(dǎo)出的，只能作為歐幾里德幾何系統(tǒng)中的第五條公設(shè)，歐幾里得公設(shè)如下面的方框中所示）。歐幾里德公設(shè)1 任意兩點(diǎn)必定可以用一條直線連接。2 一條有限直線可以無限延長。3 以任一點(diǎn)為圓心，任一長度為半徑可以作一個(gè)圓。4 所有直角彼此相等。5 如果一條直線與兩條直線相交，同一側(cè)的內(nèi)角之和小于兩個(gè)直角，則兩條直線在無限延長后，在該側(cè)相交。（這條公設(shè)與“過直線外一點(diǎn)只可能有一條直線與已知直線平行”互相等價(jià)，可以證明。）但是如果你考慮在一個(gè)不是平面的表面上的線呢？下圖展示了一個(gè)稱為“雙曲拋物面”的鞍形面：該模型上繪制的線是拋物面的“直線”：它們是點(diǎn)間距離最短的路徑。但是請注意，紅線和黃線都平行于藍(lán)線，而它們都經(jīng)同一個(gè)點(diǎn)。更重要的是，藍(lán)色和黃色的平行線并非與平面上的平行線一樣處處距離相等。 事實(shí)證明，雙曲拋物面上也可以形成一個(gè)完全合理、自洽的幾何空間。原來空間可以不必符合歐幾里得的描述（以及我們的直覺感知）這種認(rèn)識對于19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家和思想家來說實(shí)在是太革命性了，以至于大數(shù)學(xué)家高斯發(fā)現(xiàn)了該事實(shí)，卻從未鼓起勇氣發(fā)表關(guān)于這個(gè)問題的工作。但后來黎曼（Bernhard Riemann）等數(shù)學(xué)家紛紛揭示，除了上面提到的雙曲拋物面以外，還存在著許多非歐空間。 那么，這一認(rèn)識對人類思想有何重大影響呢？空間的哲學(xué)一旦你開始考慮空間的性質(zhì)，你不可避免地會遇到這個(gè)問題：空間到底是什么？它是一種東西嗎？它是一種物質(zhì)嗎？甚至，它是真實(shí)存在的嗎？哲學(xué)家康德說空間存在于我們心中：我們在構(gòu)建一個(gè)幾何結(jié)構(gòu)時(shí)，重要的不是畫在紙上的圖形，而是我們在思維空間中所看到的它們。我們在思維空間中構(gòu)建我們的認(rèn)知，而這樣的思維空間對對于所有人來說都有著相同的特性。康德的空間是歐幾里德式的。很難想象要如何在一個(gè)非歐空間中構(gòu)建我們的認(rèn)知，那么，或許非歐空間不像歐式空間一樣真實(shí)。但是，物理學(xué)家亥姆霍茲（Hermann von Helmholtz）卻認(rèn)為，非歐空間和歐式空間一樣真實(shí)。例如，我們都見過凸面鏡（汽車的后視鏡就是凸面鏡），凸面鏡中的鏡像就是一個(gè)三維非歐空間。看下圖，你會注意到超市貨架的頂邊和底邊的平行線并不總是相隔同樣的距離。我們可以在這樣一個(gè)空間中構(gòu)建我們的認(rèn)知嗎？如果你已經(jīng)會熟練使用你車上的后視鏡，答案就是“可以”。 你可能說鏡中的像只是一個(gè)幻象，只有我們自己所在的歐幾里德式世界才是真實(shí)的。但是你真的確定嗎？雖然凸面鏡中的人看起來比他們實(shí)際上要小，但是如果將一把尺子放在他們旁邊，尺子上的讀數(shù)也會相應(yīng)變小，鏡中的測量與他們在我們的世界中的測量仍能保持一致，說不定鏡中的人同樣會堅(jiān)持只有鏡中世界才是真實(shí)的呢。很難反駁正如亥姆霍茲所說，你無法進(jìn)行任何幾何實(shí)驗(yàn)來解決究竟哪一個(gè)世界是真實(shí)世界的問題。 所以，與康德相反，亥姆霍茲認(rèn)為幾何的公設(shè)既不是由人類智慧所決定的，也不是由邏輯必然性決定的。他認(rèn)為，空間是否是歐幾里德空間，只是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)問題。 法國數(shù)學(xué)家龐加萊（Henri Poincar）的觀點(diǎn)則更為激進(jìn)：他也認(rèn)為新的幾何是革命性的，但是他既不同意康德也不同意亥姆霍茲。如果如亥姆霍茲所言，幾何來自經(jīng)驗(yàn)，幾何就不是一門精確的科學(xué)。龐加萊知道我們的腦海中不只有一種空間，因此，幾何的公設(shè)不是一種人造的先驗(yàn)直覺（如康德所說），也不是實(shí)驗(yàn)事實(shí)（如亥姆霍茲所說），更不必是不證自明的真理（如以前的思想家笛卡爾和數(shù)學(xué)家拉格朗日所說）。龐加萊認(rèn)為，幾何公設(shè)只是慣例（conventions）。 那么，我們應(yīng)該如何決定采用哪種慣例呢？是選歐幾里德幾何，還是新的非歐幾何？龐加萊說我們可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來選擇，但只要避免矛盾，選擇哪種幾何在根本上是自由的。“歐幾里德幾何是正確的嗎？這個(gè)問題是沒有意義的，就好像問公制單位是不是正確的，舊的度量衡是不是錯(cuò)誤的一樣。一種幾何不會比另一種幾何更正確，只會更方便。” 這是觀念的一種革命性變化：數(shù)學(xué)不再完全符合現(xiàn)實(shí)，我們可以自己選擇想要的數(shù)學(xué)模型，只要它們能將我們想要它做的事做得最好。