計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(下).ppt

計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 下 第5編數(shù)值分析 第11章函數(shù)插值與最小二乘擬合 本章主要內(nèi)容 拉格朗日插值多項(xiàng)式均差牛頓插值法分段插值 樣條函數(shù)數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法重點(diǎn) 均差 牛頓插值法難點(diǎn) 樣條函數(shù) 最小二乘法 函數(shù)是數(shù)學(xué)研究的基本工具 但在生產(chǎn)實(shí)踐中我們并不知道所研究的函數(shù)是個(gè)什么樣的表達(dá)式 只能通過(guò)試驗(yàn)觀測(cè)得到一系列點(diǎn)的函數(shù)值怎樣通過(guò)這些點(diǎn)的函數(shù)值構(gòu)造函數(shù)的表達(dá)式呢 這是本章所要解決的問(wèn)題 構(gòu)造函數(shù)的方法有兩種 一種是和觀測(cè)結(jié)果完全吻合 另一種是和觀測(cè)結(jié)果近似地吻合 前者稱為函數(shù)插值 后者稱為曲線擬合 用插值法求出的函數(shù)叫做插值函數(shù) 它并不要求是原來(lái)的函數(shù)本身 原來(lái)的函數(shù)叫做被插值函數(shù)插值函數(shù)與被插值函數(shù)只要在插值節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值相等 包含插值節(jié)點(diǎn)的區(qū)間叫插值區(qū)間 11 1拉格朗日插值多項(xiàng)式 11 1 1線性插值已知函數(shù)f x 在區(qū)間 xk xk 1 兩端點(diǎn)的函數(shù)值最簡(jiǎn)單的方法就是用連接兩端點(diǎn)的直線近似表示函數(shù)直線斜率 直線方程 由此看出 線性插值多項(xiàng)式P x 是兩個(gè)關(guān)于x的的線性函數(shù)的線性組合 稱為線性插值基函數(shù) 其系數(shù)分別是函數(shù)值插值基函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值 例1已知 用線性插值函數(shù)求的近似值 解 函數(shù)為 兩節(jié)點(diǎn)為 插值區(qū)間為 10 20 11 1 2二次插值如果在區(qū)間 xk 1 xk 1 中已知三節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值 即已知我們就可以用一條拋物線近似逼近函數(shù)方法是 取三個(gè)基函數(shù)滿足 它們都是二次函數(shù)它們滿足右表的條件得到 二次插值多項(xiàng)式為 2001年7月試卷填空題8 過(guò)點(diǎn)的拉格朗日插值多項(xiàng)式為解 11 1 3n次插值如果在區(qū)間 a b 中有n 1個(gè)節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值已知 可利用這n 1個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)造插值函數(shù)取基函數(shù)得到 稱為拉格朗日插值多項(xiàng)式 線性插值和二次插值就是n 1 2時(shí)的結(jié)果 2002年1月試卷計(jì)算題12 設(shè)函數(shù)值表為試求拉格朗日插值多項(xiàng)式 要求合并同類項(xiàng) 整理成一個(gè)多項(xiàng)式 解 11 1 4拉格朗日插值多項(xiàng)式的截?cái)嗾`差若在區(qū)間 a b 上用拉格朗日插值多項(xiàng)式來(lái)近似函數(shù) 其誤差為稱為插值多項(xiàng)式的余項(xiàng) 當(dāng)n 1時(shí)線性插值的余項(xiàng)為 當(dāng)n 2時(shí)拋物線插值的余項(xiàng)為 11 2牛頓插值 11 2 1均差如果已知函數(shù)在區(qū)間 a b 上的n 1個(gè)節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值或表示為稱為關(guān)于節(jié)點(diǎn)的一階均差記作 一階均差與的均差稱為關(guān)于節(jié)點(diǎn)的二階均差 記作n 1階均差與的均差稱為關(guān)于節(jié)點(diǎn)的n階均差 記作 11 2 2均差的基本性質(zhì) 性質(zhì)1 n階均差可以表示成為函數(shù)值的線性組合 當(dāng)n 1時(shí)當(dāng)n 2時(shí) 性質(zhì)2 均差與插值節(jié)點(diǎn)的順序無(wú)關(guān) 對(duì)稱性 性質(zhì)3 設(shè)是x的n次多項(xiàng)式 那么k階均差是x的n k階多項(xiàng)式 一階均差是x的n 1階多項(xiàng)式 二階均差是x的n 2階多項(xiàng)式 依此類推 2001年7月試卷選擇題5 已知的均差那么均差 B 11 2 3均差表均差可以遞推計(jì)算 均差的計(jì)算可以列表進(jìn)行 均差計(jì)算表 例1已知數(shù)據(jù)為試計(jì)算解 計(jì)算列表如下 均差計(jì)算表 11 2 4牛頓插值多項(xiàng)式牛頓插值多項(xiàng)式用表示 由兩個(gè)節(jié)點(diǎn)可得一次多項(xiàng)式 由三個(gè)節(jié)點(diǎn)可得二次多項(xiàng)式由n 1個(gè)節(jié)點(diǎn)可得n次多項(xiàng)式 例2用例1中的數(shù)據(jù) 求通過(guò)這4個(gè)節(jié)點(diǎn)的牛頓插值多項(xiàng)式 解 前面已經(jīng)求出 例3給定f x 的函數(shù)值 作牛頓插值多項(xiàng)式 并計(jì)算f 0 596 解 根據(jù)函數(shù)值作均差表 因?yàn)槲咫A均差為0 所以牛頓插值多項(xiàng)式是4次的 用均差表中各列最上面的數(shù)據(jù)計(jì)算 用Excel計(jì)算的結(jié)果和課本略有出入 2002年1月試卷選擇題3 已知在5個(gè)互異節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值 其一階 二階均差均不為0 三階均差是1 那么用這5對(duì)數(shù)值作的插值多項(xiàng)式P x 是A 五次多項(xiàng)式B 四次多項(xiàng)式C 三次多項(xiàng)式D 二次多項(xiàng)式 C 牛頓插值多項(xiàng)式的誤差用n次多項(xiàng)式來(lái)近似函數(shù) 其誤差為若在 a b 上有n 1階導(dǎo)數(shù) 則若在 a b 上只有n階導(dǎo)數(shù) 則作業(yè) P 77 P 84帶 的練習(xí)題 11 3分段插值 11 3 1分段線性插值縮小插值區(qū)間可以減少函數(shù)近似值的誤差 假設(shè)把給定的區(qū)間 a b 分割成已知函數(shù)在這些節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值 在每一個(gè)子區(qū)間上作的線性插值函數(shù) 由這些小區(qū)間上的直線構(gòu)成的折線 稱為在區(qū)間 a b 上的分段線性插值函數(shù) 分段線性插值函數(shù)具有如下性質(zhì) 1 在 a b 上連續(xù) 但在點(diǎn)不可導(dǎo) 2 3 在上是線性函數(shù) 可以通過(guò)構(gòu)造基函數(shù)的方法生成 基函數(shù)在子區(qū)間或上是線性函數(shù) 且滿足 的表達(dá)式 例1已知函數(shù)在區(qū)間 0 3 上取等距節(jié)點(diǎn)求分段插值函數(shù) 并計(jì)算的近似值 解 作函數(shù)值表 作基函數(shù) 2001年7月試卷選擇題3 在區(qū)間 a b 上作函數(shù)的分段線性插值 設(shè)分點(diǎn)那么 分段線性插值的基函數(shù) A 分段線性插值函數(shù)的誤差估計(jì)其中h是區(qū)間的最大值 M是在 a b 上的最大值 11 3 2樣條插值函數(shù)假設(shè)在 a b 上取n 1個(gè)節(jié)點(diǎn)在這些節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值為 通過(guò)這n 1個(gè)節(jié)點(diǎn)的曲線在 a b 上有連續(xù)m 1階導(dǎo)數(shù) 則在 a b 上的m次樣條函數(shù)滿足 1 在 a b 上有m 1階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 2 3 在每個(gè)子區(qū)間上 是m次多項(xiàng)式 例如 三次樣條函數(shù)應(yīng)滿足 1 在 a b 上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 2 3 在每個(gè)子區(qū)間上 是三次多項(xiàng)式 11 4數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法 11 4 1最小二乘法假設(shè)在點(diǎn)上測(cè)得函數(shù)值 由于測(cè)量的點(diǎn)數(shù)較多 而且數(shù)據(jù)本身存在誤差 用插值法構(gòu)造函數(shù)得到的是高次插值多項(xiàng)式 且沒(méi)有必要 這時(shí) 我們就可以采用數(shù)據(jù)擬合的辦法 擬合的好壞取決于擬合誤差的大小 擬合的最好就要求擬合誤差最小 用擬合數(shù)據(jù)的擬合誤差可用表示 使擬合誤差最小的方法稱為最小二乘法 11 4 2直線擬合選擇直線來(lái)擬合數(shù)據(jù)稱為直線擬合 假設(shè)直線為則擬合誤差使擬合誤差最小的應(yīng)滿足 這個(gè)方程組稱為直線擬合的法方程組 解此方程組就可以確定 從而得到擬合直線 例1 已知10對(duì)數(shù)據(jù)如下 用最小二乘法求擬合直線 解 用Excel列表計(jì)算 法方程組為 所求擬合直線為 2001年7月試卷計(jì)算題12 設(shè)數(shù)據(jù)如下 試用直線擬合這組數(shù)據(jù) 計(jì)算過(guò)程保留4位小數(shù)解 法方程組為 所求直線為 11 4 3多項(xiàng)式擬合對(duì)給定的數(shù)據(jù)組 用一個(gè)m次的多項(xiàng)式擬合這組數(shù)據(jù) 則此多項(xiàng)式可假設(shè)為根據(jù)最小二乘原理令 法方程組為 共可以得到m 1道方程 每一個(gè)方程的左邊有m 1項(xiàng) 請(qǐng)大家找一找 這m 1道方程的左右兩邊各有什么規(guī)律 怎樣來(lái)幫助記憶 例如 二次擬合多項(xiàng)式為 法方程組為 三次擬合多項(xiàng)式為 法方程組為 例2試用最小二乘法求多項(xiàng)式P2 x 使與此數(shù)據(jù)擬合 解 用Excel列表計(jì)算 法方程組為 11 4 4指數(shù)擬合如果給定的數(shù)據(jù)組在直角坐