09-10-1高等數(shù)學總復習.ppt

機動目錄上頁下頁返回結束 試題不涉及內(nèi)容 3 中值定理中關于 1 極限 定義的證明問題 2 n階導數(shù)的一般表達式 相關變換率 微分的近似計算 存在性的證明 泰勒公式 函數(shù)圖形的描繪 曲率 方程的近似解 5 無界函數(shù)的廣義積分 6 極坐標系下定積分的應用 定積分的物理應用 09 10 1高等數(shù)學期末考試復習大綱 7 微分方程的物理應用 4 積分表的使用 注 凡是上課沒講的都不考 試卷大體結構 一 單項選擇題 每小題3分 共15分 二 填空題 每小題3分 共15分 三 解答題 9 10個小題 共70分 考試注意事項 1 書寫規(guī)范 卷面整潔 鉛筆作答 視為無效 2 寫出詳細的解題過程 3 少犯原則性錯誤 機動目錄上頁下頁返回結束 第一章 一 函數(shù)的定義域 奇偶性 有界性 例1 函數(shù) 的定義域是 函數(shù) 在定義域 上是 函數(shù) A 有界函數(shù) B 周期函數(shù) C 奇函數(shù) D 偶函數(shù) 下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是 A B 設 求 及其定義域 解 令 則 原式為 則 函數(shù) A 奇函數(shù) B 偶函數(shù) C 非奇非偶函數(shù) D 不確定 A 是 機動目錄上頁下頁返回結束 設 求 由 解 得 因此 二 求極限 1 兩個重要極限 機動目錄上頁下頁返回結束 2 等價無窮小代換 3 羅比塔法則 機動目錄上頁下頁返回結束 例2 解 應填 求極限 解 原式 機動目錄上頁下頁返回結束 解 原式 求極限 機動目錄上頁下頁返回結束 解 原式 求極限 解 原式 求極限 三 連續(xù)和間斷 函數(shù)間斷點 第一類間斷點 第二類間斷點 可去間斷點 跳躍間斷點 無窮間斷點 振蕩間斷點 機動目錄上頁下頁返回結束 無界間斷點 例3 下列函數(shù)在 連續(xù)的是 C C 且 設 解 即 時f x 在 處連續(xù) 機動目錄上頁下頁返回結束 存在 所以 又 設 則 是 的 A 連續(xù)點 B 無窮間斷點 C 可去間斷點 D 跳躍間斷點 由于 故應選 C 所以 是函數(shù) 的可去間斷點 機動目錄上頁下頁返回結束 C 是函數(shù) 的間斷點 其類型為 A 無窮間斷點 B 跳躍間斷點 C 可去間斷點 D 振蕩間斷點 所以 是函數(shù) 的可去間斷點 由于 故應選 C 機動目錄上頁下頁返回結束 C 四 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 零點定理 設 且 則至少有一點 使得 例4 設 在 上連續(xù) 且 證明 在 內(nèi)至少存在一點 使 證 設 又 所以由 零點定理 得知 則至少有一點 使得 即 機動目錄上頁下頁返回結束 證明方程 在區(qū)間 內(nèi)至少有一個實根 設 證 則 在區(qū)間 內(nèi)連續(xù) 由于 根據(jù)零點定理知 在區(qū)間 內(nèi)至少有一個零點 即方程 在區(qū)間 內(nèi)至少有一個根 機動目錄上頁下頁返回結束 第二章 一 導數(shù)的定義與幾何意義 曲線 在 處的切線方程和法線方程 切線方程 法線方程 例5 設 則 機動目錄上頁下頁返回結束 解 應填 設 求 解 機動目錄上頁下頁返回結束 若 為連續(xù)函數(shù) A B C D 的值為 且已知 則 B 應選 B 解 機動目錄上頁下頁返回結束 試求過點 且與曲線 處的切線相垂直的直線方程 解 曲線在點 處切線的斜率為 上的點 所求直線的斜率為 所求直線的方程為 機動目錄上頁下頁返回結束 二 復合函數(shù)求導 隱函數(shù)求導 參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階 二階導數(shù) 設函數(shù) 由方程 確定 求 解 由于 機動目錄上頁下頁返回結束 設 則 解 機動目錄上頁下頁返回結束 已知 解 求 確定了函數(shù) 機動目錄上頁下頁返回結束 設 解 求 因為 所以 機動目錄上頁下頁返回結束 設 為可導函數(shù) 求 解 微分 三 微分的計算 例7 機動目錄上頁下頁返回結束 設 解 為可導函數(shù) 求 機動目錄上頁下頁返回結束 可導 連續(xù) 四 關系 可導 可微 例8 已知 在 處可導 則a b的值為 A B C D 由于 而 所以 機動目錄上頁下頁返回結束 又 已知 在 處可導 則a b的值為 A B C D 應選 B 所以 機動目錄上頁下頁返回結束 由于 而 所以 又 應選 A 所以 機動目錄上頁下頁返回結束 第三章 一 利用單調(diào)性證明不等式 證明當 證 時 當 時 要證 即證 設 由于 機動目錄上頁下頁返回結束 所以當 時 即當 證畢 時 有 因此當 時 單調(diào)增 又由于 若 證明 設 證 由于 所以 單調(diào)增 時 即 時 這表明當 時 又由于 機動目錄上頁下頁返回結束 二 利用單調(diào)性證明方程根的唯一性 例10 若 則方程 A 無實根 B 有重實根 C 有無窮多個根 D 有且僅有一個根 設 在 由于判別式 則 上連續(xù) 機動目錄上頁下頁返回結束 所以 又由于 因此曲線 故方程有且僅有 一個根 應選 D 僅與x軸相交一次 因此 在 上單調(diào)增 機動目錄上頁下頁返回結束 設 由于 因此曲線 一個實根 應選 B 僅與x軸相交一次 故方程有且僅有 函數(shù) 在 區(qū)間內(nèi)單調(diào)增 在區(qū)間 A 無實根 C 有兩個實根 方程 內(nèi) B B 有唯一實根 D 有三個實根 又由于 機動目錄上頁下頁返回結束 三 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值 例11 的單調(diào)減少區(qū)間是 解 令 得 機動目錄上頁下頁返回結束 求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間與極值 解 極小值 為極小值 機動目錄上頁下頁返回結束 求由方程 確定的函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間 解 方程兩邊對x求導數(shù)得 令 得 機動目錄上頁下頁返回結束 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)增 內(nèi)單調(diào)減 函數(shù)在區(qū)間 和 設函數(shù) 由方程 所確定 試求 的駐點 并判別它是否為極值點 方程兩邊對x求導數(shù) 解 令 得 代入原方程得 機動目錄上頁下頁返回結束 即有 所以 是唯一的駐點 又由于 而 所以 是極小值點 機動目錄上頁下頁返回結束 設函數(shù) 內(nèi)連續(xù) 其導函數(shù)的圖形 有 如下圖所示 則 A 一個極小值點和兩個極大值點 B C D 兩個極小值點和一個極大值點 兩個極小值點和兩個極大值點 三個極小值點和一個極大值點 C 三 曲線的凹凸性和拐點 例12 曲線 在 解 令 得 機動目錄上頁下頁返回結束 凸弧 凹弧 應選 B 拐點 在區(qū)間 上的凹凸性為 曲線 凹弧 解 應填 凹弧 機動目錄上頁下頁返回結束 第四章 一 不定積分的換元積分法和分部積分法 例13 求 解 u v 機動目錄上頁下頁返回結束 應填 解 原式 已知 的一個原函數(shù)為 求 解 機動目錄上頁下頁返回結束 二 有理函數(shù)的積分 例14 解 設 則有 原式 比較系數(shù)可得 機動目錄上頁下頁返回結束 第五章 一 變限積分函數(shù)的求導 例15 設函數(shù) 則 C 二 定積分的計算及對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)定積分計算 例16 求 解 機動目錄上頁下頁返回結束 計算 解 原式 令 機動目錄上頁下頁返回結束 定積分 A 設函數(shù) 的值等于 B C D 由于被積函數(shù) 為奇函數(shù) 積分區(qū)間 關于原點 對稱 A 根據(jù)定積分的性質(zhì) 此積分值為零 故應選 A 計算定積分 解 原式 機動目錄上頁下頁返回結束 三 用定積分換元法證明積分等式 例16 設函數(shù) 在 上連續(xù) 試證明 并求 證 令 移項后可得 機動目錄上頁下頁返回結束 四 無窮區(qū)間的反常積分 例17 解 機動目錄上頁下頁返回結束 求 解 1 機動目錄上頁下頁返回結束 第六章 一 直角坐標系中平面圖形的面積的求法 例18 求 上點 處切線與拋物線 圍成的平面的平面圖形的面積 解 曲線 在點 處的切線方程為 為確定積分限 解方程組 交點為 機動目錄上頁下頁返回結束 設直線 與拋物線 的面積為 且它們與直線 所圍成的面積為 1 試確定a的值 使得 并求出最小值 2 求該最小值所對應的平面圖形繞x軸旋轉一周 所得旋轉體的體積 所圍成 達到最小 解 1 依題意畫如下 為確定積分限 解方程組 解得 機動目錄上頁下頁返回結束 令 解得 唯一駐點 面積的最小值為 機動目錄上頁下頁返回結束 2 機動目錄上頁下頁返回結束 求由 所圍成的平面圖形 繞x軸旋轉所成的旋轉體的體積 解 機動目錄上頁下頁返回結束 第七章 一 微分方程的解法 例19 求一曲線 它在點 處的